年常德市高三年級模擬考試數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】由，解得，即，而，所以.故選：B2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改為任意，把結論否定.【詳解】的否定為.故選：C3.已知數列的前項和為，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據與的關系及等比數列的通項求出的通項，再根據等比數列的前項和公式求出，第1頁/共18頁再逐一判斷即可.【詳解】由，當時，，當時，，所以，所以數列從第二項開始是以為首項，為公比的等比數列，所以，，所以，故ABC錯誤，D正確.故選：D.4.已知復數滿足：，則（）A.1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根據已知條件化簡求解得出，進而得出模長.【詳解】因為復數滿足：，則，即得，所以則.故選：A.5.下列不等式正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第2頁/共18頁【分析】根據指數函數和對數函數的單調性逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為函數為減函數，，所以，故A錯誤；對于B，因為函數是減函數，，所以，故B錯誤；對于C，因為，而，因為函數在上單調遞增，所以，故C錯誤；對于D，因為，，所以，故D正確.故選：D.6.從1234567這7個數任選3）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，利用排列計數問題求出試驗及事件基本事件數，再求出古典概率.【詳解】從給定的7個數中任取3個的試驗有個基本事件，的的有18個基本事件，所以得到的數列為等差數列的概率為.故選：A7.已知，則（）第3頁/共18頁A.B.7C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用條件求出，然后可得答案.【詳解】因為，所以，由和差化積公式可得，因為，所以，由，可得，所以.故選：C8.已知橢圓的左，右焦點分別為并延長交橢圓于點.若，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用橢圓的定義及勾股定理列式求出離心率.【詳解】設，由，得，，由橢圓定義得，由，得，則，解得，，令橢圓的半焦距為c，由，得，解得，第4頁/共18頁所以橢圓的離心率為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設樣本空間，且每個樣本點是等可能的，已知事件，則下列結論正確的是（）A.事件A與B為互斥事件B.事件兩兩獨立C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據互斥事件、獨立事件的定義和條件概率公式即可解答.【詳解】對于選項A，因為，所以事件與不互斥，故A錯誤；對于選項B，，，故B正確；對于選項C，交集為，則，故C錯誤；對于選項D，，故D正確故選：BD.10.已知連續函數是定義域為的偶函數，且在區間上單調遞增，則下列說法正確的是（）第5頁/共18頁A.函數在上單調遞增B.函數在上單調遞增C.函數存極小值點D.“”是“”的充要條件【答案】ACD【解析】AB單調性判斷C；利用充要條件的意義，結合導數求函數最小值判斷D.【詳解】由定義域在上的連續函數在區間上單調遞增，得，，對于A，，，函數在上單調遞增，A正確；對于B，取函數，顯然符合題意，函數，，當時，，函數在上不單調，B錯誤；對于C，函數定義域為，，函數是偶函數，令，因函數，在上都是增函數，則在上也是增函數，因是偶函數，故在上是減函數，因此是函數的一個極小值點，C正確；對于D，當時，依題意，，，令，則，當時，；當時，，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，，故有；而當時，取，得，則，所以“”是“”的充要條件，D正確.故選：ACD第6頁/共18頁如圖，在棱長為2的正方體中，空間中的點滿足，且，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則的最大值為C.若，則平面截該正方體的截面面積的最小值為D.若，則平面與平面夾角的正切值的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷A；利用空間向量的模建立方程求出最小值判斷B；作出截面并求出最小面積判斷C；利用面面角的向量求法求解判斷D.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，由，得，即點，對于A，，則點，，，，因此，A正確；第7頁/共18頁對于B，，則，即，令，則，其中銳角由確定，則當時，的最大值為，B正確；對于C，，在邊上，且，因平面平面，設平面平面，而平面平面，則，同理，因此是平面截該正方體的截面，點到直線的距離，當且僅當時取等號，，C錯誤；對于D，因，設平面的法向量，則，令，得；又，因，則，令平面的法向量，則，第8頁/共18頁令，得.設平面與平面的夾角為，則，，當時，，當時，，當且僅當或時取等號，因，此時最小，，，因此平面與平面夾角的正切值的最小值為，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【解析】【分析】根據離心率公式和雙曲線的的關系進行求解【詳解】由題知：，雙曲線的漸近線方程為故答案為【點睛】本題考查雙曲線漸近線的求法，解題時要熟練掌握雙曲線的簡單性質13.若函數有最小值，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導數探討函數在上單調性及對應函數值集合，再由給定最值情況求出范圍.【詳解】當時，，求導得，第9頁/共18頁函數在上單調遞增，在時的取值集合為，當時，，沒有最小值，由函數在R上有最小值，得在上單調遞減，且，因此，解得，所以實數的取值范圍是.故答案為：14.已知函數在區間上有且僅有1個零點和1的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求出相位的取值范圍，再由零點及對稱軸情況列出不等式求解.【詳解】當時，，由函數在區間上有且僅有1個零點和1條對稱軸，，得或，解得或，則，所以實數的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某景區經過提質改造后統計連續5天進入該景區參觀的人數（單位：千人）如下：3月53月63月73月83月9日期日日日日日第x天12345參觀人數y2.22.63.15.26.9第10頁/共18頁（1）建立關于的回歸直線方程，預測第10天進入該景區參觀的人數；（2、與進入景區選擇相同的門的概率為，出景區與進入景區選擇不同的門的概率為.假設游客從東門，西門出入景區互不影響，求甲，乙兩名游客都從西門出景區的概率.附：參考數據：參考公式：回歸直線方程，其中，.【答案】（1），約為千人；（2）.【解析】1）利用最小二乘法公式求出回歸直線方程，再估計第10天進入該景區參觀的人數.（2）利用全概率公式分別求出甲，乙從西門出景區的概率，再利用相互獨立事件概率的乘法公式求解.【小問1詳解】依題意，，而，則，，因此，當時，，所以關于的回歸直線方程為，第10天進入該景區參觀的人數約為千人.【小問2詳解】記“甲從西門進入景區”為事件“甲從西門出景區”為事件“乙從西門出景區”為事件，，，由全概率公式得，同理，第11頁/共18頁所以甲，乙兩名游客都從西門出景區的概率.16.是正方形，平面為.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】1）利用線面垂直的性質、判定及面面垂直的判定推理得證.（2）利用（1）的信息確定二面角的平面角，再作出線面角，利用幾何法求出正弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，由平面，平面，得，由四邊形是正方形，得，而平面，因此平面，又平面,所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，而，則平面，又平面，于是，為二面角的平面角，則，令正方形的棱長為4，而，則，取中點，連接，則，由（1）知平面平面，又平面平面，平面，則平面，第12頁/共18頁是直線與平面所成的角，而，，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.如圖，在中，分別是上的點，且與交于點，已知，且.（1）若，求的長；（2）求的長.【答案】（1）（2）2【解析】1）在中，利用余弦定理求解；（2上取點作，由三角形全等可得可得，則，運算得解.【小問1詳解】在中，，，，，第13頁/共18頁.【小問2詳解】如圖，在上取點，使得，又，，，則，所以，過點作，垂足為，則，所以.18.已知函數在處的切線與直線垂直.（1）求函數的單調區間；（2）若對任意恒成立，求實數的值；（3）對于函數，規定：，叫做函數的階導數.若對任意整數的最小值.【答案】（1）答案見詳解（2）（3）3【解析】1）求導，根據導數的幾何意義可得，進而利用導數求單調區間；（2）構建，可知對任意恒成立，注意到，可得，，并代入檢驗充分性；第14頁/共18頁（3）可設，根據求導法則結合數列知識可得，，分析可知對任意恒成立，結合二次函數運算求解即可.【小問1詳解】由題意可知：函數的定義域為，則，若函數在處的切線與直線垂直，則，解得，所以，令，則，解得或；令，則，解得；所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】構建，則，由題意可知：對任意恒成立，且，則，解得，若，則，構建，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則，即對任意恒成立，且對任意恒成立，可知對任意恒成立，所以符合題意；綜上所述：.【小問3詳解】由（1）可知：，第15頁/共18頁根據求導法則可設，其中，則，則可知數列是以首項為2，公差為2的等差數列，則，對于，則，當時，，且符合上式，所以，則，若對任意恒成立，則對任意恒成立，且的圖象開口向上，對稱軸為，可知在內單調遞增，則，解得，所以滿足條件的正整數的最小值為3.19.已知拋物線的焦點為，點在上，且.（1）求拋物線的方程；（2）過點作圓的兩條切線，且分別與相交于點，（異于點）.（ⅰ）若，求面積；（ⅱ）證明：直線過定點.【答案】（1）（2）；證明見解析.【解析】1）根據焦半徑公式結合題設條件可得關于的方程組，求出解后可得拋物線方程；第16頁/共18頁（2，再根據，得出k，