2024-2025學年上海市高一下學期3月月考數學學情檢測試卷考生注意：1．本考試設試卷和答題紙，答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效.2．答題前，考生務必在答題紙上清楚填涂班級、姓名和準考證號.3．本試卷共4頁，考試時間120分鐘，試卷滿分150分.一、填空題（第1到6題每題4分，第7到12題每題5分，共計54分）1.已知集合A={1，2，a2-2a}，若3∈A，則實數a=______．【正確答案】3或1分析】根據3∈A即可得出a22a=3，解方程得到a即可．【詳解】∵3∈A，A={1，2，a22a}，∴a22a=3，解得a=1或3故答案為1或3．本題考查了列舉法的定義，元素與集合的關系，考查了推理和計算能力，屬于基礎題．2.弧度數為2的角的終邊落在第______象限.【正確答案】二【分析】將弧度化為角度,即可判斷出所在象限.【詳解】根據弧度與角度關系可知所以則弧度數為2的角的終邊落在第二象限故答案為:二本題考查了弧度與角度的關系,屬于基礎題.3.已知角的終邊過點P（1，2），則___________.【正確答案】【分析】先利用任意角的三角函數的定義求出的值，再利用兩角和的正切公式求解即可【詳解】因為角的終邊過點P（1，2），所以，所以，故4若非零向量，且設，則實數__________．【正確答案】【分析】利用向量的加減法法則對化簡變形，然后結合可求得結果.【詳解】因為，所以，所以，所以，因為，所以，故5.函數的定義域是__．【正確答案】【分析】根據分母不等于零及開偶數次方根號里的數大于等于零求解即可.【詳解】由，得，解得且，所以函數的定義域為.故答案為.6.某企業欲做一個介紹企業發展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環面（由扇形挖去扇形后構成）．已知米，米（），線段、線段、弧、弧的長度之和為30米，圓心角為弧度，則關于的函數解析式是______．【正確答案】【分析】根據弧長公式和周長列方程得出關于的函數解析式.【詳解】根據題意，利用弧長公式可知（米），（米），整理得：，故答案為.7.對于任意實數，不等式無解，則實數的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】這是含參的不等式問題，通過對二次項系數進行討論以及利用一元二次函數、進行求解處理.【詳解】當時，即，則，無解，所以；當時，即，要使不等式無解，則，解得；綜上，.故答案為.8.已知函數（）是偶函數，則的最小值是______．【正確答案】##【分析】利用三角函數的性質即可求解.【詳解】因為函數是偶函數，所以，解得，又，所以當時，的最小值是.故答案為.9.如圖是函數的部分圖象，其中點在軸上且過點的豎直線經過圖象的最高點，是圖象上一點，是線段與圖象的交點，且，則點的縱坐標是__________．【正確答案】【分析】設，進而可得點坐標，再根據條件列式，利用三角公式是計算可得答案.【詳解】設，其中，則，于是．因為是中點，所以，即或，又因為，所以，即點的縱坐標是.故答案為.10.已知函數的定義域為，，對任意兩個不等的實數、都有，則不等式的解集為_________.【正確答案】【分析】推導出函數為上的增函數，將所求不等式變形為，可得出關于實數的不等式，由此可解得原不等式的解集.【詳解】不妨令，則等價于，可得，構造函數，則是上的增函數.因為，所以等價于，即，所以，，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為.方法點睛：利用函數的單調性求解抽象函數不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉化為；（2）判斷函數的單調性，再根據函數的單調性把不等式的函數符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），求解即可.11.設函數（是常數，，），若在區間上具有單調性，且，則函數是的最小正周期是______.【正確答案】【分析】根據單調性可求出，再根據題意得函數關于點對稱，關于直線對稱，得到關于的方程組，通過作差分析可得，最后檢驗即可.【詳解】因為在區間上具有單調性，，則，故，，則的圖象關于點對稱，關于直線對稱，，且，兩式相減，可得，又因為，故，當時，由，得，又，則，故，所以它的最小正周期為.故答案為.12.設，滿足，則的最小值為__________.【正確答案】【分析】令，將用表示，轉化為求關于函數的最值.【詳解】，令，則，，當且僅當時等號成立.故答案:.本題考查指對數間的關系，以及對數換底公式，注意基本不等式的應用，屬于中檔題.二、選擇題（第13、14題每題4分，第15、16每題5分，共18分）13.下列關系中，角存在的是（）A. B. C.且 D.【正確答案】B【分析】由題意結合兩角和的正弦公式可得，即可判斷A、B；利用同角三角函數的平方關系可判斷C；由兩角和的余弦公式可得，即可判斷D；即可得解.【詳解】對于A、B，，因為，，故A不存在，B存在；對于C，若且，則，故C不存在；對于D，，因為，故D不存在.故選：B.本題考查了三角恒等變換的應用，考查了同角三角函數平方關系的應用，屬于基礎題.14.在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據充分條件和必要條件結合正弦定理分析判斷即可.【詳解】當時，，則由正弦定理得，當時，由正弦定理得，所以，所以“”是“”的充要條件，故選：C15.若非零向量、滿足，且，則向量、的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由，求得，結合夾角公式即可求解；【詳解】設，由，可得，所以，所以，又，所以向量、的夾角為，故選：B16.已知，，，，滿足，，，有以下個結論：①存在常數，對任意的實數，使得的值是一個常數；②存在常數，對任意的實數，使得的值是一個常數.下列說法正確的是（）A.結論①、②都成立B.結論①不成立、②成立C.結論①成立、②不成立D.結論①、②都不成立【正確答案】B【分析】根據三角恒等變換的知識，分別將和用，表示即可.【詳解】對于結論①，∵，，∴，，∴，∴，∴當為常數，時，不是一個常數，故結論①不成立；對于結論②，方法一：∵又∵∴化簡得，∴存在常數，對任意的實數，使得，故結論②成立.方法二：（特值法）當時，，∴，∴.∴存在常數，對任意的實數，使得，故結論②成立.故選：B.本題中結論②的判斷，使用常規三角恒等變換的方法運算量較大，對于存在性結論，使用特值法可以有效驗證其正確性，減少運算量.三、解答題（第17、18、19每題14分，第20、21每題18分，共78分）17.已知向量與的夾角為，，．（1）求；（2）若向量與夾角為銳角，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）1（2）【分析】（1）通過求平方即可求解；（2）根據與的夾角為銳角，由a+b?λa+b>0且【小問1詳解】，所以【小問2詳解】因為與的夾角為銳角，所以a+b?λa+b首先λa因為，所以，解得；其次當時，由（1）得與的夾角為，所以，所以的取值范圍為．18.已知在中，所對邊分別為，且.（1）若，求面積；（2）若，求的周長.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）利用余弦定理及三角形面積公式即得；（2）利用正弦定理及條件可求，再利用正弦定理即可求解.【小問1詳解】，【小問2詳解】依題意，正弦定理：，所以代入計算：，則.當為銳角時，，所以，當為鈍角時，，所以，綜上：或.19.已知函數（且）.（1）討論的奇偶性與單調性；（2）若不等式的解集為，求的值.【正確答案】（1）是奇函數；單調性見解析（2）或【分析】（1）先求得復合型對數函數的定義域，再運用奇偶性的定義判斷的奇偶性；利用復合函數的單調性判斷的單調性，從而得解；（2）利用（1）中結論，分類討論并轉化的等價條件，從而得解.【小問1詳解】對于，有，解得，故的定義域為，又，故是奇函數；因為，易得在上單調遞增，所以當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減；【小問2詳解】由（1）知，當時，在上單調遞增，且為奇函數，則等價于，即，則，得；當時，在上單調遞減，且為奇函數，則等價于，即，則，得；綜上，或.20.已知函數．（1）若，且，求的值；（2）在銳角三角形中，若，求的取值范圍；（3）設函數，若在區間上恒成立，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用三角恒等變形，最后化為已知角的某個三角函數值，去求另一個角的三角函數值；（2）利用三角形已知一個角，再利用三角形內角和消元，從而化為一個三角函數的值域來求解；（3）利用二倍角關系，轉化為同一個角的三角函數式上來，再利用分離參變量思想來求解.【小問1詳解】，由題意知，所以，又，，則，故；【小問2詳解】由得，，，，，故，由是銳角三角形，得，則，得，即的取值范圍為；【小問3詳解】，當時，，令，則，在區間上恒成立，等價于關于的不等式在區間上恒成立，即有在區間上恒成立，又在區間上單調遞減，當時，有最大值，故有，即的取值范圍為．21.人臉識別技術在各行各業的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為（1）若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）已知，，，若，，求的值（3）已知，、，，若，，求、之間的曼哈頓距離