單樣本卡方檢驗公式一、單樣本卡方檢驗概述1.1單樣本卡方檢驗的定義單樣本卡方檢驗是一種統(tǒng)計方法，用于檢驗一個分類變量在總體中的分布是否與某個假設分布相一致。1.2單樣本卡方檢驗的應用場景①檢驗樣本數(shù)據(jù)是否符合某個已知分布；②檢驗樣本數(shù)據(jù)是否來自某個總體；③檢驗樣本數(shù)據(jù)中某個比例是否與總體比例一致。1.3單樣本卡方檢驗的基本原理單樣本卡方檢驗的基本原理是：通過比較樣本數(shù)據(jù)與假設分布之間的差異，判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自該分布。二、單樣本卡方檢驗公式2.1公式推導單樣本卡方檢驗的公式如下：\\[\\chi^2=\\sum\\frac{(O_iE_i)^2}{E_i}\\]其中，\\(\\chi^2\\)表示卡方統(tǒng)計量，\\(O_i\\)表示第\\(i\\)個觀測值，\\(E_i\\)表示第\\(i\\)個期望值。2.2公式解釋①\\(O_i\\)：表示第\\(i\\)個觀測值，即樣本數(shù)據(jù)；②\\(E_i\\)：表示第\\(i\\)個期望值，即假設分布下的理論值；③\\(\\sum\\)：表示對所有觀測值進行求和。2.3公式應用在實際應用中，我們需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和假設分布計算出卡方統(tǒng)計量\\(\\chi^2\\)，然后與卡方分布表中的臨界值進行比較，以判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自假設分布。三、單樣本卡方檢驗步驟3.1確定假設在進行單樣本卡方檢驗之前，需要確定假設，包括原假設和備擇假設。3.2計算期望值根據(jù)假設分布，計算每個觀測值的期望值。3.3計算卡方統(tǒng)計量根據(jù)公式，計算卡方統(tǒng)計量\\(\\chi^2\\)。3.4查找臨界值根據(jù)卡方分布表，查找與卡方統(tǒng)計量\\(\\chi^2\\)對應的臨界值。3.5判斷結果比較卡方統(tǒng)計量\\(\\chi^2\\)與臨界值，判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自假設分布。四、單樣本卡方檢驗實例分析4.1實例背景某公司生產(chǎn)一批產(chǎn)品，質量檢驗部門對這批產(chǎn)品進行了抽樣檢驗，共抽取了100個樣本，其中合格品80個，不合格品20個。現(xiàn)在需要檢驗這批產(chǎn)品的合格率是否與總體合格率相等。4.2假設原假設：這批產(chǎn)品的合格率與總體合格率相等；備擇假設：這批產(chǎn)品的合格率與總體合格率不相等。4.3計算期望值根據(jù)總體合格率，計算每個樣本的期望值。假設總體合格率為0.8，則期望值為：\\[E_i=100\\times0.8=80\\]4.4計算卡方統(tǒng)計量根據(jù)公式，計算卡方統(tǒng)計量\\(\\chi^2\\)：\\[\\chi^2=\\frac{(8080)^2}{80}+\\frac{(2020)^2}{20}=0\\]4.5查找臨界值根據(jù)卡方分布表，查找自由度為1，顯著性水平為0.05的臨界值，得到臨界值為3.84。4.6判斷結果由于卡方統(tǒng)計量\\(\\chi^2\\)小于臨界值3.84，因此不能拒絕原假設，即這批產(chǎn)品的合格率與總體合格率相等。五、單樣本卡方檢驗注意事項5.1樣本量在進行單樣本卡方檢驗時，樣本量應足夠大，以保證檢驗結果的可靠性。5.2假設在進行單樣本卡方檢驗之前，需要明確假設，包括原假設和備擇假設。5.3期望值計算期望值時，需要根據(jù)假設分布進行計算。5.4臨界值查找臨界值時，需要根據(jù)自由度和顯著性水平進行查找。六、[1]，.統(tǒng)計學原理與應用[M].北京：高等教育出版社，2010