「目錄」

第一講數與式.................................................................................1

第二講方程與不等式.........................................................................15

第三講反比例函數和一次函數綜合............................................................29

第四講二次函數基礎..........................................................................43

第五講函數探究..............................................................................61

第六講代數綜合.............................................................................79

第七講三角形及全等三角形..................................................................99

第八講平行與四邊形基礎....................................................................117

第九講圓的基礎............................................................................135

第十講全等模型.............................................................................152

第十一講四邊形綜合........................................................................163

第十二講圓綜合.............................................................................175

第十三講手拉手模型........................................................................193

第十四講空翻模型.........................................................................206

第十五講半角模型...........................................................................215

第十六講中點模型.........................................................................228

第十七講對稱變換.........................................................................237

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第一講數與式

【課前診斷】

1.（2分）使二次根式有意義的x的取值范圍是.

2.（12分）計算：

⑴（—2）2+-（2015-573）°-|--|（2）（x+y）2-4（升），）+4

22

(3)3A/2+V3-2A/2—3V3(4)5y[a^—飛4a2(a>0)

3.（2分）計算1—2+3—4+5—6+,??+2015—2016的結果是（

A.-2016B.-1008C.-1D.0

4.（2分）。一1與3—2。是某正數的兩個平方根，則實數。的值是（）

4

A.4B.——C.2D.-2

3

5.（2分）2015年元旦期間，北京各大公園接待游客達245000萬人次。其中，冰雪樂園吸引了大批游客親

身感受冰雪帶來的快樂，一起為北京申辦2022年冬奧會助力加油用科學記數法表示245000是

改錯區：

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【知識梳理】

考點自查表

考點知識難度是否掌握

①實數的相關概念☆□

②實數的運算☆☆□

③整式概念及運算☆☆□

④分式的概念及基本性質☆□

⑤分式運算☆☆□

⑥二次根式☆□

1.實數的相關概念

（1）相反數、倒數、數軸、絕對值、科學記數法、乘方

①相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數.特別地，0的相反數是.

②倒數：乘積為1的兩個數互為倒數.

③數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫數軸.實數和數軸上的點一一對應.

④絕對值：在數軸上表示數〃的點到原點的距離叫數。的絕對值，記作卜一。|表示.正數的

'一（?>0）

絕對值等于一：0的絕對值等于一；女數的絕對值等于；|。卜<一（4=0）

「（4<0）

⑤科學記數法：把一個絕對值大于10（或者小于1）的實數表示成4X10"的形式（其中—《同〈一,〃是整

數），此種記法叫做科學記數法.

⑥乘方：求〃個相同因數的積的運算，叫涉乘方，乘方的結果叫做事.在4”中，一叫做底數，一叫做指數,

當a"看作。的〃次方的結果時，也可讀做。的〃次幕.正數的任何次幕都是正數；0的任何正整數次累都

是一;負數的奇次鼎是,負數的偶次晶是.

2

3

（2）平方根、立方根

①平方根：一般地，如果一個數的平方等于。，那么這個數叫做"的平方根或二次方根.也就是說，若丁，

則x就叫做。的.一個非負數々的平方根可用符號表示為.求一個非負數的平方根的運算，

叫做開平方.開平方與平方是互逆運算。一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負

數沒有平方根.

②算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a,那么這個正數x叫做a的算術平方根，可用符號表

示為，0的算術平方根是0;

③立方根：一般地，如果一個數的立方等于那么這個數叫做。的立方根或三次方根，也就是說，若

則x就叫做〃的立方根，一個數。的立方艱可用符號表.亞%=.

立方根的有關性質：府=—，（正＞二一。

2.實數的運算

（1）實數加法法則：同號兩數相加，取符號，并把絕對值一；異號兩數相加，絕對值相等時和_；

絕對值不等時，取符號，并用一的絕對值______絕對值；一個數同0相加，仍得這個數.

（2）實數減法法則：減去一個數，等于.

（3）實數乘法法則：兩數相乘，同號得—，異號得一，再把絕對值一；任何數與0相乘，積仍為一.

（4）實數除法法則：除以一個數等于;兩數相除，同號得異號得并把絕對值0

除以任何非。的數都得0.

（5）實數的混合運算法則：和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算一、一，再算一,最后算

，有一的要先算，同級運算要按照從一到—的順序進行.

（6）實數的運算律：

加法交換律：a+b=（a,。為任意實數）

加法結合律：（a+b）+c=（a,btc為任意實數）

乘法交換律：ab=（a,〃為任意實數）

乘法結合律：=。。。）（〃,b為任意實數）

乘法分配律：a（b+c）=（a,Ac表示任意實數）

4

3.整式概念及運算法則

（1）整式概念

①代數式:用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式.

②單項式:由數字或字母的積組成的代數式叫做單項式.

③多項式:幾個單項式的和叫做多項式.在多項式中，每個單項式叫做多項式的項.

④同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.

（2）整式運算法則

①整式的加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。

②整式的乘法：心（機，〃都是正整數）=都是正整數）

（abS1=（〃都是正整數）=a2-b2

(a+b)2=(a-b)2=

③整式的除法：屋+4=（九〃都是正整數,。工0）

注意：（1）單項式乘單項式的結果仍然是.

（2）單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同.

（3）計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時要注意單項式的符號.

（4）多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要。

（5）公式中的字母可以表示數，也可以表示單項式或多項式。

（6）。°=___（awO）;0-P=（awO,p為正整數）

（7）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，單項式除

以多項式是不能這么計算的。

④因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解（或者分解因式）.

因式分解的一般步驟：

（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：二項式可以嘗試運用

分解因式；三項式可以嘗試運用、分解因式；四項式及四項式以上的可以嘗試

__________分解因式.

（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。因式分解的方法：

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i.提公因式法：ma-\-mb+mc=；

ii.運用公式法：a2—b2=?a1±2ab-\-lr=

iii.十字相乘法：xL-\-(a-\-b)x-\-ab=.

iv.分組分解法：ac+ad+be+bd==

4.分式概念及基本性質

AA

①分式定義：用43表示兩個整式，A+B可以表示成2■的形式，如果B中含有字母且8工0,式子色?就

BB

叫做分式，其中力叫做這個分式的分子，B叫做這個分式的分母(6。0).

②分式的基本性質：分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值_____。用式子表示

AA.rAA—C

為乙=2-2或乙=一上(CwO),其中A,B,C均為整式。

BBCBB)

5.分式的運算

①約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，叫做分式的約分；約分時，若分子分母還有多項式，應

先進行，然后找去他們的公因式再約分.

②最簡分式：分子分母沒有公因式的分式叫做最簡分式，分式運算結果都要化成最簡分式或整式.

③分式通分：

(1)當分母是單項式時，取系數的與各字母的的積為最簡公分母，把各分式化成分母相同的

分式.

(2)當分母是多項式時，一般先分解因式，然后再確定.進行分式乘除法時，注意符號法則，兩數

相乘，同號得正，異號得負.分式乘除的結果必須化成最簡分式，而分式的賣方，把分子、分母各自乘方.

④主要公式：

(1)同分母加減法則：2±￡=住(4.0)

aaa

(2)異分母加減法則：2±4=如±也=必主包(axo,cHO)

acacacac

,、——A、上bdbdbebdbd

(3)分式的乘法與除法:----=—;—^―=----=—.

acacaaacac

6.二次根式

①定義：二次根式：形如的式子叫做二次根式，"J-”稱為二次根號;

②最簡二次根式滿足下面條件：

(1)被開放數的因數是整數，因式是整式(被開方數不能存在小數、分數形式)

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（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式

（3）分母中不含二次根式

③同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數，這幾個二次根式

就叫做同類二次根式

④基本性質：

（1）&之。（心°）雙重非負性；

（2）（?>0）.

⑶"第

［一4（4T<0）

常見化簡：我=2&；V12=273；V18=3^/2；圓=26通=2；V27=3

⑤運算：

（1）加減：化為最簡二次根式后，合并同類項；

（2）乘法：4a-4b=4ab（<?>0,Z?>0）

⑶除法：(a>0,b>0)

【典型例題】

【例題1】上的算術平方根為__________.

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【練習1］后的算術平方根是

【例題2】式子有意義的X的范圍是.

【練習2.1］若^■有意義,則x的取值范圍是

【練習2.2】當x時，J3-2元有意義.

【例題3】化簡：|指一G|一13-卡|.

【練習3.1】化簡：|百一2k24=

【練習3.2】計算：卜歷一，耳一3（、后一五）+/5

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【例題4】1.已知實數滿足,一4|+4二8=0,則以為了的值為兩邊長的等腰三角形的周長是

【練習4.1】若a、b為實數,且滿足kz—Z+Q^nO,則人一。