2024-2025學年高中數學第3章三角恒等變形22.3兩角和與差的正切函數（教師用書）教學設計北師大版必修4主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：2024-2025學年高中數學第3章三角恒等變形22.3兩角和與差的正切函數（教師用書）

2.教學年級和班級：高一年級（1）班

3.授課時間：2024年10月15日星期二上午第二節課

4.教學時數：1課時

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親愛的高一（1）班同學們，大家好！今天我們要一起探索三角函數的奧秘，走進“兩角和與差的正切函數”的世界。讓我們一起揭開這神秘的面紗，感受數學的奇妙之旅吧！??????核心素養目標分析教學難點與重點1.教學重點：

-理解兩角和與差的正切函數的定義及其性質。

-掌握兩角和與差的正切公式：tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ)。

-應用這些公式解決實際問題，如證明三角恒等式和求解三角方程。

2.教學難點：

-理解正切函數的周期性和奇偶性，并能正確應用。

-正確運用兩角和與差的正切公式進行計算，特別是在分母含有tanαtanβ時避免錯誤。

-在解決實際問題時，將問題轉化為適用于正切公式的形式，如將角度和差的形式識別出來。

-例如，當遇到如tan(30°-45°)這樣的問題時，學生可能難以識別出這是一個差的形式，或者在使用公式時忘記考慮tan45°的特殊值。因此，教學中需要通過具體的例子和練習來幫助學生熟悉這些公式，并能夠在不同的情境中靈活運用。學具準備Xxx課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源準備1.教材：確保每位學生都有北師大版必修4教材，特別是第3章三角恒等變形的相關內容。

2.輔助材料：準備與兩角和與差的正切函數相關的圖片、圖表和動畫視頻，以幫助學生直觀理解公式和性質。

3.教學工具：準備計算器，以便學生在課堂上進行計算練習。

4.教室布置：設置小組討論區，鼓勵學生合作學習；確保教室光線充足，便于觀看多媒體資源。教學過程一、導入新課

同學們，上節課我們學習了三角函數的基本概念和性質，今天我們要繼續深入探索三角函數的奧秘，特別是兩角和與差的正切函數。請大家翻開教材第3章的內容，讓我們一起揭開這神秘的面紗。

二、新課導入

1.復習導入：回顧上節課的內容，提問學生三角函數的基本性質有哪些？學生回答后，老師總結并導入本節課的主題。

2.創設情境：展示一幅生活中的圖片，如鐘表的時針和分針，引導學生思考如何用三角函數描述時針和分針的位置關系。引入兩角和與差的正切函數的概念。

三、新課講解

1.兩角和與差的正切函數的定義

-介紹兩角和與差的正切函數的定義：對于任意兩個角α和β，它們的和α+β和差α-β的正切值分別記為tan(α+β)和tan(α-β)。

-解釋正切函數在角度和差的應用，如tan(30°+45°)和tan(30°-45°)。

2.兩角和與差的正切公式

-介紹兩角和與差的正切公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。

-解釋公式中tanαtanβ的含義，以及公式的推導過程。

3.兩角和與差的正切函數的性質

-介紹正切函數的周期性和奇偶性，以及兩角和與差的正切函數在這些性質上的體現。

-通過實例講解如何利用這些性質解決實際問題。

四、課堂練習

1.基本練習

-讓學生獨立完成教材中的例題，鞏固兩角和與差的正切函數的定義和公式。

-教師巡視指導，解答學生疑問。

2.應用練習

-給學生提供一些實際問題，要求他們運用兩角和與差的正切函數解決。

-學生分組討論，共同解決問題。

五、課堂小結

1.回顧本節課所學內容，引導學生總結兩角和與差的正切函數的定義、公式和性質。

2.強調本節課的重點和難點，幫助學生鞏固知識。

六、課后作業

1.完成教材中的課后練習題，鞏固所學知識。

2.預習下一節課的內容，為后續學習做好準備。

七、課堂反饋

1.教師根據學生的課堂表現和作業完成情況，了解學生對本節課內容的掌握程度。

2.教師針對學生在學習過程中遇到的問題，進行個別輔導。教學資源拓展1.拓展資源：

-《數學之美》：這本書以通俗易懂的語言介紹了數學的魅力，其中涉及到的三角函數知識可以幫助學生從更廣闊的視角理解三角函數的應用。

-《幾何原本》：歐幾里得的《幾何原本》是數學的經典著作，其中關于角度和三角形的討論可以加深學生對三角函數的理解。

-《三角函數在工程中的應用》：這本書詳細介紹了三角函數在工程領域的應用，如建筑、機械設計等，對于對數學應用感興趣的學生來說是一本很好的拓展讀物。

2.拓展建議：

-觀看科普視頻：推薦學生觀看一些關于三角函數在自然界和科技中的應用的科普視頻，如“三角函數在音樂中的運用”、“三角函數在建筑設計中的應用”等，通過視頻中的實例來加深對知識的理解。

-實踐項目：鼓勵學生參與一些數學建模或物理實驗項目，如利用三角函數計算建筑物的角度、設計一個簡易的電子鐘等，通過實際操作來提高解決問題的能力。

-比賽和競賽：鼓勵學生參加數學競賽或科學展覽，如數學奧林匹克競賽、物理競賽等，這些活動可以激發學生的學習興趣，同時也能檢驗學生對三角函數知識的掌握程度。

-在線課程：推薦學生利用在線教育資源，如Coursera、edX等平臺上的數學課程，這些課程通常由大學教授授課，內容深入且系統，有助于學生拓展知識面。

-小組討論：組織學生進行小組討論，讓學生就三角函數在不同領域的應用進行交流，這樣可以提高學生的團隊合作能力和批判性思維能力。

-數學游戲：利用數學游戲來提高學生的學習興趣，如三角板游戲、幾何拼圖等，這些游戲可以幫助學生在玩樂中學習數學知識。板書設計①兩角和與差的正切函數

-定義：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

-公式推導關鍵步驟

-利用tan(α)=sin(α)/cos(α)

-分母分子同時乘以cos(α)cos(β)

-利用sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)和sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

②公式的性質和應用

-周期性：tan(α+π)=tan(α)，tan(α-π)=tan(α)

-奇偶性：tan(-α)=-tan(α)

-應用實例

-證明三角恒等式：如證明tan(α+β)=tan(α)+tan(β)/(1-tanαtanβ)

-求解三角方程：如解方程tan(θ)=1

③計算技巧和注意事項

-分母不能為零：tanαtanβ≠1

-確保角度轉換正確：在涉及角度加減時，注意角度的單位一致性

-計算過程中的符號：注意加減運算中的符號，特別是分母的符號

-實際應用舉例：如計算建筑物傾斜角度的正切值，或計算機械裝置中的角度差等教學反思與改進親愛的同事們，教學是一項持續的學習過程，每節課結束后，我都會進行一番反思，以便更好地提升自己的教學水平。以下是我對本次“兩角和與差的正切函數”教學的反思與改進計劃。

1.學生參與度

-反思：我發現有些學生在課堂上不太積極參與討論，特別是在涉及到復雜公式推導時，他們的眼神中似乎缺少了那份探究的激情。

-改進：為了提高學生的參與度，我計劃在未來的教學中，設計更多互動環節，如小組討論、角色扮演等，讓學生在輕松的氛圍中主動探索知識。

2.知識點的講解

-反思：在講解兩角和與差的正切公式時，我發現部分學生對于公式中的tanαtanβ的處理感到困惑。

-改進：我將重新設計這部分內容的講解方式，通過繪制示意圖、實際操作等方式，幫助學生更好地理解公式中的概念。

3.實踐應用

-反思：在課堂練習環節，我發現學生在解決實際問題時，往往不能靈活運用所學知識。

-改進：我將增加實際應用題目的數量和多樣性，讓學生在實際操作中提高解決問題的能力。

4.教學節奏

-反思：在本次教學中，我發現教學節奏有些快，部分學生跟不上進度。

-改進：我將調整教學節奏，適當放慢講解速度，確保每位學生都能跟上課堂進度。

5.課后反饋

-反思：課后，我收到了一些學生的反饋，他們表示希望有更多的時間進行練習和鞏固。

-改進：我將增加課后作業的量，并鼓勵學生在課后進行自主練習，以鞏固所學知識。

6.教學評價

-反思：在教學過程中，我主要關注學生對知識的掌握程度，但忽視了學生的情感態度和價值觀的培養。

-改進：我將關注學生的情感態度和價值觀，通過課堂討論、小組合作等方式，培養學生的團隊協作精神和創新意識。課后拓展1.拓展內容：

-《三角函數在建筑中的應用》：這篇文章介紹了三角函數在建筑設計中的實際應用，如如何利用三角函數計算屋頂的角度、確定建筑物的傾斜度等，可以幫助學生將數學知識應用于實際生活。

-《三角函數在音樂理論中的角色》：音樂與數學有著密切的聯系，這篇文章探討了三角函數在音樂理論中的運用，如音高、節奏和旋律的數學表達，可以激發學生對數學與藝術交叉領域的興趣。

-《三角函數在物理學中的重要性》：在物理學中，三角函數被廣泛應用于波動、振動和光學等領域，這篇文章詳細介紹了三角函數在物理學中的應用實例，如波的傳播、振動分析等。

2.拓展要求：

-閱讀材料：鼓勵學生在課后閱讀上述拓展材料，通過閱讀了解三角函數在不同領域的應用。

-實踐項目：學生可以嘗試自己設計一個小項目，如制作一個簡易的三角板，并利用它來測量家中或校園中的角度。

-小組討論：學生可以組成小組，討論三角函數在實際生活中的應用，并準備一份簡報或演示文稿，在下一節課上與全班分享他們的發現和見解。

-解答疑問：鼓勵學生在閱讀和討論過程中提出疑問，教師可以在課后提供必要的指導和幫助，解答學生的疑問。

-創新應用：學生可以嘗試將三角函數的知識應用于解決一些日常生活中的問題，如設計一個簡單的計時器、計算太陽的位置等，通過實際操作加深對知識的理解。

-反思總結：在拓展學習結束后，學生需要寫一篇反思總結，分享他們在學習過程中的體會和收獲，以及如何將所學知識應用于實際生活。教學評價與反饋1.課堂表現：

-學生在課堂上的參與度較高，對于兩角和與差的正切函數的定義和公式理解較好。

-在講解公式推導時，大部分學生能夠跟隨教師的思路，但有個別學生對于公式中的tanαtanβ的處理感到困惑，需要進一步輔導。

2.小組討論成果展示：

-在小組討論環節，學生能夠積極交流，合作解決問題，特別是在解決實際問題時，能夠將所學知識應用到具體情境中。

-學生們展示了他們的項目成果，如利用三角函數設計了一個簡易的計時器，這些成果展示出了學生對知識的深入理解和創新應用。

3.隨堂測試：

-隨堂測試覆蓋了本節課的主要知識點，包括定義、公式和性質。學生的整體表現良好，能夠正確應用公式解決問題。

-在測試中，發現部分學生對于公式的記憶不夠牢固，需要加強記憶和復習。

4.學生反饋：

-收集了學生的課后反饋，他們普遍認為本節課的內容有趣且實用，希望教師能夠提供更多的實際應用案例。

-部分學生提出，希望在課堂上能夠有更多的互動環節，以便更好地理解和記憶公式。

5.教師評價與反饋：

-針對課堂