11/30安徽省亳州市2023年九年級《數學》上學期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題，每小題4分，共40分。1.下列各式中，y是x的二次函數的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】利用二次函數定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數進行解答即可．【詳解】解：A、y=3x-1是一次函數，故此選項不合題意；B、不是二次函數，故此選項不合題意；C、y=3x2+x-1是二次函數，故此選項符合題意；D、y=2x3-1不是二次函數，故此選項不合題意；故選：C．2.已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根據比例的性質求解即可【詳解】解：A．因為，所以，故A不符合題意；B．因為，所以，故B不符合題意；C．因為，所以，故C符合題意；D．因為，所以，故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了比例性質，掌握比例的性質是解題的關鍵．3.在△中，∠，如果，，那么cos的值為（）A. B.C. D.【答案】A【分析】先利用勾股定理求出AB的長度，從而可求.【詳解】因為∠，，所以所以，故選A4.如果反比例函數（a是常數）的圖象在第一、三象限，那么a的取值范圍是（）A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2【答案】D【分析】反比例函數圖象在一、三象限，可得．【詳解】解：反比例函數（a是常數）的圖象在第一、三象限，，．故選D．【點睛】本題運用了反比例函數圖象的性質，解題關鍵要知道k的決定性作用．5.下列說法中，真命題的個數是（）①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經過三點確定一個圓；A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】①根據圓的確定，進行判斷即可；②根據三角形的定義進行判斷即可；③直角三角形的外心在斜邊上，銳角三角形的外心在三角形內部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，進行判斷；④根據三角形的外心是三條邊的中垂線的交點，進行判斷即可；⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓．【詳解】解：①任何三角形有且只有一個外接圓，是真命題；②任何圓有無數個內接三角形，原說法錯誤，是假命題；③三角形的外心不一定在三角形內，是真命題；④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，是假命題；⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓，原說法錯誤，是假命題；綜上，真命題的個數為2個；故選B．6.若拋物線y=﹣x2+bx+c經過點（﹣2，3），則2c﹣4b﹣9的值是（）A.5 B.﹣1 C.4 D.18【答案】A【詳解】因為拋物線y=﹣x2+bx+c經過點（﹣2，3），所以-4-2b+c=3，即c-2b=7，所以2c-4b-9=2(c-2b)-9=14-9=5.故選A.7.如圖，直線a∥b∥c，則下列結論不正確的為（） B. C. D.【答案】D【分析】根據平行線分線段成比例定理定理列出比例式，判斷即可．【詳解】A、因為a∥b∥c，所以，本選項結論正確，不符合題意；B、因為a∥b∥c，所以，本選項結論正確，不符合題意；C、因為a∥b∥c，所以，本選項結論正確，不符合題意；D、連接AF，交BE于H，因為b∥c，所以△ABH∽△ACF，所以，本選項結論不正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．8.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，則cosB的值為()A.1 B. C. D.【答案】B【分析】先根據sinA=得到∠A的度數，即可得到∠B的度數，再根據特殊角的銳角三角函數值即可得到結果．【詳解】解：因為sinA=所以∠A=60°因為∠C=90°所以∠B=30°所以cosB=故選B．9.如圖，正方形的邊長為，動點，同時從點出發，在正方形的邊上，分別按，的方向，都以的速度運動，到達點運動終止，連接，設運動時間為，的面積為，則下列圖象中能大致表示與的函數關系的是（）A. B.C D.【答案】A【分析】根據題意結合圖形，分情況討論：①時，根據，列出函數關系式，從而得到函數圖象；②時，根據列出函數關系式，從而得到函數圖象，再結合四個選項即可得解．【詳解】①當時，因為正方形的邊長為，所以；②當時，，所以，與之間的函數關系可以用兩段二次函數圖象表示，縱觀各選項，只有A選項圖象符合，故選A．10.如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，0），點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點C的個數是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根據題意畫出圖形，根據相似三角形的判定定理即可得出結論．【詳解】解：如圖①，，時，．如圖②，，，則，故；如圖③，，，則，故△；如圖④，，，則△．故選：D．二、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分。11.如圖，已知A為反比例函數的圖象上一點，過點A作軸，垂足為B．若的面積為2，則k的值為__________________．【答案】【分析】再根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到|k|=2，然后去絕對值即可得到滿足條件的k的值．【詳解】解：因為AB⊥y軸，所以S△OAB=|k|，所以|k|=2，因為k＜0，所以k=-4．故答案為：-4．【點睛】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義：在反比例函數圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．12.兩個相似三角形的面積比為1：9，則它們的周長比為_____．【答案】1：3【分析】相似三角形的周長比等于其對應邊長比，而面積比等于對應邊長比的平方．【詳解】已知兩個相似三角形的面積比為1：9，相似三角形的面積的比等于相似比的平方，周長的比等于相似比，由此可得這兩個三角形的周長比為1：3，故答案為1：3．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，主要從三角形其面積比等于周長比的平方來進行考查的，難度不大．13.若扇形的圓心角為120°的弧長是12πcm,則這個扇形的面積是______________【答案】4π【詳解】設扇形的半徑為R則

因為，所以R=18cm，所以S扇形＝=12π×18÷2=108πcm2，故答案是：108π.14.如圖的兩條直角邊，，點D沿從A向B運動，速度是，同時，點E沿從B向C運動，速度為．動點E到達點C時運動終止．連接．（1）當動點運動______秒時，與相似；（2）當動點運動______秒時，．【答案】①.或②.【分析】（1）分當時，當時，兩種情況利用相似三角形的性質求解即可；（2）如圖所示，過點E作于F，證明，求出，，則，再證明，得到，即，解方程即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，在中，由勾股定理得，當時，所以，即，解得；當時，所以，即，解得；綜上所述，當或時，與相似，故答案為：或；（2）如圖所示，過點E作于F，則，所以，所以，即，所以，，所以因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，即，解得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，熟知相似三角形的性質與判定條件是解題的關鍵．三、解答題15.計算：．【答案】3【分析】根據零指數冪、特殊角的三角函數、二次根式、絕對值分別化簡后進行合并即可．【詳解】解：【點睛】此題考查了實數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．16.已知拋物線過點和，求該拋物線的解析式．【答案】【分析】把和代入，解方程組求出b、c的值即可得答案.【詳解】解：因為拋物線過點和，所以解方程組，得所以拋物線的解析式是．17.在平面直角坐標系中，三個頂點坐標分別是，，．（1）作出關于O點逆時針旋轉得到；（2）作出以點O為位似中心，位似比為1的．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【分析】（1）根據旋轉性質找到點，，，分別連接起來即可得到答案；（2）根據位似性質找到，，，分別連接起來即可得到答案；【小問1詳解】解：根據旋轉性質找到點，，，分別連接起來，如圖所示，；【小問2詳解】解：根據位似比為1可得找到，，，分別連接起來，如圖所示，．【點睛】本題考查畫旋轉圖及位似圖，解題的關鍵是熟練掌握旋轉性質及位似性質．18.用“”和“”分別代表甲種植物和乙種植物，為了美化環境，采用如圖所示的方案種植：（1）觀察圖形，尋找規律，并將下表填寫完整：圖序①②③④14949（2）分別表示出第n個圖形中甲種植物和乙種植物的株數．【答案】（1）見詳解；（2），．【分析】（1）根據圖形規律可知甲種植物是第n個圖形就有n行n列，總數是n的平方，乙種植物第n個圖形就有行列，總數是，即可得到答案；（2）根據圖形規律即可得到答案；【小問1詳解】解：由圖形可得，甲種植物是第n個圖形就有n行n列，乙種植物第n個圖形就有行列，圖序①②③④14949【小問2詳解】解：：由圖形可得，甲種植物是第n個圖形就有n行n列，乙種植物第n個圖形就有行列，所以第n個圖形中甲種植物和乙種植物的株數分別為：，．19.已知：如圖，為直徑，C為上一點，和過點C的切線互相垂直，垂足為D．（1）求證：平分．（2）過點O作線段的垂線，垂足為E．若，．求垂線段OE的長．【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）連接，根據切線性質即可得到，根據可得，即可得到，最后根據可得，即可得到證明；（2）根據垂徑定理即可得到，再根據可得，結合（1）中，即可得到，可得，即可得到答案．【小問1詳解】證明：因為是的切線，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以，所以平分；【小問2詳解】解：因為，所以，，因為，所以，，因為，，所以所以．【點睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，相似三角形判定與性質，直角三角形兩銳角互余，解題的關鍵是根據切線及垂直得到角度相等．20.小李要外出參加“建國70周年”慶祝活動，需網購一個拉桿箱，圖①，②分別是她上網時看到某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，并獲得了如下信息：滑桿，箱長，拉桿的長度都相等，在上，在上，支桿，請根據以上信息，解決下列問題．求的長度（結果保留根號）；求拉桿端點到水平滑桿的距離（結果保留根號）．【答案】（1）cm；（2）cm.【分析】過作于,,根據求出再求出CD，根據求出DE,即可求出AC;過作交的延長線于，根據，求出即可.【詳解】解：過作于,過作交的延長線于，答：拉桿端點到水平滑桿的距離為．21.如圖，反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于、兩點．點在反比例函數圖象上，連接，交軸于點．（1）求反比例函數的解析式．（2）求的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）點A（，1），M（－3，）是反比例函數圖象上的點，可＝，解得或舍去，所以，得到，所以反比例函數解析式為．（2）由反比例函數的對稱性可知，點的坐標為，由點和點的坐標可求得直線的函數關系式為，所以點的坐標為，分別過、作軸的垂線，垂足分別為點、點，則，由可求得的面積．【小問1詳解】解：因為點A（，1），M（－3，）是反比例函數圖象上的點，＝，解得或舍去，所以，所以點的坐標為（4，1），點的坐標為（1，4），所以反比例函數的解析式為．【小問2詳解】解：因為反比例函數的圖象與正比例函數的圖象交于、兩點，且A（4，1），．所以點的坐標為，設直線的函數關系式為，把點，點分別代入得，解得，所以直線的函數關系式為，當時，，所以點的坐標為（0，3），如圖，分別過、作軸的垂線，垂足分別為點、點，則，所以．22.如圖，關于x的二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數的表達式；（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P坐標；（3）有一個點M從點A出發，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）當點M出發1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數的表達式；（2）先求出點B的坐標，再根據勾股定理求得BC的長，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分別根據這三種情況求出點P的坐標；（3）設AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點式，根據二次函數的性質即可得△MNB最大面積；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，所以二次函數的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，所以B（3，0），所以BC=3，點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當CP=CB時，PC=3，所以OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3所以P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當PB=PC時，OP=OB=3，所以P3（0，-3）；③當BP=BC時，因為OC=OB=3所以此時P與O重合，所以P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，所以S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當點M出發1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．23.(1)問題發現如圖1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，點D是線段AB上一動點，連接BE.填空:①的值為；②∠DBE的度數為.(2)類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，點D是線段AB上一動點，連接BE.請判斷的值及∠DBE的度數，并說明理由.(3)拓展延伸如面3，在(2)的條件下，將點D改為直線AB上一動點，其余條件不變，取線段DE的中點M，連接BM、CM，若AC=2，則當△CBM是直角三角形時，線段BE的長是多少?請直接寫出答案.【答案】（1）1，90°；（2），90°，理由見解析；（3）3+或3-【分析】（1）易得△ABC和△CDE為等腰直角三角形，所以AC=BC，CD=CE，通過證明△ACD≌△BCE，可得AD=BE和∠CAD=∠CBE=45°，進而得出答案；（2）通過證明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE=∠CAD=60°，即可求∠DBE的度數；（3）分點D在線段AB上和BA延長線上兩種情況討論，由直角三角形的性質可證CM=BM=，即可求DE=，由相似三角形的性質可得∠ABE=90°，BE=AD，由勾股定理可求BE的長．【詳解】解：（1）因為∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，所以∠ABC=∠CAB=45°，∠CDE=∠CED=45°所以AC=BC，C