第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津一中高三（下）統練數學試卷（四）一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?1,0,1,2,3}，B={x∈N|2x?1∈N}，則A∩B=A.{2,3} B.{1,2,3} C.{?1,1,2,3} D.{?1,0,1,2,3}2.已知向量a=(1,2)，b=(k,?1)，則“k=?12”是“aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知一組數據：70，72，75，76，82，83，84，a，90，其中第70百分位數是84，則該實數a的取值范圍是(

)A.(84,90) B.[84,90) C.[84,+∞) D.(84,+∞)4.已知函數f(x)=(x?a)2+ln(A.14 B.12 C.0 5.如圖，高度為?的圓錐形玻璃容器中裝了水，則下列四個容器中，水的體積最接近容器容積一半的是(

)A. B. C. D.6.已知α是銳角，3sinα+22cosα=A.7711 B.3311 C.7.設等差數列{an}的前n項和為Sn，前n項積是Tn，若S6A.Sn無最大值，Tn無最小值 B.Sn有最大值，Tn無最小值

C.Sn無最大值，Tn有最小值8.如圖，在高為16的圓柱形筒中，放置兩個半徑均為3的小球，兩個小球均與筒壁相切，且分別與兩底面相切，已知平面α與兩個小球也相切，平面α被圓筒所截得到的截面為橢圓，則該橢圓的離心率為(

)A.13 B.12 C.349.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，M是棱CC1的中點，空間中的動點PA.55 B.3 C.2π 二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.i是虛數單位，復數23?i的虛部為______．11.在(1+x)6?(1+x)512.已知圓C：(x?1)2+y2=80，點P在直線l：y=kx+7(k∈R)上.若存在過點P的直線與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=16，13.某校舉行科技文化藝術節活動，學生會準備安排5名同學到甲、乙、丙三個不同社團開展活動，要求每個社團至少安排一人，則不同的安排方案數為______，如果再加上一名同學且要求甲社團安排三人，乙、丙至少安排一人，則不同的安排方案數為______．14.在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，BC=3BD，AC=2AE，若AD，BE交于點I，則BIIE=______；當BC=3，AC=4，AB=2時，△ABI的面積為______．15.函數f(x)=x|x?1|?1,x≥0,1x?1,x<0,若函數g(x)=f(1?x)?ax+1(a≠0)恰有兩個不同的零點，則實數三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a=3,b=22,△ABC的面積為3．

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)求sinB的值；

(Ⅲ)求17.(本小題15分)

如圖所示，在幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD和ABFE均為邊長為2的正方形，AD//EG，AE⊥底面ABCD，M，N分別為DG，EF的中點，EG=1．

(Ⅰ)求證MN//平面CFG；

(Ⅱ)求直線AN與平面CFG所成角的正弦值；

(Ⅲ)求平面CDG與平面CFG夾角的余弦值．18.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，左，右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線與橢圓相交于點A，B，且△F2AB的周長為8．

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)橢圓C的左，右頂點分別為A1，A2，上頂點為D，若過A2且斜率為19.(本小題15分)

同余定理是數論中的重要內容.同余的定義為：設a，b∈Z，m∈N+且m>1.若m|(a?b)，則稱a與b關于模m同余，記作α≡b(modm)(“|”為整除符號)．

(1)解同余方程：x2+2x≡0(mod3)；

(2)設(1)中方程的所有正根構成數列{an}，其中a1<a2<a3<…<an．

①若bn=a20.(本小題15分)

已知函數f(x)=xlnx?a(x?1)，其中a∈R．

(1)當a=1時，求函數f(x)在點(e,f(e))處的切線方程.(其中e為自然對數的底數)

(2)已知關于x的方程f(x)x+a=ax+ax有兩個不相等的正實根x1，x2，且x1<x2．

(ⅰ)求實數a的取值范圍；

(ⅱ)設k為大于1的常數，當a變化時，若參考答案1.A

2.C

3.C

4.A

5.D

6.B

7.D

8.D

9.D

10.1511.10

12.(?∞,?313.150

120

14.1

315.(116.解：(Ⅰ)

因為a=3,b=22,△ABC的面積為3．

所以S△ABC=12absinC=32sinC=3，

所以sinC=22，又△ABC是銳角三角形，

可得C=π4，又由余弦定理可得：c2=a2+b2?2abcosC=9+8?2×3×22×22=5，

解得c=5．

(Ⅱ)由正弦定理可得：bsinB=c17.解：(Ⅰ)證明：如圖，以A為原點，分別以AB，AD，AE方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系A?xyz，

由題意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)，

G(0,1,2)，M(0,32,1)，N(1,0,2)，

則CF=(0,?2,2)，CG=(?2,?1,2)，MN=(1,?32,1)，

設平面CFG的一個法向量為n1=(x1,y1,z1)，

故n1·CF=0n1·CG=0，即?2y1+2z1=0?2x1?y1+2z1=0，

令z1=2，得n1=(1,2,2)，

所以n1?MN=(1,2,2)?(1,?32,1)=1×1+2×(?32)+2×1=0，

所以MN⊥n1，又MN?平面CFG，

所以MN/?/平面CFG．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得直線AN的一個方向向量為AN=(1,0,2)，平面CFG的一個法向量為n118.解：(Ⅰ)由題設得4a=8，所以a=2，又離心率為32，解得c=3，b=1，

所以橢圓C的標準方程為x24+y2=1；

(Ⅱ)因為A2(2,0)，所以設直線l的方程為y=k(x?2)，且k<?12，

聯立y=k(x?2)x24+y2=1，整理可得：(4k2+1)x2?16k2x+16k2?4=0，

則x0+2=1619.解：(1)由題意x(x+2)≡0(mod3)，所以x=3k或x+2=3k(k∈Z)，

即x=3k或x=3k?2(k∈Z)；

(2)由(1)可得{an}為{1,3,4,6,7,9,10,???}，所以an=3n?12(n為奇數)3×n2(n為偶數)．

①因為bn=an+120.解：(1)當a=1時，f(x)=xlnx?(x?1)，∴f′(x)=lnx，

∴f′(e)=lne=1，又f(e)=e?(e?1)=1，

∴函數f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為y?1=x?e，即x?y?e+1=0；

(2)(ⅰ)f(x)x+a=ax+ax，即lnx=ax，則有a=lnxx，x>0，

設F(x)=lnxx，x>0，則F′(x)=1?lnxx2，令F′(x)=0，得x=e，

令F′(x)>0，得0<x<e，令F′(x)<0，得x>e，

∴函數F(x)=lnxx在(0,e)上單調遞增，在(e,+∞)上單調遞減，

又x趨向于0時，F(x)趨向負無窮，x趨向于正無窮大時，F(x)無限趨向0，且F(e)=1e，

所以函數F(x)=lnxx的大致圖象如下：

由題意，方程f(x)x+a=ax+ax有兩個不相等的正實根，

即方程a=lnxx有兩個不相等的正實根，

∴函數F(x)=lnxx的圖象與直線y=a有兩個交點，

由圖知，0<a<1e，故實數a的取值范圍為(0,1e)；

(ⅱ)∵F(1)=0，由(ⅰ)得1<x1<e<x2，則a=lnx1x1=lnx2x2，

∴x2x1=lnx2lnx1，設x2x1=t(t>1)，則t=lnt+lnx1lnx1，

即lnx1=lntt?1，lnx2=tlntt?1，

由題意x1kx2有最小值ee，即klnx1+lnx2=(k+t)lntt?1有最小值e，

設g(t)=(k+t)lntt?1，t>1，則g′(t)=?(k+1)lnt+