初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽集訓(xùn)班學(xué)生講義

第一講求根公式................................................................1

第二講判別式與二次方程根.....................................................5

第三講充滿活力的韋達(dá)定理....................................................10

第四講構(gòu)造方程...............................................................14

第五講一元二次方程的整數(shù)解..................................................17

第六講轉(zhuǎn)化一可化為一元二次方程的方程.......................................20

第七講化歸一解方程組的基本思想..............................................24

第八講常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)....................................................28

第九講坐標(biāo)平面上的直線......................................................34

第十講拋物線.................................................................39

第T-一講雙曲線..............................................................46

第十二講方程與函數(shù)..........................................................52

第十三講怎樣求最值..........................................................56

第十四講圖表信息問(wèn)題........................................................62

第十五講統(tǒng)計(jì)的思想方法......................................................69

第十六講銳角三角函數(shù)........................................................76

第十七講解直角三角形........................................................81

第十八講圓的基本性質(zhì)........................................................86

第十九講轉(zhuǎn)化靈活的圓中角....................................................92

第二十講直線與圓............................................................96

第二H^一講從三角形的內(nèi)切圓談起.............................................103

第二十二講圓轅定理..........................................................108

第二十三講圓與圓............................................................114

第二十四講幾何的定值與最值.................................................121

第二十五講輔助圓............................................................126

第二十六講開(kāi)放性問(wèn)題評(píng)說(shuō)...................................................130

第二十七講動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題透視.................................................136

第二十八講避免漏解的奧秘...................................................143

第二十九講由正難則反切入...................................................148

第三十講從創(chuàng)新構(gòu)造入手.....................................................151

第一講求根公式

形如以2+"+c=0("0)的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式

分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最

具有一般性的方法。

求根公式32=金巴二竺內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)

2a

運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基

本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

I

降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程

相關(guān)的問(wèn)題，直接求解可能給解題帶來(lái)許多不便，往往不是去解這個(gè)二次方程，

而是對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝸?lái)代換，從而使問(wèn)題易于解決。解題時(shí)常用到變形降

次、整體代入、構(gòu)造零值多項(xiàng)式等技巧與方法。

【例題求解】

【例1】滿足(/一”1嚴(yán)2=1的整數(shù)n有個(gè)。

思路點(diǎn)撥：從指數(shù)運(yùn)算律、±1的特征人手，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程。

【例2】設(shè)修、心是二次方程/+》-3=0的兩個(gè)根，那么占3-4與2+19的值等于

()

A、一4B、8C、6D、0

思路點(diǎn)撥：求出不、X2的值再代入計(jì)算，則計(jì)算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定

2

義及變形，使多項(xiàng)式降次,如及=3-8,X2=3-X2O

【例3】解關(guān)于x的方程(a一1)1一2ax+a=0。

思路點(diǎn)撥：因不知曉原方程的類型，故需分4-1=0及加1片0兩種情況討論。

【例4】設(shè)方程？_"一1|一4=0,求滿足該方程的所有根之和。

思路點(diǎn)撥：通過(guò)討論，脫去絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方

程求解。

【例5】已知實(shí)數(shù)a、6、c、d互不相等，且a+』=b+,=c+L=d+L=x,試求

bcda

X的值。

思路點(diǎn)撥：運(yùn)用連等式，通過(guò)迭代把b、c、d用〃的代數(shù)式表示，由解方程求得

x的值。

注：一元二次方程常見(jiàn)的變形形式有：

⑴把方程a』+8x+c=0(a/0)直接作零值多項(xiàng)式代換；

(2)把方程ax?+￡>x+c=O(a*0)變形為nx?=-〃x-c,代換后降次；

⑶把方程ax?+Z?x+c=O(〃/0)變形為ax?+8x=-c或ax?+c=-bx,代換后使

之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去X。

解合字母系數(shù)方程a?+bx+c=o時(shí)，在未指明方程類型時(shí)，應(yīng)分a=0及"0兩

種情況討論；解絕對(duì)值方程需脫去絕對(duì)值符號(hào)，并用到絕對(duì)值一些性質(zhì)，如

網(wǎng)2=|x2|=X2o

2

求根公式學(xué)歷訓(xùn)練

1>已知〃、b是實(shí)數(shù)，且J2a+6+一閻=0,那么關(guān)于x的方程3+2)/+力2冗=々_]

的根為O

32

2、已知尤2_3X-2=0,那么代數(shù)式(XT)T~+1的值是。

x-i---------

3、若x?+%y+y=14,y2+xy+x=28,則x+y的值為。

4、若兩個(gè)方程f+?+0=0和/+云+a=o只有一個(gè)公共根，則()

A、a=bB、a+b=GC、a+b=1D、a+Z?=-1

5、當(dāng)分式一一有意義時(shí)，x的取值范圍是()

-x+3x+4

A、x<—1B、x>4C-l<x<4D、XK—1Fl.x4

6^方程(x+l)|x+l|-煙+1=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()A>0B、1C>2

D、3

7、解下列關(guān)于x的方程：

(1)(w-l)x2+(2m-l)x+w-3=0;(2)x2-|x|-l=0;

(3)lx2+4x-51=6-2x0

8、己矢口廠一2x—2=0,弋(x—1)~+(x+3)(x—3)+(x—3)(x—1)的彳直。

9、是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)m,使得方程—+,如+2=0和/+2x+機(jī)=0有且只有一個(gè)公

共的實(shí)根?如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)m及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由。注：解公共根問(wèn)題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡(jiǎn)單形式表示時(shí)，利

用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時(shí)，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過(guò)

消去二次項(xiàng)尋找解題突破口。

10、若X2-5X+1=0,貝1」2d-9》+3+-^—=。

x2+l

11>已知機(jī)、”是有理數(shù)，方程x?+,〃x+〃=0有一個(gè)根是石-2,則，〃+〃的值

3

為。

12、已知"是方程/_尸2000=0的一個(gè)正根。則代數(shù)式3+2黑0的值

1+-----------

"2000

為O

13、對(duì)于方程x2-2W+2=〃i,如果方程實(shí)根的個(gè)數(shù)恰為3個(gè)，則口值等于（）

A,1B、2C、右D、2.5

14、自然數(shù)"滿足（M_2〃-2嚴(yán)+47=（〃2一2"2嚴(yán)"松，這樣的”的個(gè)數(shù)是（）

15、已知八人都是負(fù)實(shí)數(shù)，且―――，那么2的值是（）

aba-b=0a

A、浮B、'著D、土正

16、已知x=J19-8后，求X-6x「2x-+18x+23的值。

xz-8x+15

17、已知m、n是一元二次方程x2+200Lr+7=0的兩個(gè)根，求

（w2+2000n+6）（/n2+2002/7+8）的值。

18、在一個(gè)面積為1的正方形中構(gòu)造一個(gè)如下的小正方形：將正方形的各邊〃等

分，然后將每個(gè)頂點(diǎn)和它相對(duì)頂點(diǎn)最近的分點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，如圖所示，若小正方形

面積為一^，求〃的值。Dr

19、已知方程/_3x+l=0的兩根a、〃也是方程x,-p/+q=0的根，求p、q的

值。

20、如圖，銳角AABC中，PQRS是AABC的內(nèi)接矩形，且S&BC=〃S矩形PQRS，其中“

為不小于3的自然數(shù).求證：變需為無(wú)理數(shù)。

AB

第二講判別式與二次方程根

為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器，為了辨別鈔

票的真?zhèn)危y行里常常使用驗(yàn)鈔機(jī)，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)，最

好能知道根的特性：如是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，根的符號(hào)特點(diǎn)等。我們形

象地說(shuō)，判別式是一元二次方程根的“檢測(cè)器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：

利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；

運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；

通過(guò)判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題；

借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題、

最值問(wèn)題。

【例題求解】

［例1］已知關(guān)于x的一元二次方程（1-2?口2一2仄不-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，那么人的取值范圍是o（廣西中考題）

思路點(diǎn)撥：利用判別式建立關(guān)于火的不等式組，注意1-2%、k+1的隱含制約。

注：運(yùn)用判別式解題，需要注意的是：

（1）解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含制約；

（2）在解涉及多個(gè)二次方程的問(wèn)題時(shí)，需在整體方法、降次消元等方法思想

的引導(dǎo)下，綜合運(yùn)用方程、不等式的知識(shí)。

2

【例2】已知三個(gè)關(guān)于y的方程：/_y+a=o,（a-l）y+2y+l=0和

（a-2）/+2y-l=0,若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

（山東省競(jìng)賽題）

A、a<2B、a<-^\<x<2C、a>lD、-<a<l

44

思路點(diǎn)撥：“至少有兩個(gè)方程有實(shí)根”有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于。的

不等式組，綜合判斷選擇。

【例3】已知關(guān)于x的方程X2_（A+2）X+2A=0,

（1）求證：無(wú)論及取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若等腰三角形aABC的一邊長(zhǎng)。=1,另兩邊長(zhǎng)6、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)

根，求AABC的周長(zhǎng)。（湖北省荊門(mén)市中考題）

思路點(diǎn)撥：對(duì)于⑴只需證明△》（）；對(duì)于⑵由于未指明底與腰，須分6=c,或八

c中有一個(gè)與c相等兩種情況討論，運(yùn)用判別式、根的定義求出。、c的值。

注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計(jì)的一個(gè)熱點(diǎn)，但

不一定每個(gè)這類題均有多解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍。

（2）運(yùn)用根的判別式討論方程根的個(gè)數(shù)為人所熟悉，而組合多個(gè)判別式討論

方程多個(gè)根（三個(gè)以上）是近年中考，競(jìng)賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問(wèn)題常

用到換元、分類討論等思想方法。

［例4］設(shè)方程卜，同=4,只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求。的值和相應(yīng)的3個(gè)根。

5

(重慶市競(jìng)賽題)

思路點(diǎn)撥：去掉絕對(duì)值符號(hào)，原方程可化為兩個(gè)一元二次方程.原方程只有3

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則其中一個(gè)判別式大于零，另一個(gè)判別式等于零。

［例5］已知：如圖，矩形ABCD中，AD="，DC=〃，在AB上找一點(diǎn)E,使E

點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似，設(shè)AE=x，問(wèn)：這樣的點(diǎn)E

是否存在？若存在，

這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由。(云南省中考題)

思路點(diǎn)撥：要使RtAADE>RtABEC.RtAECD彼此相似，點(diǎn)E必須滿足NAED+

ZBEC=90°,為此，可設(shè)在AE上存在滿足條件的點(diǎn)E使得RtaADEsRt^BEC,

建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)判別式討論點(diǎn)E的存在與否及存在的個(gè)數(shù)。

注：有些與一元二次方程表面無(wú)關(guān)的問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平

道路，常見(jiàn)的構(gòu)造方法有：

(1)利用根的定義構(gòu)造；

(2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造；

(3)確定主元構(gòu)造。

6

判別式與二次方程根學(xué)力訓(xùn)練

1、已知而7+卜+1|=0,若方程小+ax+匕=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k=o

2、若關(guān)于x的方程f+27^_1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則A的取值范圍

是o

（遼寧省中考

題）

3、已知關(guān)于X方程d一瘍缶+%=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn)

卜&-2+JM-4&+41=o

4、若關(guān)于x的一元二次方程（切-2）2，+（2川+1次+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)

的取值范圍是（）

A、m<—B、m<—C、m>—H.m^2D、且〃件±2（山西省

4444

中考題）

5、已知一直角三角形的三邊為a、b、c,ZB=90°,那么關(guān)于x的方程

g2_1）_25+仇產(chǎn)+1）=0的根的情況為（）

A、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B、沒(méi)有實(shí)數(shù)根

C、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D、無(wú)法確定（河南省中考題）

6、如果關(guān)于x的方程（,"-2），-2（nj-l）x+m=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程

-（"?+2）x+（4-/n）=0的根的情況是（）

A、沒(méi)有實(shí)數(shù)根B、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D、只有一個(gè)實(shí)數(shù)根（2003年河南

省中考題）

7、在等腰三角形ABC中，ZA、NB、NC的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a=3,

h和，是關(guān)于x的方程/+心+2-2〃?=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求AABC的周長(zhǎng)。（濟(jì)

2

南市中考題）

8、已知關(guān)于x的方程X?+2（2-m）x+3-6/n=0

（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）如果方程的兩實(shí)根分別為修、X2,滿足可=3.，求實(shí)數(shù)機(jī)的值。（鹽城市中

考題）

7

9、八。為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程卜2+以++2有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。

⑴求證:a2-4/?-8=0;

（2）若該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必

有一個(gè)內(nèi)角是60°；

（3）若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求a和。的值。（江蘇

省蘇州市中考題）

10、關(guān)于的兩個(gè)方程方+4wx+2m+3=0,/+（2〃z+l）x+"，=0中至少有一個(gè)方程有

實(shí)根，則m的取值范圍是o（2002年四川省競(jìng)賽題）

11、當(dāng)。=,b=時(shí)，方程/+2（l+a）x+（302+4ab+4b2+2）=0有實(shí)

數(shù)根。（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

12、若方程卜2-5^=a有且只有相異二實(shí)根，則。的取值范圍是。

13、如果關(guān)于x的方程機(jī)》2一2（布+2口+〃,+5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于x的方程

（機(jī)一5），一2（〃[+2）X+/M=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)（）A、2B、1C^0D、

不能確定

14、已知一元二次方程x2+bx+c=0,且6、c可在1、2、3,4、5中取值，則在

這些方程中有實(shí)數(shù)根的方程共有（）A、12個(gè)B、10個(gè)C、7個(gè)D、

5個(gè)（河南省中考題）

15、已知AABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,且滿足方程一1_/*+從=o,則方

程根的情況是（）

A、有兩相等實(shí)根B、有兩相異實(shí)根C、無(wú)實(shí)根D、不能確定（河

北省競(jìng)賽題）

16、若a、b、C、d>0,證明：在方程+\!la+bx+4cd=0①；—x2+^1b+cx+4ad=0

22

②；yx2+-J2c+dx+4ab=0（3）;++=0④中,至少有兩個(gè)方程有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（湖北省黃岡

市競(jìng)賽題）

17、已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+6+c=0,abc=l,求證：a、b、c中至少有一

8

個(gè)大于9

18、關(guān)于X的方程"2_(&-l)x+l=。有有理根，求整數(shù)是的值。(山東省競(jìng)賽題)

19＞考慮方程(r-10x+a)2=6①

⑴若”=24,求一個(gè)實(shí)數(shù)〃，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)x滿足①式。

⑵若。225,是否存在實(shí)數(shù)6,使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)x滿足①式?說(shuō)明你的

結(jié)論。(國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題)

20、如圖，已知邊長(zhǎng)為〃的正方形ABCD內(nèi)接于邊長(zhǎng)為b的正方形EFGH,試求&的

a

取值范圍。

9

第三講充滿活力的韋達(dá)定理

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎?/p>

由16世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的。

韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：

運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；

運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；

利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；

利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等。

韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路。

韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多

彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而解這類問(wèn)題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法。

【例題求解】

【例1】已知a、尸是方程產(chǎn)一-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式〃+或/-2)的

值為O

思路點(diǎn)撥：所求代數(shù)式為a、￡的非對(duì)稱式，通過(guò)根的定義、一元二次方程的變

形轉(zhuǎn)化為(例

【例2】如果a、方都是質(zhì)數(shù)，且/_1"+力=0,b2-\3b+m=0,那么勺+4的值為

ab

()

A、翳B、管或2C、胃D、翳或2

思路點(diǎn)撥：可將兩個(gè)等式相減，得到“、。的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可

視。、h為方程f-13x+%=0的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條

件。

注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于看、心的對(duì)稱式，這類問(wèn)題可通過(guò)

變形用馬+與、町冷表示求解，而非對(duì)稱式的求值常用到以下技巧：

⑴恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對(duì)稱式。

2

【例3】已知關(guān)于x的方程：X2-(-2)X-—=0

W4

(1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根。

(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根修、々滿足員|=|引+2,求m的值及相應(yīng)的修、與。

思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2),先判定肛、叼的符號(hào)特征，并從分類討論入手。

【例4】設(shè)修、打是方程2x2-4g+2"，+3/M-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí),

10

X,2+超2有最小值?并求出這個(gè)最小值。

思路點(diǎn)撥：利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再?gòu)呐浞椒ㄈ胧郑瑧?yīng)

注意本例是在一定約束條件下(△2())進(jìn)行的。

注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定

理解題時(shí)，須滿足判別式△》()這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但

要注意轉(zhuǎn)化前后問(wèn)題的等價(jià)性。

［例5］已知：四邊形ABCD中，AB〃CD,且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程

x2-2mx+(m-)2+—=0的兩個(gè)根。

24

(1)當(dāng)m=2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說(shuō)明理由。

(2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P,Q,PQ=1,

且AB〈CD,求AB、CD的長(zhǎng).

思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2),易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與

中點(diǎn)相關(guān)知識(shí)找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式。

注：在處理以線段的長(zhǎng)為根的一元二次方程問(wèn)題時(shí)，往往通過(guò)韋達(dá)定理、幾何性

質(zhì)將幾何問(wèn)題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過(guò)根的判別式的檢驗(yàn)，

又要考慮幾何量的非負(fù)性.

11

充滿活力的韋達(dá)定理學(xué)歷訓(xùn)練

1、⑴已知X1和々為一元二次方程2x2-2x+3w-l=0的兩個(gè)實(shí)根，并X]和孫滿足

不等式“2<],則實(shí)數(shù)，"取值范圍是__________。

犬1+工2—4

(2)已知關(guān)于x的一元二次方程8-+(加+13+吁7=0有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)

tn的取值范圍是。

2、已知a、/是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式明2+斤的值

為O

3、CD是RtAABC斜邊上的高線，AD、BD是方程一一6工+4=0的兩根，則4ABC

的面積是O

4、設(shè)勺、外是關(guān)于X的方程？+〃冗+夕=0的兩根，西+1、X2+1是關(guān)于X的方程

天2+/+〃=0的兩根，則p、夕的值分別等于()A.1,-3B.1,3

C.-1,-3D.-1,3

5、在RtaABC中，ZC=90°,a、b、c分別是NA、NB、NC的對(duì)邊，a、b是

關(guān)于X

的方程/-7x+c+7=0的兩根，那么AB邊上的中線長(zhǎng)是()

A.-B.-C.5D.2

22

6、方程，+px+i997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根占、x2,則——E——的值是()

(x1+l)(x2+l)

A.1B.-1C.--D.-

22

7、若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式：

X](X]+l)+x2(x2+1)=(*1+1)(*2+1),判斷(。+力244是否正確?

8、已知關(guān)于X的方程*2_(2"3〃+廿+1=0。

(1)當(dāng)％是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；

⑵若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根陽(yáng)、心滿足：|引+同=3,求/的值。

9、已知方程/+px+4=0的兩根均為正整數(shù)，且p+q=28,那么這個(gè)方程兩根

12

為。

10、已知a、尸是方程-7-1=0的兩個(gè)根，則a，+3/的值為。

11、AABC的一邊長(zhǎng)為5,另兩邊長(zhǎng)恰為方程2產(chǎn)_12》+相=0的兩根，則m的取值

范圍是o

12、兩個(gè)質(zhì)數(shù)八恰好是整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則2+4的值是（）

ab

A.9413B.純C.2413D,9413

1949997

13、設(shè)方程有一個(gè)正根不，一個(gè)負(fù)根工2,則以周、|引為根的一元二次方程為

（）

A.x2-3x-m-2=OB.x1+3x-/n-2=0

C.x2-Vl-4wx-2=0D.x2-?J1-4mx+2=0

14、如果方程。-1）（一一2￥+加）=0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)

數(shù)m的取值范圍是（）

A.OWmWlB.m2。C.—<m<1D.

444

15、如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10,且AB、BC（AB>BC）的長(zhǎng)是關(guān)于

x的方程的兩個(gè)根。

⑴求rn的值；

（2）若E是AB上的一點(diǎn)，CFLDE于F,求BE為何值時(shí)，4CEF的面積是aCED

的面積的請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

16>設(shè)田是不小于T的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程工入，+2（刃-2）l+〃/-3m+3=0有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根陽(yáng)、x2O

22

⑴若占2+才=6,求m的值。（2）求”L+一的最大值。

1-X）1—%2（第17題）

17、如圖，已知在AABC中，NAC如90°,過(guò)C作CD_LAB于D,且AD=m,BD=n,

13

AC2：BC2=2：1；又關(guān)于x的方程32-2（〃-i）x+/_i2=0兩實(shí)數(shù)根的差的平方小

4

于192,求整數(shù)m、n的值。

18、設(shè)b、c為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程和爐+〃*+］=o和/+汝+0=0有一

個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程/+x+a=0和i+cx+6=0也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根,

試求a+8+c的值。

第四講構(gòu)造方程

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然表面與一元二次方程無(wú)關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次

方程，那么就能運(yùn)用一元二次方程豐富的知識(shí)與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方

程的常用方法是：

1.利用根的定義構(gòu)造

當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個(gè)變?cè)闯墒顷P(guān)于某個(gè)字母的一元

二次方程的兩根.

2.利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造

若問(wèn)題中有形如x+y=a,沖=b的關(guān)系式時(shí)，則x、y可看作方程”-az+匕=0

的兩實(shí)根.

3.確定主元構(gòu)造

對(duì)于含有多個(gè)變?cè)牡仁?，可以將等式整理為關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方

程.

成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當(dāng)?shù)淖冃巍V泛的聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的；成功

的構(gòu)造能收到明快簡(jiǎn)捷、出奇制勝的效果.

注：許多數(shù)學(xué)問(wèn)題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運(yùn)用已知條件，以

已知條件為素材，以所求結(jié)論為方向，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造出一種輔助問(wèn)

題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問(wèn)題在新的形式下獲得簡(jiǎn)解，這就是解題中的“構(gòu)造”

策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法.

【例題求解】

［例1］已知x、y是正整數(shù)，并且—+x+y=23,fy+旬2=12（）,貝1」/+/=.

思路點(diǎn)撥x2+y2=（x+y）2_2今，變形題設(shè)條件，可視X+八個(gè)為某個(gè)一元二次

方程兩根，這樣問(wèn)題可從整體上獲得簡(jiǎn)解.

14

【例2】若abrl,且有5『+200匕+9=0及9/+200/+5=0,則且的值是（）

h

A.2B?2C.一些D.一幽

5959

思路點(diǎn)撥第二個(gè)方程可變形為%+9=0,這樣兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu),

b2b

從利用定義構(gòu)造方程入手.

【例3】已知實(shí)數(shù).、b滿足“2+"+/=[,且”必_〃2_/，求/的取值范圍.

思路點(diǎn)撥由兩個(gè)等式可求出“+〃、時(shí)的表達(dá)式，這樣既可以從配方法入手，

又能從構(gòu)造方程的角度去探索，有較大的思維空間.

【例4】已知實(shí)數(shù)〃、b、c滿足a+Z?+c=2,abc=4.

（1）求a、b>c中最大者的最小值；

⑵求同+W+M=3的最小值.

思路點(diǎn)撥不妨設(shè)a2b,aec,由條件得6+c=2-a,bc=-.構(gòu)造以b、c為實(shí)

a

根的一元二次方程，通過(guò)△》（）探求a的取值范圍，并以此為基礎(chǔ)去解（2）.

注：構(gòu)造一元二次方程，在問(wèn)題有解的前提下，運(yùn)用判別式△》（），建立含參數(shù)

的不等式，

縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應(yīng)用.

【例5]試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位

數(shù)之和的平方，恰好等于這個(gè)四位數(shù).（2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

思路點(diǎn)撥設(shè)前后兩個(gè)二位數(shù)分別為x，y，則有（x+y）2=l（）（k+y,將此方程整理

成關(guān)于x（或y）的一元二次方程，在方程有解的前提下，運(yùn)用判別式確定y（或x）

的取值范圍.

學(xué)歷訓(xùn)練

1.若方程加-3）x+l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是s,則s的取值范圍

15

是.

2.如圖，在RtAABC中，斜邊AB=5,CD1AB,已知BC、AC是一元二次方程

r-（26-1）工+4（祖-1）=0的兩個(gè)根，則m的值是

3.已知“、b滿足/_2〃-1=0,>-2，-i=o,則巴+2=__

ba

4.已矢口a2+a-l=0,/?2+?0-1=0,,貝lJW+a+6的值為（

A.2B.-2C.-1D.0

5.已知梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,若S&,°B=4,SACOP=9,則四邊

形ABCD的面積S的最小值為（）

A.21B.25C.26D.36

6.如圖，菱形A6CD的邊長(zhǎng)是5,兩條對(duì)角線交于0點(diǎn)，且AO、B0的長(zhǎng)分別是

關(guān)于x的方程的根，則口的值為（）D

A.-3B.5C.5或一3n—5或3

B

（第6題）

7.ti知p2-2p-5=0,5q2+2^-1=0,其中p、q為實(shí)數(shù)，求p2+=~的值.

q-

8.已知x和y是正整數(shù)，并且滿足條件個(gè)+x+y=71,x2y+xy2=880,求i+9的

值.

9.已知3機(jī)2—2〃2-5=0,5n2+2n-3=0,其中m、n為實(shí)數(shù)，則〃=

n

10.如果〃、b、c為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式/+02=2/+16〃+14與

bc=a2-4a-5,那么〃的取值范圍是.

11.已知512+2），2+2不，一14工一10>=17=0,貝Ijx二,y二

12.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=b,AB=c,若D、E分別是AB和

AB延長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)，BD=BC,CE±CD,則以AD和AE的長(zhǎng)為根的一元二次方程

是.

13.已知〃、b>c均為實(shí)數(shù)，且a+》+c=0,abc=2,求同+網(wǎng)+/］的最小值.

14.設(shè)實(shí)數(shù)八6、c滿足［2"2二反一8。+7=°,求〃的取值范圍.

b+c+be—6。+6=0

16

15.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AD=AB,5郵”=U,梯形的高AE=也，

S.BC82

且-L+-LJ.

ADBC40

(1)求NB的度數(shù)；

(2)設(shè)點(diǎn)M為梯形對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線與BC相交于點(diǎn)F,當(dāng)

S“DM=嚕，求作以CF、DF的長(zhǎng)為根的一元二次方程.

BEAE\C

(第15題)（第16題）

16.如圖，己知AABC和平行于BC的直線DE,且4BDE的面積等于定值d,那

么當(dāng)/與4BDE之間滿足什么關(guān)系時(shí)，存在直線DE,有幾條？

第五講一元二次方程的整數(shù)解

在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題一直是

個(gè)熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識(shí)相結(jié)合，涉及面廣，解

法靈活，綜合性強(qiáng)，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題的基本策

略有：

從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解；

從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)△=/),

通過(guò)窮舉，逼近求解；

從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方

程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；

從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時(shí)，可考慮以參數(shù)為主元求解.

注：一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方

程相關(guān)的知識(shí)，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識(shí)密切相關(guān).

【例題求解】

【例11若關(guān)于x的方程(6-Q(9-小2_(117-15次+54=0的解都是整數(shù)，則符合條

件的整數(shù)是的值有個(gè).

思路點(diǎn)撥用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按

一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確.

注：系數(shù)含參數(shù)的方程問(wèn)題，在沒(méi)有指明是二次方程時(shí)，要注意有可能是一次方

17

程，根據(jù)問(wèn)題的題設(shè)條件，看是否要分類討論.

【例2】已知.、人為質(zhì)數(shù)且是方程x2_[3x+c=0的根，那么幺+色的值是()

ab

A127125123八121

A.D.rL.u,

22222222

思路點(diǎn)撥由韋達(dá)定理a、6的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出a、“c的值.

【例3】試確定一切有理數(shù)r,使得關(guān)于x的方程￡+(r+2)x+r_l=0有根且只有

整數(shù)根.

思路點(diǎn)撥由于方程的類型未確定，所以應(yīng)分類討論.當(dāng)rxO時(shí)，由根與系數(shù)關(guān)

系得到關(guān)于r的兩個(gè)等式，消去r,利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根.

【例4】當(dāng),〃為整數(shù)時(shí)，關(guān)于X的方程(2所1)/_(2m+1)川=0是否有有理根?如

果有，求出，〃的值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路點(diǎn)撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù).

設(shè)/\=(2/n+l)2-4(2m-V)=4m2-4m+5=(2m-l)2+4=n2(n為整數(shù))解不定方程，討論

的存在性.

注：一元二次方程a?+公+c=o(aWO)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而4

-4ac為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件.

【例5】若關(guān)于x的方程以2_2(a-3)x+(a-13)=O至少有一個(gè)整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù)

a的值.

思路點(diǎn)撥因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定理得出的。的兩個(gè)關(guān)系式中消去。也較

困難，又因a的次數(shù)低于x的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于a的一次方程.

18

學(xué)歷訓(xùn)練

1.已知關(guān)于X的方程(4-1)/+2>"1=()的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)。

有.

2.已知方程x2-1999x+m=0有兩個(gè)質(zhì)數(shù)解，則m=.

3.給出四個(gè)命題：①整系數(shù)方程or2+"+c=0(aWO)中，若△為一個(gè)完全平方數(shù),

則方程必有有理根；②整系數(shù)方程"2+公+c=o(aWO)中，若方程有有理數(shù)根，

則△為完全平方數(shù)；③無(wú)理數(shù)系數(shù)方程ax2+"+c=O(aW0)的根只能是無(wú)理數(shù)；

④若a、b、c均為奇數(shù)，則方程o?+bx+c=0沒(méi)有有理數(shù)根，其中真命題

是.

4.已知關(guān)于x的一元二次方程一+(2〃_1)》+/=0("為整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是歷

、x2>則北_-式'=?

5.設(shè)rn為整數(shù)，且4〈m〈40,方程x?-2⑵〃-3)x+4/-14,*+8=0有兩個(gè)整數(shù)根，

求m的值及方程的根?(山西省競(jìng)賽題)

6.已知方程以2-(3/-8〃)*+2/-13a+15=()(aWO)至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值.

7.求使關(guān)于X的方程h2+供+以+"1=0的根都是整數(shù)的女值.

8.當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程2X2-8〃X+10X-〃2+35"-76=0的兩根均為質(zhì)數(shù)，

試解此方程.

9.設(shè)關(guān)于x的二次方程(M-6k+8)x2+(2%2_6%-4)x+M=4的兩根都是整數(shù),試求

滿足條件的所有實(shí)數(shù)％的值.

10.試求所有這樣的正整數(shù)a,使得方程ax2+2(2a_l)x+4(a-3)=。至少有一個(gè)整數(shù)

解.

11.已知〃為質(zhì)數(shù)，使二次方程f-2px+p2-5p_l=0的兩根都是整數(shù)，求出0的

所有可能值.

12.已知方程產(chǎn)+bx+C=O及X?+5+8=0分別各有兩個(gè)整數(shù)根X]、X2及片、x,2,

且X]*2〉0,x[x,2>0.

(1)求證：<0,x2<0,x；<0,小0；

(2)求證：b-\<c<b+\;

⑶求“C所有可能的值.

13.如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程“x2-2x-m+l=0的根(加為

19

整數(shù)），這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第六講轉(zhuǎn)化一可化為一元二次方程的方程

數(shù)學(xué)（家）特有的思維方式是什么？若從量的方面考慮，通常運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行形

式化抽象，在一個(gè)概念和公理體系內(nèi)實(shí)施推理計(jì)算，若從“轉(zhuǎn)化”這個(gè)側(cè)面又該

如何回答?匈牙利女?dāng)?shù)學(xué)家路莎?彼得在《無(wú)窮的玩藝》一書(shū)中寫(xiě)道：“作為數(shù)學(xué)

家的思維來(lái)說(shuō)是很典型的，他們往往不對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面攻擊，而是不斷地將它變

形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問(wèn)題

轉(zhuǎn)化與化歸是解分式方程和高次方程（次數(shù)高于二次的整式方程）的基本思

想.解分式方程，通過(guò)去分母和換元；解高次方程，利用因式分解和換元，轉(zhuǎn)化

為一元二次方程或一元一次方程去求解.

【例題求解】

【例1】若2/—5x+—/-----5=0,貝I」2--5x-l的值為.

2x-5x+l

思路點(diǎn)撥視2，_5x為整體，令2--5x=y,用換元法求出y即可.

【例2］若方程向五=-x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是

（）

A.p>-1B.p<0C.-1<p<0D.-1<p<0

思路點(diǎn)撥通過(guò)平方有理化，將無(wú)理方程根的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)根

個(gè)數(shù)的討論，但需注意注而元=-x20的隱含制約.

注：轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解數(shù)學(xué)題中，我們常常用

到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化：實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，常量與變

量的轉(zhuǎn)化，一般與特殊的轉(zhuǎn)化等.

解下列方程：

z1x+3xx~+x—411

（19--------------+——--------=—;

2X2+2X-83X2+9X12

(2)(1999-x)3+(x-1998)3=1；

20

/o\13x-x2/13-％、

(3)-------(4+-----)=42.

x+1x+1

按照常規(guī)思路求解繁難，應(yīng)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，對(duì)于（1）,利用倒數(shù)關(guān)系換元；對(duì)于（2）,

從（1999-x）+（x-1998）=l受到啟示；對(duì)于⑶，設(shè)則可導(dǎo)出x+y、xv的

X+1

結(jié)果.

注：換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的，換元不拘泥于一元代換，可根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，

進(jìn)行多元代換.

【例4】若關(guān)于x的方程絲-4=竺也只有一個(gè)解（相等的解也算作一個(gè)），

X-1X1-XX

試求人的值與方程的解.

思路點(diǎn)撥先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程

的解的討論，“只有一個(gè)解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出k的值.

注：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只

有一個(gè)解，可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個(gè)解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方

程有兩個(gè)解，而其中一個(gè)是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運(yùn)用判別

式、增根等知識(shí)全面分析.

【例5】已知關(guān)于x的方程（犬+與2一5X-2=-6有兩個(gè)根相等，求a的值.

XX

思路點(diǎn)撥通過(guò)換元可得到兩個(gè)關(guān)于X的含參數(shù)。的一元二次方程，利用判別式

求出”的值.

注：運(yùn)用根的判別式延伸