第1章數(shù)列

1、1、1數(shù)列得概念與簡(jiǎn)單表示法（一）

教學(xué)要求：理解數(shù)列及其有關(guān)概念；了解數(shù)列與函數(shù)之間得關(guān)系；了解數(shù)

列得通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列得任意一項(xiàng)；對(duì)于比較簡(jiǎn)單得數(shù)

歹！I,會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)得特征寫(xiě)出它得一個(gè)通項(xiàng)公式、

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用、

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)一些數(shù)列得前幾項(xiàng)，抽象、歸納出數(shù)列得通項(xiàng)公式、

教學(xué)過(guò)程：

［合作探究］

折紙問(wèn)題

師請(qǐng)同學(xué)們想一想，一張紙可以重復(fù)對(duì)折多少次？請(qǐng)同學(xué)們隨便取一張紙?jiān)?/p>

試（學(xué)生們興趣一定很濃）、

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了、

師您知道這就是為什么嗎？我們?cè)O(shè)紙?jiān)瓉?lái)得厚度為1長(zhǎng)度單位，面積為1面

積單位，隨依次折得次數(shù)，它得厚度與每層紙得面積依次怎樣？

生隨著對(duì)折數(shù)厚度依次為：2,4,8,16,…，256,...；

隨著對(duì)折數(shù)面積依次為上,工,...,」一，...、

24816256

生對(duì)折8次以后，紙得厚度為原來(lái)得256倍，其面積為原來(lái)得「一，再折下

256

去太困難了、

師說(shuō)得很好，隨數(shù)學(xué)水平得提高，我們得思維會(huì)更加理性化、請(qǐng)同學(xué)們觀察

上面我們列出得這一列一列得數(shù)，瞧它們有何共同特點(diǎn)？

生均就是一列數(shù)、

生還有一定次序、

師它們得共同特點(diǎn)：都就是有一定次序得一列數(shù)、

［教師精講］

1、數(shù)列得定義：按一定順序排列著得一列數(shù)叫做數(shù)列、

注意：

（1）數(shù)列得數(shù)就是按一定次序排列得，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列得數(shù)相同而排

列次序不同，那么它們就就是不同得數(shù)列；

（2）定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中得數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重

復(fù)出現(xiàn)、

2、數(shù)列得項(xiàng)：數(shù)列中得每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列得項(xiàng)、各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列

得第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第"項(xiàng)，…、同學(xué)們能舉例說(shuō)明嗎？

生例如，上述例子均就是數(shù)列，其中①中，“2”就是這個(gè)數(shù)列得第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），

“16”就是這個(gè)數(shù)列中得第4項(xiàng)、

3、數(shù)列得分類：

1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)得多少分：

有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限得數(shù)列、例如數(shù)列I，2,3,4,5,6就是有窮數(shù)列、

無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限得數(shù)列、例如數(shù)列1,2,3,4,5,6…就是無(wú)窮數(shù)列、

2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)得大小分：

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它得前一項(xiàng)得數(shù)列、

遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它得前一項(xiàng)得數(shù)列、

常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等得數(shù)列、

擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它得前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它得前一項(xiàng)得數(shù)

列、

請(qǐng)同學(xué)們觀察：課本P33得六組數(shù)列，哪些就是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)

列、擺動(dòng)數(shù)列？

生這六組數(shù)列分別就是⑴遞增數(shù)列，（2）遞增數(shù)列，（3）常數(shù)數(shù)列，（4）遞減數(shù)列，

（5）擺動(dòng)數(shù)列，（6）1、遞增數(shù)列，2、遞減數(shù)列、

［知識(shí)拓展］

師您能說(shuō)出上述數(shù)列①中得256就是這數(shù)列得第多少項(xiàng)？能否寫(xiě)出它得第n

項(xiàng)？

生256就是這數(shù)列得第8項(xiàng)，我能寫(xiě)出它得第w項(xiàng)，應(yīng)為。*2"、

［合作探究］

同學(xué)們瞧數(shù)列2,4,8,16,....256,…①中項(xiàng)與項(xiàng)之間得對(duì)應(yīng)關(guān)系，

項(xiàng)2481632

序號(hào)12345

您能從中得到什么啟示？

生數(shù)列可以瞧作就是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它得有限子集｛1,2,3,....

”｝）得函數(shù)a.=f（”），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)得一列函數(shù)值、反過(guò)來(lái)，

對(duì)于函數(shù)y=f（x）,如果f（i）（i=l、2、3、4...）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)

列f⑴,f（2）,f（3）,…,

師說(shuō)得很好、如果數(shù)列｛“■｝得第〃項(xiàng)。■與n之間得關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表

示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列得通項(xiàng)公式、

3、例題講解：

例1根據(jù)下面數(shù)列｛"J得通項(xiàng)公式，寫(xiě)出前5項(xiàng)：

n

%=--；（2x=（-ir.H

（1）M+1

變式訓(xùn)練1根據(jù)下面數(shù)列得通項(xiàng)公式，寫(xiě)出前5項(xiàng):

In

⑴4=2"+1⑵4

(In-l)(2n+1)

例2寫(xiě)出下面數(shù)列得一個(gè)通項(xiàng)公式,使它得前4項(xiàng)分別就是下列各數(shù):

1111

(1)1,3,5,7；(2)-1x22733x44x5

變式訓(xùn)練2：根據(jù)下面數(shù)列得前幾項(xiàng)得值,寫(xiě)出數(shù)列得一個(gè)通項(xiàng)公式:

246810

(1)3,5,9,17,33,(2)15'35'63'99''：

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)2,-6,12,-20,30,一42,……、

2

例3數(shù)列｛a”｝中，an=n-5n+4.

⑴18就是數(shù)列中得第幾項(xiàng)？

⑵〃為何值時(shí)，凡有最小值？并求最小值.

變式訓(xùn)練3：已知數(shù)列｛呢｝得通項(xiàng)公式斯=--—(〃GN*),那么」一就是

n(n+2)120

這個(gè)數(shù)列得第幾項(xiàng)？

思考：就是不就是所有得數(shù)列都存在通項(xiàng)公式？根據(jù)數(shù)列得前幾項(xiàng)寫(xiě)出得

通項(xiàng)公式就是唯一得嗎？

4、小結(jié)：數(shù)列及其基本概念，數(shù)列通項(xiàng)公式及其應(yīng)用、

1、1、2數(shù)列得函數(shù)特性

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

理解數(shù)列得概念與幾種簡(jiǎn)要得表示方法，了解數(shù)列就是一種特殊函數(shù)，并

能以函數(shù)角度給數(shù)列分類。

學(xué)習(xí)過(guò)程：

一、課前準(zhǔn)備

自主學(xué)習(xí)：數(shù)列概念及相關(guān)知識(shí)，通項(xiàng)公式

閱讀P-通過(guò)用圖像形象直觀地刻畫(huà)數(shù)列，結(jié)合圖象認(rèn)真思考、分析數(shù)列

得特性。

、新課導(dǎo)入

①遞增數(shù)列：_______________________________________

②遞減數(shù)列：_______________________________________

③常數(shù)數(shù)列：_______________________________________

自主測(cè)評(píng)

1、下列結(jié)論中正確得就是（）

①在直角坐標(biāo)系中表示數(shù)列得圖像都就是一群孤立得點(diǎn)

②任何一個(gè)數(shù)列都有無(wú)數(shù)次

③數(shù)得通項(xiàng)公式存在且唯一

A、①②B、②③C、①②③D、①

1112

2、己知數(shù)列一,一,一,一得一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

6323

1nn

A、一B、一C、一

n63

3、判斷下列數(shù)列得增減性（）

②-3,-1,1,3,5,7

③-3,2,-4,-5,1,6,-2④-2,-2,-2,-2...

⑤0,1,0,1,0,1

探究：就是不就是所有得數(shù)列都有增減性

三、鞏固應(yīng)用

例3：判斷下列無(wú)窮數(shù)列得增減性

（1）2,1,0,-1,3-n,-⑵—二,KK,」-,KK

234n+1

例4：作出數(shù)列一!」,—』,L,KK,（—3",…得圖像，并分析數(shù)列得增

248162

減性。

2、已知數(shù)列｛%｝中；a=3,g=6,且?！?2=-an,則數(shù)列得第100項(xiàng)

為

2

3、已知數(shù)列｛%｝中，an=n-2/7+3,則數(shù)列4就是增還就是減數(shù)列

4、已知數(shù)列｛a“｝中，an=vr-7?+6,求數(shù)列｛?！埃米钚№?xiàng)

四、總結(jié)提升

1、探究結(jié)論

2、數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系？

五、能力拓展

填空題

1、數(shù)列1,—1,卜1,1,得通項(xiàng)公式得就是o

212

2、1,―,…得一個(gè)通項(xiàng)公式就是。

325

3、在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》得報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如

下表、觀察表中數(shù)據(jù)得特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)脭?shù)填入表中空白（—）內(nèi)、

年齡（歲）3035404550556065

收縮壓（水銀柱毫米）110115120125130135(.____)145

舒張壓（水銀柱毫米）707375788083(____)88

4已知數(shù)列｛4｝,%,=——（〃eN+）,那么一二就是這個(gè)數(shù)列得第______項(xiàng)、

〃（川+2）120

5、已知數(shù)列｛aj得圖像就是函數(shù)丫=工圖像上，當(dāng)x取正整數(shù)時(shí)得點(diǎn)列，則其

x

通項(xiàng)公式為O

6、已知數(shù)列｛4｝,4=21_1072+3,它得最小項(xiàng)就是0

7、已知數(shù)列｛an｝滿足q=—2,〃1=2+^，則

1一4

8、如圖，圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個(gè)、5個(gè)、13個(gè)、25個(gè)第二十

九屆北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物“福娃迎迎”，按同樣得方式構(gòu)造圖形，設(shè)第〃個(gè)圖形包

含個(gè)“福娃迎迎”，貝UF5+1）—，（〃）=.（答案用“得解

析式表示）

賽

京京陣

獸

cn（2）

二.解答題

9、已知｛%｝滿足巧=3,an+i=2an+\,試寫(xiě)出該數(shù)列得前5項(xiàng)，并用觀察法

寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列得一個(gè)通項(xiàng)公式、

10、已知數(shù)列｛4｝中，q=3,4=21,通項(xiàng)a“就是項(xiàng)數(shù)”得一次函數(shù)，

①求｛4｝得通項(xiàng)公式，并求生005；

②若｛包｝就是由4,%，4，/，，組成，試歸納他“｝得一個(gè)通項(xiàng)公式、

11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與它得前一項(xiàng)得與等于同一個(gè)常數(shù)，

那么這個(gè)數(shù)列就叫做等與數(shù)列。已知等與數(shù)列｛%｝得第一項(xiàng)為2,公與為7,

求這個(gè)數(shù)列得通項(xiàng)公式a?o

1、2、1等差數(shù)列(一)

教學(xué)要求：了解公差得概念，明確一個(gè)數(shù)列就是等差數(shù)列得限定條件，能

根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列就是等差數(shù)列；正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列得各種表示

法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列得首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、指定得項(xiàng)、

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列得概念，等差數(shù)列得通項(xiàng)公式、

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列得性質(zhì)、

教學(xué)過(guò)程：

由學(xué)生觀察分析：

4,5,6,7,8,9,10(1)

3,0,-3,-6,-9,????(2)

1/10,2/10,3/10,4/10,...(3)

1,1,1,1,......(4)

瞧這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)間得關(guān)系，

由學(xué)生歸納與概括出，以上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)得差都

等于同一個(gè)常數(shù)(即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)得特點(diǎn))。

［等差數(shù)列得概念］

等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它得前一項(xiàng)得差等

于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列得公差，公差通常用字母d表示。那么對(duì)于以上四組

等差數(shù)列，它們得公差依次就是1,-3,-0、1,0。

注意：⑴公差d一定就是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求；

⑵對(duì)于數(shù)列｛｝，若4一。,一="(4就是與〃無(wú)關(guān)得數(shù)或字母)，

nGN,則此數(shù)列就是等差數(shù)列，，為公差；

(3)若公0,則該數(shù)列為常數(shù)列.

［等差數(shù)列得通項(xiàng)公式］

提問(wèn)：對(duì)于以上得等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來(lái)呢？

⑴、我們就是通過(guò)研究數(shù)列｛4｝得第n項(xiàng)與序號(hào)n之間得關(guān)系去寫(xiě)出數(shù)列得通

項(xiàng)公式得。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公式得定義，寫(xiě)出這四組等差數(shù)列得通項(xiàng)公

式。

由學(xué)生經(jīng)過(guò)分析寫(xiě)出通項(xiàng)公式：

①猜想得到這個(gè)數(shù)列得通項(xiàng)公式就是+3

②猜想得到這個(gè)數(shù)列得通項(xiàng)公式就是%=3+(-3)(n-l)

③猜想得到這個(gè)數(shù)列得通項(xiàng)公式就是4=0.1"

④猜想得到這個(gè)數(shù)列得通項(xiàng)公式就是凡=1

⑵、那么，如果任意給了一個(gè)等差數(shù)列得首項(xiàng)為與公差d,它得通項(xiàng)公式就是

什么呢？

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列得定義進(jìn)行歸納：

CL?一=d,

(n-1)個(gè)等式1生一%=%

一=d,

I...

所以的=%+2，

=〃2+d,a?~a?+d=(a1+d)+d=a+2d,

[4—a?+d,%=(I3+d=(a1+2d)+d=a+3d,

思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表達(dá)呢？

得出通項(xiàng)公式：以。1為首項(xiàng)，d為公差得等差數(shù)列｛2｝得通項(xiàng)公式為：

an=ax+(“_l)d或an=am+(n-nt)d

也就就是說(shuō)，只要我們知道了等差數(shù)列得首項(xiàng)%與公差d,那么這個(gè)等差數(shù)

列得通項(xiàng)a,就可以表示出來(lái)了。

選講：除此之外，還可以用迭加法與迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列得通項(xiàng)公式：

(迭代法)：｛an｝就是等差數(shù)列，則有

an—an_x+d—an_2+d+d=an_2+2d=an_3+d+2d=an_3+3d=.......

=+(〃_l)d

(迭加法)：｛2｝就是等差數(shù)列，

an~2一1=d,

an-i~~an-2=d,

an-2—an-3=/

—=d,

兩邊分別相加得可—/—l）d,

所以a“=%+（〃—l）d

2、教學(xué)等差數(shù)列得通項(xiàng)公式：an=%+（〃—l）d【或凡=0”,+（〃一機(jī)）d（變

式：—"「冊(cè)）】

m-n

3、例題講解：

例1、求等差數(shù)列0,-3---7,……得通項(xiàng)公式，并判斷一20就是不就

2

是這個(gè)等差數(shù)列得項(xiàng)？如果就是，就是第幾項(xiàng)？如果不就是，說(shuō)明理由、（教

師引導(dǎo)f學(xué)生練―教師點(diǎn)評(píng)）

練：100就是不就是等差數(shù)列2,9,16,……得項(xiàng)？如果就是，就是第幾

項(xiàng)？如果不就是，說(shuō)明理由、

例2、已知數(shù)列｛*｝得通項(xiàng)公式=〃〃+q,其中p、q就是常數(shù)，那么

這個(gè)數(shù)列就是否一定就是等差數(shù)列？若就是，首項(xiàng)與公差分別就是什么？

注：數(shù)列｛?！埃秊榈炔顢?shù)列得充要條件就是它得通項(xiàng)公式為a”=〃/+q,此

式又稱為等差數(shù)列得第3通項(xiàng)公式、

例3、在等差數(shù)列｛："｝中，若。］+。6=9,。4=7,求生，。9、

結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q,則，am+an=ap+aq

4、小結(jié)：等差數(shù)列得概念、通項(xiàng)公式，等差數(shù)列得性質(zhì)及其應(yīng)用、

三、鞏固練習(xí)：

1、在等差數(shù)列｛4｝中，已知。5=10,。12=31，求首項(xiàng)生、公差d及q5、

2、作業(yè)：教材P46頁(yè)A組第1題③④

1、2、2等差數(shù)列（二）

教學(xué)要求：明確等差中項(xiàng)得概念；進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列得通項(xiàng)公式及

推導(dǎo)公式；并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決一些生活中得等差數(shù)列、

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列得定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)得理解與應(yīng)用、

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等差數(shù)列得定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題、

教學(xué)過(guò)程：

一'復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1、練習(xí)：在等差數(shù)列｛q｝中，若%=24=—13,求公差d及％「

2、提問(wèn)：如果三角形得三個(gè)內(nèi)角得度數(shù)成等差數(shù)列，那么中間得角就是

多少度？

二、講授新課：

1、教學(xué)等差中項(xiàng)得概念:

如果在。與匕中間插入一個(gè)數(shù)A,使a,A,6成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)

滿足什么條件？

由定義得A-a=b-A,即：4反之，若4貝UA-OH-A、

22

由此可可得：4=生心。。,仇成等差數(shù)列、

2

例1：求下列兩個(gè)數(shù)得等差中項(xiàng)①5+項(xiàng),5—應(yīng)；②a+2b,3a-4b、

2、生活中得等差數(shù)列：

例2、某市居民生活用水得計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：若居民在某月用水量不超過(guò)5噸，

則統(tǒng)一收取水費(fèi)6元，否則超過(guò)部分則按1、35元/噸得標(biāo)準(zhǔn)收取水費(fèi)、如

果己知某戶居民該月用水量為18噸，問(wèn)她此月需支付多少水費(fèi)？（學(xué)生自

練一學(xué)生演板一教師點(diǎn)評(píng)）

例3、某地區(qū)1997年底沙漠面積為9x105〃加2、地質(zhì)工作者為了解這個(gè)地

區(qū)沙漠面積得變化情況，從1998年開(kāi)始進(jìn)行了連續(xù)5年得觀測(cè)，并在年底

將觀測(cè)結(jié)果記錄如下表：

觀測(cè)該地區(qū)沙漠面積比原有面積增加

年份數(shù)

hm2

2000

1998

4000

1999

6001

2000

7999

2001

10001

2002

請(qǐng)根據(jù)上表所給得信息進(jìn)行預(yù)測(cè)、

（1）如果不采取任何措施，到2010年底，這個(gè)地區(qū)得沙漠面積將大約變

為多少hm2?

(2)如果從2003年初開(kāi)始，采取植樹(shù)造林等措施，每年改造8000歷川沙

漠，但沙漠面積仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，這個(gè)地區(qū)得沙漠

面積將小于9xlO2Am2?

3、小結(jié)：等差中項(xiàng)得概念，等差數(shù)列得公差、首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)及通項(xiàng)公式間

得關(guān)系，等差數(shù)列得性質(zhì)及其應(yīng)用、

三、鞏固練習(xí)：

1、有30根水泥電線桿，要運(yùn)往1000m遠(yuǎn)得地方開(kāi)始安裝，在1000m處

放一根，以后每50m放一根，一輛汽車每次只能運(yùn)三根，如果用一輛汽車

完成這項(xiàng)任務(wù)，這輛汽車得行程共有多少km?

2、作業(yè)：教材P46第4、5題

等差數(shù)列性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握等差數(shù)列概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)

過(guò)程與方法:梳理知識(shí)點(diǎn)，以填空得形式復(fù)習(xí)，習(xí)題鞏固

情感、態(tài)度與價(jià)值觀:培養(yǎng)與提高轉(zhuǎn)化、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題得能力、

教學(xué)重點(diǎn)掌握等差數(shù)列得通項(xiàng)公式靈活運(yùn)用性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題、

教學(xué)難點(diǎn)選擇合適得方法，解決問(wèn)題、

教學(xué)方法“三學(xué)一教”四步教學(xué)法

教學(xué)課時(shí)一課時(shí)

教學(xué)手段多媒體輔助教學(xué)

教學(xué)過(guò)程

一、明標(biāo)自學(xué)

知識(shí)梳理

1、等差數(shù)列得定義：an-an_x=d(d為常數(shù))(九22)；

2、等差數(shù)列通項(xiàng)公式：

4=%+(n-l)d=dn+%-N*)，首項(xiàng)：％,公差：d,末項(xiàng)：a”

a—a

推廣：a=a+｛n-m)d.從而d一j

nmn-m

3、等差中項(xiàng)

(1)如果。，A,8成等差數(shù)列，那么A叫做a與匕得等差中項(xiàng).即：A=—

2

或2A=a+Z?

⑵等差中項(xiàng)：數(shù)列｛an｝就是等差數(shù)列

o2。”=4一1+an+l(〃N2)o2a?+1=an+an+2

4、等差數(shù)列得判定方法

(1)定義法：若4—4_]=d或a“+i=d(常數(shù)"eN*)。｛q｝就是等

差數(shù)列.

⑵等差中項(xiàng)：數(shù)列｛aj就是等差數(shù)列

=2a“=a“一]+an+1(〃N2)o2an+l=an+atl+2.

(3)數(shù)列｛aj就是等差數(shù)列oan=5+6(其中左/就是常數(shù))。

5、等差數(shù)列得證明方法

定義法：若=d或a“+i—4=d(常數(shù)〃eN*)。｛a“｝就是等差數(shù)列.

6、提醒：

(1)等差數(shù)列得通項(xiàng)公式及前〃與公式中，涉及到5個(gè)元素：％、d、n、

風(fēng)及S“，其中％、?稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中得任意3個(gè)，

便可求出其余2個(gè)，即知3求2。

(2)設(shè)項(xiàng)技巧：

①一般可設(shè)通項(xiàng)a”=a1+(n-l)t/

②奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d…(公差為d)；

③偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，a—3d,a—d,a+d,a+3d,…(注意；公

差為2d)

7、等差數(shù)列得性質(zhì)：

(1)當(dāng)公差dwO時(shí)，

等差數(shù)列得通項(xiàng)公式%=%+(〃-l)d=威+q-d就是關(guān)于〃得一次函數(shù)，且斜

率為公差?；(2)若公差d〉0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減

等差數(shù)列，若公差d=0,則為常數(shù)列、

(3)當(dāng)機(jī)+九=p+4時(shí)，則有a,”+a“=a?+4,特別地，當(dāng)m+〃=2。時(shí)，則有

am+an=2ap,

注：4+a”=4+=q+4Zn2=…，

⑷若｛叫、也｝為等差數(shù)列，則｛現(xiàn),+耳,｛4%+4〃｝都為等差數(shù)列

(5)數(shù)列｛。"｝為等差數(shù)歹!],每隔k(keN*)項(xiàng)取出一項(xiàng)(金,4+xam+2k,am+3k,???)

仍為等差數(shù)列、

二、合作釋疑

例1.(1)已知數(shù)列8,a,2,b,c,—7就是等差數(shù)列，求未知項(xiàng)a,6,c得值、

解：由等差中項(xiàng)公式得2a=2+8=10,a=5,d=—3,b——l,c=—4

(2)已知等差數(shù)列｛-｝得前3項(xiàng)依次為a—l,a+1,2a+3,求此數(shù)列得通項(xiàng)服

解：由等差中項(xiàng)公式得2(a+l)=a—1+2。+3,得a=0,所以等差數(shù)列｛為｝

得前3項(xiàng)依次為-1,1,3,所以d=2,通項(xiàng)公式為

x

61n——1+(〃—1)2=2n—3

(3)等差數(shù)列｛4｝中，4與&,得等差中項(xiàng)為5，%與%得等差中項(xiàng)為7,

求此數(shù)列得通項(xiàng)an

解：由題知。2+。6=1°，。3+。7=14,則%=5,。5=7,d=2,所以

4+(〃-x

an=。4)2=5+2"—8=2"-3

例2、(1)等差數(shù)列｛斯｝中，已知02+03+410+ail=36,則。5+。8=_18

+aa

⑵在等差數(shù)歹！J｛/｝中，若a4t+0+4o=12q,則

24_

2al丁a亍__

三、點(diǎn)撥拓展

例3、(1)首項(xiàng)為一24得等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差得取值

24

范圍就是d〉——

9

24

解：%=—24,tZjg=tZj+9d=—24+9d>0,d>

(2)如果等差數(shù)列｛a“｝得第5項(xiàng)為5,第10項(xiàng)為一5,那么此數(shù)列得第

一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)就是第項(xiàng)、

解：a=5,a=—5,d=-------=----=—2,

51l010-55

(3)若xWy,兩個(gè)數(shù)列：x,ai，a?，.3，y與x，b\,62，by,64，y都就

是等差數(shù)列，求也二幺

Z?4

~b2

解：設(shè)兩個(gè)數(shù)列得公差分別為4,心，貝U4=上二步,4=上口，所以

45

四、當(dāng)堂檢測(cè)

(1)等差數(shù)列｛凡｝中，已知外=;，?+。5=4,%=33,求〃得值

(2)在數(shù)列｛q｝中=2,且%+2—%=l+(-l)”,(〃eN+),則

邑00=------

(3)設(shè)八B=號(hào)萬(wàn)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項(xiàng)與得公式得方法，

可求得

A—5)+人—4)H---\-f(0)H---1~八5)+八6)得值為

(4)若關(guān)于x得方程%2一%+4=。與一一工+5=0,(〃/￡H且awZ?)得四

個(gè)根組成首項(xiàng)為｝得等差數(shù)列，則a+8=

(5)已知在正整數(shù)數(shù)列｛6｝中，前〃項(xiàng)與滿足：s“=!(a“+2)2

8

(1)求證：｛為｝就是等差數(shù)列；

(2)若2=；*-30求數(shù)列｛2｝得前〃項(xiàng)與得最小值、

六、課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課主要復(fù)習(xí)鞏固了等差數(shù)列得通項(xiàng)公式及性質(zhì)，在例題講解得過(guò)程

中還就是要留給學(xué)生時(shí)間思考，以學(xué)生為主，在練習(xí)中鞏固知識(shí)點(diǎn)，不足之

處及時(shí)講解、

七、教學(xué)反思

1、2、2等差數(shù)列得前〃項(xiàng)與(共三課時(shí))

教材章節(jié)：§2.3課題：等差數(shù)列的前附項(xiàng)和

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：

掌握等差數(shù)列前囪項(xiàng)和公式及其推到方法；能夠利用等差數(shù)列前?項(xiàng)和公式解

決一些簡(jiǎn)單的等差數(shù)列問(wèn)題；熟練掌握等差數(shù)列中的五個(gè)基本量?jī)?nèi),d,M,S”,久之間

的關(guān)系并能罅做到知三求二，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想研究問(wèn)題的能力.

2.過(guò)程與方法：

通過(guò)現(xiàn)察等差數(shù)列的特征,歸納出等差數(shù)列前附項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法，并根據(jù)前附

項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)記住公式.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想研究問(wèn)題的能力.

重點(diǎn)*等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

難點(diǎn)：等差數(shù)列前抬項(xiàng)和的思路.

教學(xué)過(guò)程：

一'、導(dǎo)入新課

1.講述高斯求I到100之與得故事.

2.問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們回答高斯算法得思路依據(jù).

3.問(wèn)題：1到100這100個(gè)數(shù)恰好就是正整數(shù)這個(gè)等差數(shù)列得前100項(xiàng)，

那么這種求與得方法就是否具有普遍性？對(duì)一般得等差數(shù)列就是否都可以按此

方法求其前〃項(xiàng)得與呢？

二、講授新課

1.推導(dǎo)等差數(shù)列得前〃項(xiàng)與公式(倒序求與法)：

(1)定義：Sn=01+02++4

(2)公式：S”=/+a,++a.

Sa=a”+c*++%+/

相加，2S“=(q+an)+(tz,+/1升+(4[+q+(tij+q

,q+a.=+a”-i==a0-i+a?=q+an,??2S.=躍4+un)

VI

???S〃=5(Q]+%)知道首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)，即可求s〃.

又an=4+(〃-l)d,

/.知道首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)，即可求

2.公式：

公能一.S/(…)

公式二：Sn="q+.

說(shuō)明：

(1)注意以上公式就是表示從等差數(shù)列第一項(xiàng)起至第〃項(xiàng)得連續(xù)有限項(xiàng)得

與，其實(shí)對(duì)于等差數(shù)列得任意項(xiàng)起得連續(xù)有限項(xiàng)得與都可以用以上公式求，只

就是注意首項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)得變化.

(2)公式一反映得就是等差數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)得關(guān)系；公式二反映得就是等差

數(shù)列中項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)得函數(shù)關(guān)系，顯然前〃項(xiàng)與就是項(xiàng)數(shù)〃得沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)得二次函

數(shù)，即

Sn+(。1—g)”?

(3)公式中各含有4個(gè)元素：Sn,n,%,a“VSn，Ti,a[,d,已知其中3個(gè)量,

即可求出另外1個(gè)；綜合通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)與公式，已知其中3個(gè)量即可求出

另外2個(gè)量.

2

(4)利用函數(shù)觀點(diǎn)研究=|?+(?1-1>

①當(dāng)dHO時(shí)，S”為二次函數(shù)，且無(wú)常數(shù)項(xiàng).

②當(dāng)d〉0時(shí)，S”有最小值；題型：求S“得最值.

③當(dāng)d<0時(shí)，S”有最大值.

3.等差數(shù)列得前〃項(xiàng)與得性質(zhì)：

(1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍成等差，且公差為川d；

(2)若.項(xiàng)數(shù)為2%則

①S奇與品中項(xiàng)數(shù)相等，且品—5奇=加/；

二奇=a十%)=.

品|(?2+?2?)“向

若項(xiàng)數(shù)為2〃-1,則

①S奇一5偶=(〃_1)(—2)+〃2八一1二—l)d=an；

②5奇=加/S偶=(九一1)%；

③S2M=(2〃一1)%；

n.、

"1’,\n-1

—/(。2+a2n-2)

練習(xí)：已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)得等差數(shù)列，S偶=33,S奇=44,求。中=11.

q

(3)｛j｝等差(須證明)應(yīng)用見(jiàn)例7練習(xí).

n

4.應(yīng)用舉例：

(1)五個(gè)量知三求二

例1.課本P43例1.

例2.課本P44例2.

例3.等差數(shù)列｛q｝中，4=1,4=—5125〃=—102,求公差d與項(xiàng)數(shù)〃.

解：選擇公式S“=Q(q+a“).

-1022=|(l-512)=>n=A；.a4=-512；.d=匕一：-=-L71.

例4.課本P44例3.

例5.課本P45例4.

說(shuō)明：由例5可以知道等差數(shù)列前〃項(xiàng)與就是項(xiàng)數(shù)〃得沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)得二次

函數(shù)，即=3"+〃.進(jìn)一步可以讓學(xué)生研究如果一個(gè)數(shù)列得前〃項(xiàng)與公式就

是Sn=3/+〃+l,那么這個(gè)數(shù)列就是不就是等差數(shù)列？如果不就是，那么在

什么情況下才就是等差數(shù)列？

例6.(1)已知在等差數(shù)列｛?！埃校琣6+a9+tz12+a15=20,求：S2。得值.

解：.+弓5=為+%,=4+a,。，又.4+包+%2+%5=2。，

a.+a,n=10.：.5,°=2。(%+。20);⑼

1zuzu2

(2)已知在等差數(shù)列｛a,J中，Slo=lOO,Sloo=1G求：Su。得值.

解：,**Sm—百0=45(4+々100)=—90，4+400=—2.

又+a110=Ojj+aloo=—2,/.=llCXa；%［。)=一］］。.

(3)已知數(shù)列｛2〃—23｝,求其前〃項(xiàng)與S“得最小值.

解：由已知知此數(shù)列就是等差數(shù)列，且q=—21,d=2,

S“=〃2_227?=S—11)2—121,；.(5").=—⑵.

(2)證明等差數(shù)列問(wèn)題

例7.求證：｛q｝為等差數(shù)列O其前n項(xiàng)與S〃=A廿+3九

證明：(U)已知S?=Ari+Bn(AwO),

當(dāng)〃=1時(shí)，q=，=A+jB

當(dāng)且時(shí)，an=Sn—S4=2An-A+且〃=1符合

上式.

an—2An—A+B,nwN*

%M—%=2A（〃+1）—A+5—2An+A—5=2A（非零常數(shù)）

｛q,｝為公差非零得等差數(shù)列.

（n）已知｛4｝為公差非零得等差數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為％,公差為d.

mi0幾（幾一l）dd2/d、人人d門

則Sn—H-----------——n+（q——）n,令A(yù)——0,

Bn=%—d—）

2

Sn=An+Bn（Aw0）.

綜上可知，結(jié)論成立.

練習(xí)：證明：若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列=｛彳｝成等差.

證明：：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列

.。n｛n-V）dd2.d.

..Sn=a｛n+---------=-?+（。1一萬(wàn)）”

.S_dd

??'n+--）>

n22

??存—=工”+（%—彳）-彳（"_1）一（/-彳）=彳（常數(shù)），得證.

nn-122222

（3）綜合問(wèn)題

例8.等差數(shù)列｛叫中，S”為前〃項(xiàng)與，q=13應(yīng)=，1，問(wèn)此數(shù)列前多

少項(xiàng)得與最大？

方法一：由邑=S]]即q+a2+生=q+/+/++4]

得&+%++%]=0=4(%+,),

2

且d=-q——2,二.%+%=0,

又?:d=-2<0數(shù)列為減數(shù)列???%>0,/<0

???當(dāng)〃=7時(shí)，S?最大，且S7=49.

方法二：(由S”為二次函數(shù)，對(duì)S”進(jìn)行配方n取最接近對(duì)稱軸得正整數(shù)時(shí),

S”最大.)

由S3=S]]得3%+3(3=nq+；1"8q+52d=o

又I=13,得d=-2.

22

：.Sn=13n+"("；)"=-n+14n=—(〃-7)+49

當(dāng)"=7時(shí)，S,最大，且S7=49.

方法三：同方法二，得d=-2

a>01315

，4=13+("—1)(—2)=15—2“令4"=>一<〃4—

4+1<022

n6N*〃=7時(shí)，S7最大,且S7=49.

方法四：圖象法由S3=Su，知對(duì)稱軸為“=7.所以S7最大.

小結(jié)：

(I)等差數(shù)列得單調(diào)性得應(yīng)用：

a>0

(1)當(dāng)q>0,d<0時(shí)，S.有最大值，n就是不等式1"得正整數(shù)解

&+i<。

時(shí)取得；

a<0

(2)當(dāng)q<0,d>0時(shí)，S,有最大值，n就是不等式1"n得正整數(shù)解

口+1>0

時(shí)取得.

(II)當(dāng)數(shù)列中有某項(xiàng)值為0時(shí)，〃應(yīng)有兩解.Sm=Sm+1^am+1=O.

例9.在等差數(shù)列｛叫中，a3=12,S12>0,513<C

(1)求公差d得范圍;

(2)問(wèn)S「S2，S3，，兒中哪個(gè)值最大？

解：

S12=H--------->0

(1)由題意得<幾=13q+<0

13(l；Dd解之得，----<d<—3.

7

%=%+2d=12

(2)???d<0：.S〃為開(kāi)口向下得二次函數(shù).

方案1：利用函數(shù)求最值

n(n-l)d/c八n(n-V)dd5人

Sc—nd.H------------—一2d)H-------------——ri2+(12----

2222

51224