英國物理學家,典型物理學的奠基人.他對力學、光學、熱學、天文學和數(shù)學等學科都有重大發(fā)現(xiàn),其代表作《自然哲學的數(shù)學原理》是力學的經典著作.牛頓是近代自然科學奠基時期含有集前人之大成的奉獻的偉大科學家.牛頓

IssacNewton（1643－1727）§1-5牛頓運動定律一.牛頓運動定律(一)牛頓第一定律（慣性定律）牛頓在《自然哲學的數(shù)學原理》中這樣表述：“任何物體都將保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài)，除非有其它物體的作用力迫使它變化這種狀態(tài).”（慣性系、宏觀、低速運動）a)牛頓第一定律闡明物體含有慣性——不受外力作用時，任何物體都含有保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)不變的性質.故第一定律又稱慣性定律.b)牛頓第一定律給出了力的概念：力是物體間的互相作用，是引發(fā)物體運動狀態(tài)變化的因素.幾點闡明：c)牛頓第一定律只合用于慣性參考系.(Everybodycontinuesinitsstateofrest,orofuniformmotioninarightline,unlessitiscompelledtochangethatstatebyforcesimpresseduponit.)(二)牛頓第二定律（牛頓當年發(fā)表的形式）是物體所受的合外力.

是物體的動量.當m不隨時間變化時,或(Thechange

of

motionisproportionaltothemotiveforceimpressed;andismade

in

thedirection

of

therightline

in

whichthatforceisimpressed.)

物體運動狀態(tài)(動量)的變化(率)與作用在物體上的外力成正比,狀態(tài)變化的方向沿外力作用的直線方向.2)牛頓第二定律定量闡明了質量是物體慣性大小的量度.3)牛頓第二定律只合用于質點的運動.4)牛頓第二定律只合用于慣性參考系.或5)注意定律的瞬時性---力的作用與加速度是瞬時對應的.

今天明天幾點闡明：1)牛頓第二定律定量闡明了力的效果——變化物體的運動狀態(tài)(動量).物體的動量變化率一定等于物體所受合外力.6)要注意定律的矢量性----定律中的力和加速度都是矢量(含有疊加性).具體求解牛頓方程時，要寫成分量式：直角坐標系自然坐標系力的獨立性(疊加)原理：某一方向的力只產生該方向的加速度，而與其它方向的受力及運動無關.或運動的獨立性(疊加)原理：一種物體同時參加幾個運動，各分運動都可當作互不影響、獨立進行的的.物體的合運動可當作是這些互相獨立的分運動疊加的成果.xyOA例如：拋物運動中，水平方向不受力作勻速直線運動，豎直方向受重力只產生豎直方向的加速度，水平方向與豎直方向的運動互不影響.因此,平拋運動能夠當作水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的疊加,這就是運動的疊加原理.v0

7)應用牛頓第二定律時應注意單位制,SI制中：

——牛頓，——千克，——米/秒2(三)牛頓第三定律-mg地心mg兩物體間的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反、作用在同一條直線上.(To

every

actionthereisalwaysopposedanequalreaction:

or,

themutualactionsontwobodiesuponeachotherarealwaysequal,

anddirectedtocontraryparts.)幾點闡明：2）作用力與反作用力，無主從之分、先后之分、總是同時存在、同時消失.3）作用力與反作用力是作用在不同的物體上的，因此不會互相抵消.4）作用力與反作用力是同性質的力。如果作用力是萬有引力、彈性力、或摩擦力，那么反作用力也對應地為萬有引力、彈性力、或摩擦力.1）牛頓第三定律對力的性質加以補充，闡明了力的來源是物體間的互相作用.5）牛頓第三定律合用于任何參考系.二.牛頓運動定律的合用范疇3.慣性參考系2.低速運動1.宏觀系統(tǒng)物體運動的空間尺度>>原子尺度（10－10m）物體運動的速度v<<c(光速c=3x108m/s)但凡牛頓第一、二定律成立的參考系,都是慣性系，相對于慣性系作勻速直線運動的參考系也是慣性系.實踐表明：太陽等恒星是較好的慣性系，地球可近似為慣性系.牛頓第一、二定律只合用于慣性參考系，牛頓第三定律合用于任何參考系.萬有引力三.力學中幾個常見的力1.萬有引力:存在于一切物體間的互相作用力。重力：地面附近物體所受地球的吸引力。在無視地球自轉的影響下，2.彈性力：發(fā)生形變的物體，由于力圖恢復原狀，對與它接觸的物體產生的作用力。（2）輕繩中的張力(拉力)T到處相似，指向繩子收縮方向。（3）彈簧中的恢復力F=-kx,指向彈簧原優(yōu)點。（1）物體間的正壓力(支撐力)總是垂直于接觸點的切面指向對方。如正壓力、張力、拉力、支撐力、彈簧恢復力。摩擦力：兩個互相接觸的物體，在存在相對運動或相對運動趨勢時，由于接觸面粗糙而產生的妨礙運動（或運動趨勢）的力。最大靜摩擦力滑動摩擦力摩擦力3.摩擦力方向：摩擦力的方向與物體相對運動或相對運動趨勢的方向相反。分類：靜摩擦力、滑動摩擦力。靜摩擦力

普通狀況：4、流體阻力相對速率較小時相對速率較大時四.牛頓定律的應用

應用牛頓定律的解題環(huán)節(jié)：1）依題意擬定研究對象，選用坐標系；2）進行受力分析，畫出受力圖；對連在一起的物體需作隔離分析，把內力轉化為外力；4）分析討論成果。3）列出運動方程，分量式：

兩類基本問題：已知力求運動，已知運動求力。例1.

一根長為L，質量為M的柔軟鏈條，開始時鏈條靜止，其中長為L?l的部分放在光滑的桌面上,長度為l的部分鉛直下垂。(1)求整個鏈條剛離開桌面時的速度；(2)求鏈條由剛開始運動到完全離開桌面所需要的時間。解：以鏈條為研究對象，建立坐標系，分析受力。注意：本題屬于a=a(x)

，需作下列變換(1)設t時刻下垂部分長x，則積分得整個鏈條剛離開桌面時的速度：此時x=L，故(2)求鏈條由剛開始運動到完全離開桌面所需要的時間。積分得討論：若桌面不光滑(滑動摩擦系數(shù)為μ)，成果如何？(自行證明)例2.已知一質量為m的質點在x軸上運動,質點只受到指向原點的引力作用,引力大小與質點離原點的距離x的平方成反比,即f=-k/x2,k是比例常數(shù),設質點在x=A時的速度為零,求x=A/2處的速度大小。解：根據(jù)牛頓第二定律本題屬于a=a(x)，做變換例3.計算一小球在水中豎直沉降的速度。已知小球的質量為m，水對小球的浮力為B，水對小球的粘性力為R=-Kv，式中K是和水的粘性、小球的半徑有關的一種常量。求小球下沉速度與時間的函數(shù)關系。解：以小球為研究對象，分析受力：

小球的運動在豎直方向，以向下為正方向，根據(jù)牛頓第二定律，列出小球運動方程：m設：m討論：當稱為極限速度積分得例4.長為l的輕繩，一端系質量為m的小球，另一端系于定點O.開始時小球處在最低位置.若使小球獲得如圖所示的初速v0，小球將在鉛直平面內作圓周運動.求小球在任意位置的速率v及繩的張力T.解：以小球為研究對象，分析受力.

建立自然坐標系，根據(jù)牛頓第二定律，列出小球運動方程：

注意：此處at=at(θ)，與a=a(x)同樣，需作下列變換將此式代入（2）式，可得：例5(教材習題1-24).

在頂角為2

的圓錐頂上系一勁度系數(shù)為k，原長為x0的輕彈簧，今在彈簧的另一端掛一質量為m的物體，使其在光滑的斜錐面上繞圓錐軸線運動,如圖。請用圖中所給的坐標系列出牛頓運動方程,并求出使物體m離開圓錐面時的最小角速度和彈簧長度。(1)運動方程：解：以物體為研究對象，分析受力.(2)物體脫離圓錐面時：N=0，求解得：由于切向力為零，物體事實上是作勻速率圓周運動，即角速度ω=C.例6.如圖所示，一根均質柔繩，單位長度的質量為

，盤繞在一張光滑的水平桌子上。(2)以恒定速率v

豎直向上提繩,當提起高度為y時，作用在繩端的力又是多少？FF(3)設t=0時y=0,v=0，以恒力F豎直向上提繩，當提起高度為y時，繩端的速度又是多少？

YO

(1)設t

=0時y=0,v=0，今以恒定加速度a豎直向上提繩.當提起的高度為y時,作用在繩端的力為多少？[參見：09級大學物理(上)期中試題5]FFYO解：以鏈條整體作為研究對象，以地面為參考系建立坐標系OY.ym1

gm2gN注意鏈條被拉起部分的質量是可變的，設t時刻長度為y,則FFYOym1

gm2

gN討論：

(1)設t

=0時y=0,v=0，今以恒定加速度a豎直向上提繩。當提起的高度為y時,作用在繩端的力為多少？積分，并運用初始條件，得FFYOym1

gm2

gN討論：(2)以恒定速率v

豎直向上提繩，當提起高度為y時，作用在繩端的力又是多少？FFYOym1

gm2

gN討論：(3)設t=0時y=0,v=0，以恒力F豎直向上提繩，當提起高度為y時，繩端的速度又是多少？m2

gFFYOym1

gN

做變換ξ=y2v2,方程(1)轉化為積分得

最后得由初始條件：t=0時，y=0，v=0,可得C=0討論：(1)能夠驗證，此體現(xiàn)式是原方程(1)的解，但它不滿足t=0時v=0的條件，可見此條件不合理.特點：方程中各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與其乘積因子自變量的冪次相似.形如的方程，稱為歐拉方程，其中p1,p2…pn為常數(shù),解法：歐拉方程是一類特殊的變系數(shù)微分方程，通過變量代換x=et或t=lnx，可化為常系數(shù)微分方程，其解可用原則辦法求得.對于我們的問題：令ξ=v2,原方程轉化為這是最低階的歐拉方程.(2)更普通的解法：令ξ=v2,原方程可化為歐拉方程.作變量代換y=eη

或η=lny，得到這是一階非齊次常微分方程。非齊次方程的通解=對應齊次方程的通解+非齊次方程的特解對應齊次方程:積分，得齊次方程(4)的通解:歐拉方程齊次方程(4)的通解:設非齊次方程(3)的特解為非齊次方程：代入方程(3)，得比較同類項的系數(shù)，可得故,非齊次方程(3)的特解:對應齊次方程:初始條件：t=0時，y=0，v=0,齊次方程(4)的通解:非齊次方程(3)的特解:最后得非齊次方程(3)的通解=齊次方程(4)的通解+非齊次方程(3)的特解例7.09級大學物理(上)期中試題5及解答：線密度為λ的柔軟長鏈盤成一團置于地面，鏈條的一端系著一質量為m的小球。若將小球以初速度v0從地面豎直上拋,無視空氣阻力，試問小球能上升多高？解：以小球和鏈條作為研究對象，以地面為參考系建立坐標系OY.設t時刻小球上升的高度為

y,速度為v，此時小球和鏈條被拉起部分的總質量為(m+λy),則上式化為

解法一：積分得

做變換方程(1)變?yōu)橛沙跏紬l件：t=0時，y=0，v=v0,得積分常數(shù)由此得在