PAGEPAGE1第2講同角三角函數的基本關系與誘導公式一、學問梳理1．同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商數關系：tanx＝eq\f(sinx,cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．三角函數的誘導公式組數一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα常用結論1．同角三角函數關系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2．誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的改變．二、習題改編1．(必修4P19例6改編)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)≤α≤π，則tanα＝()A．－2 B．2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：選D.因為cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).2．(必修4P20練習T4改編)化簡eq\f(1－cos22θ,cos2θtan2θ)＝．解析：eq\f(1－cos22θ,cos2θtan2θ)＝eq\f(sin22θ,cos2θ·\f(sin2θ,cos2θ))＝sin2θ.答案：sin2θ一、思索辨析推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)對隨意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()(4)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosθ＝eq\f(1,3).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易錯糾偏eq\a\vs4\al(常見誤區)(1)不留意角的范圍出錯；(2)誘導公式記憶不熟出錯．1．已知cos(π＋α)＝eq\f(2,3)，則tanα＝()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(\r(5),2) D．±eq\f(2\r(5),5)解析：選C.因為cos(π＋α)＝eq\f(2,3)，所以cosα＝－eq\f(2,3)，則α為其次或第三象限角，所以sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\f(\r(5),3).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(±\f(\r(5),3),－\f(2,3))＝±eq\f(\r(5),2).2．若sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，則sin(7π－α)＝，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝．解析：由sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,2)，得sinα＝eq\f(1,2)，則sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2)－2π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,2)同角三角函數的基本關系式(多維探究)角度一公式的干脆應用(1)(2024·北京西城區模擬)已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，則tanα＝()A.eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)(2)已知α是三角形的內角，且tanα＝－eq\f(1,3)，則sinα＋cosα的值為．【解析】(1)因為cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).故選D.(2)由tanα＝－eq\f(1,3)，得sinα＝－eq\f(1,3)cosα，且sinα>0，cosα<0，將其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，所以cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，sinα＝eq\f(\r(10),10)，故sinα＋cosα＝－eq\f(\r(10),5).【答案】(1)D(2)－eq\f(\r(10),5)eq\a\vs4\al()利用同角三角函數的基本關系求解問題的關鍵是嫻熟駕馭同角三角函數的基本關系的正用、逆用、變形．同角三角函數的基本關系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結合同角三角函數的基本關系列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的．角度二sinα，cosα的齊次式問題已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【解】由已知得tanα＝eq\f(1,2).(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋2＝eq\f(13,5).eq\a\vs4\al()關于sinα與cosα的齊n次分式或齊二次整式的化簡求值的解題策略已知tanα，求關于sinα與cosα的齊n次分式或齊二次整式的值．角度三sinα±cosα，sinαcosα之間的關系已知α∈(－π，0)，sinα＋cosα＝eq\f(1,5).(1)求sinα－cosα的值；(2)求eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)的值．【解】(1)由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，平方得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(1,25)，整理得2sinαcosα＝－eq\f(24,25).所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(49,25).由α∈(－π，0)，知sinα<0，又sinα＋cosα>0，所以cosα>0，則sinα－cosα<0，故sinα－cosα＝－eq\f(7,5).(2)eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝eq\f(2sinα（cosα＋sinα）,1－\f(sinα,cosα))＝eq\f(2sinαcosα（cosα＋sinα）,cosα－sinα)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).eq\a\vs4\al()sinα±cosα與sinαcosα關系的應用技巧(1)通過平方，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之間可建立聯系，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(留意依據α的范圍選取正、負號)．(2)對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，可以知一求二．1．(2024·長春模擬)已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，則cosα－sinα的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(3,4) D．eq\f(3,4)解析：選B.因為eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，所以cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，所以cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，所以cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).故選B.2．若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)的值為．解析：3sinα＋cosα＝0?cosα≠0?tanα＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(1＋tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2),1－\f(2,3))＝eq\f(10,3).答案：eq\f(10,3)3．已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝．解析：由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)誘導公式的應用(典例遷移)(1)sin(－1200°)cos1290°＝．(2)已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線3x－y＝0上，則eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))＋2cos（π－θ）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sin（π－θ）)等于．【解析】(1)原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin60°cos30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4).(2)由題可知tanθ＝3，原式＝eq\f(－cosθ－2cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(－3,1－tanθ)＝eq\f(3,2).【答案】(1)eq\f(3,4)(2)eq\f(3,2)【遷移探究】(變問法)若本例(2)的條件不變，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－sin（－π－θ）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋θ)))＝．解析：由題可知tanθ＝3，原式＝eq\f(－sinθ＋sin（π＋θ）,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,2)－θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(－sinθ－sinθ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(－2sinθ,－sinθ＋cosθ)＝eq\f(2tanθ,tanθ－1)＝eq\f(2×3,3－1)＝3.答案：3eq\a\vs4\al()(1)誘導公式用法的一般思路①化負為正，化大為小，化到銳角為止；②角中含有加減eq\f(π,2)的整數倍時，用公式去掉eq\f(π,2)的整數倍．(2)常見的互余和互補的角①常見的互余的角：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等；②常見的互補的角：eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等．1．若角A，B，C是△ABC的三個內角，則下列等式中肯定成立的是()A．cos(A＋B)＝cosCB．sin(A＋B)＝－sinCC．coseq\f(A＋C,2)＝sineq\f(B,2)D．sineq\f(B＋C,2)＝－coseq\f(A,2)解析：選C.因為A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，eq\f(A＋C,2)＝eq\f(π－B,2)，eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π－A,2)，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，coseq\f(A＋C,2)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sineq\f(B,2)，sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2).2．cos(－1020°)·sin(－1050°)＝．解析：cos(－1020°)sin(－1050°)＝－cos1020°sin1050°＝cos60°sin30°＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)3．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是．解析：因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.答案：0核心素養系列10數學運算——三角函數式的化簡與求值數學運算能讓學生進一步發展數學運算實力；能有效借助運算方法解決實際問題；能夠通過運算促進數學思維發展，養成程序化思索問題的習慣；形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神．已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，求tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))的值．【解】因為sinα＝eq\f(2\r(5),5)＞0，所以α為第一或其次象限角．tan(α＋π)＋eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))＝tanα＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).(1)當α是第一象限角時，cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝eq\f(5,2).(2)當α是其次象限角時，cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(5),5)，原式＝eq\f(1,sinαcosα)＝－eq\f(5,2).綜合(1)(2)知，原式＝eq\f(5,2)或－eq\f(5,2).eq\a\vs4\al()三角函數運算是重要的“數學運算”，在正確分析條件和所求的基礎上明確運算的方向，敏捷地選用三角函數公式，完成三角函數運算．1．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))的值為()A．2eq\r(2) B．－2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),4) D．±2eq\r(2)解析：選D.因為sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(1,3)，cosα＝±eq\f(2\r(2),3)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(cosα,sinα)＝±2eq\r(2).故選D.2．化簡：eq\f(sin（π－α）＋sinαcosα,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))tanα)＝．解析：eq\f(sin（π－α）＋sinαcosα,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))tanα)＝eq\f(sinα＋sinαcosα,（1＋cosα）tanα)＝eq\f(sinα,tanα)＝cosα.答案：cosα[基礎題組練]1．計算：sineq\f(11π,6)＋coseq\f(10π,3)＝()A．－1 B．1C．0 D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)解析：選A.原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3)))＝－sineq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2)－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－1.2．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D．eq\f(π,3)解析：選D.因為sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\r(3)，因為|θ|＜eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,3).3．已知f(α)＝eq\f(sin（2π－α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋α))tan（π＋α）)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)解析：選A.f(α)＝eq\f(sin（2π－α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋α))tan（π＋α）)＝eq\f(－sinα·（－sinα）,sinα·tanα)＝eq\f(sin2α,sinα·\f(sinα,cosα))＝cosα，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).4．已知sinα＋cosα＝eq\r(2)，則tanα＋eq\f(cosα,sinα)的值為()A．－1 B．－2C.eq\f(1,2) D．2解析：選D.因為sinα＋cosα＝eq\r(2)，所以(sinα＋cosα)2＝2，所以sinαcosα＝eq\f(1,2).所以tanα＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα)＝2.故選D.5．設α是第三象限角，tanα＝eq\f(5,12)，則cos(π－α)＝．解析：因為α為第三象限角，tanα＝eq\f(5,12)，所以cosα＝－eq\f(12,13)，所以cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(12,13).答案：eq\f(12,13)6．化簡：eq\f(cos（α－π）,sin（π－α）)·sin(α－eq\f(π,2))·cos(eq\f(3π,2)－α)＝．解析：eq\f(cos（α－π）,sin（π－α）)·sin(α－eq\f(π,2))·cos(eq\f(3π,2)－α)＝eq\f(－cosα,sinα)·(－cosα)·(－sinα)＝－cos2α.答案：－cos2α7．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)＋α))＝eq\f(12,25)，且0＜α＜eq\f(π,4)，則sinα＝，cosα＝．解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,2)＋α))＝－cosα·(－sinα)＝sinαcosα＝eq\f(12,25).因為0＜α＜eq\f(π,4)，所以0＜sinα＜cosα.又因為sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5).答案：eq\f(3,5)eq\f(4,5)8．已知α為第三象限角，f(α)＝eq\f(sin（α－\f(π,2)）·cos（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).(1)化簡f(α)；(2)若cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝eq\f(sin（α－\f(π,2)）·cos（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)＝eq\f(（－cosα）·sinα·（－tanα）,（－tanα）·sinα)＝－cosα.(2)因為cos(α－eq\f(3π,2))＝eq\f(1,5)，所以－sinα＝eq\f(1,5)，從而sinα＝－eq\f(1,5).又α為第三象限角，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以f(α)＝－cosα＝eq\f(2\r(6