習題八

8-1電量都是q的三個點電荷，分別放在正三角形的三個頂點.試問：(1)在這三角形的中心放一個什么

樣的電荷，就可以使這四個電荷都達到平衡(即每個電荷受其他三個電荷的庫侖力之和都為零)？(2)這種

平衡與三角形的邊長有無關系？

解：如題8T圖示

(1)以4處點電荷為研究對象，由力平衡知：/為負電荷

解得q=*q

(2)與三角形邊長無關.

題8T圖題8-2圖

8-2兩小球的質量都是〃？，都用長為/的細繩掛在同一點，它們帶有相同電量，靜止時兩線夾角為29,

如迤8-2圖所示.設小球的半徑和線的質量都可以忽略不計，求每個小球所帶的電量.

解：如題8-2圖示

解得q=21sin9個4MomglanB

8-3根據點電荷場強公式七二—^,當被考察的場點距源點電荷很近(r-O)時，則場強-8,這是沒

4宓()廠

有物理意義的，對此應如何理解？

解巨二^^斤)僅對點電荷成立，當廠->0時，帶電體不能再視為點電荷，再用上式求場強

4it￡or~

是錯誤的，實際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場強不會是無限

大.

8-4在真空中有A,B兩平行板.相對距離為“，板面積為S,其帶電量分別為+4和-〃.則這兩板之

22

間有相互作用力/,有人說/=又有人說，因為/二==,所以/=幺.試問這兩

4您0小￡()S￡qS

種說法對嗎?為什么？/到底應等于多少？

解：題中的兩種說法均不對.第一種說法中把兩帶電板視為點電荷是不對的，第二種說法把

合場強E=4看成是一個帶電板在另一帶電板處的場強也是不對的.正確解答應為一個板

的電場為E=另一板受它的作用力/=夕工=金，這是兩板間相互作用的電場

24S2gos2與S

力.

8-5?電偶極了的電矩為"=夕7,場點到偶極了中心0點的距離為廠，欠星尸與7的夾角為〃，(見題85

圖)，且試證正點的場強E在，,方向上的分量E,和垂直于r的分量/分別為

pcos。psin0

’2叫/'4您

證：如題8-5所示，將「分解為與「平行的分量psin。和垂直于尸的分量psin。.

???r?l

場點。在廠方向場強分量

垂直于r方向，即〃方向場強分量

題8~5圖題8~6圖

8-6長/=15.0cm的直導線AB上均勻地分布著線密度2=5.0x10久?nfi的正電荷.試求：⑴在導線的

延長線上與導線B端相距％=5.OCTI處P點的場強；(2)在導線的垂直平分線匕與導線中點相距乙=5.0cm

處Q點的場強.

解：如題8-6圖所示

⑴在帶電直線上取線元小，其上電量d夕在尸點產生場強為

用/=15cm,4=5.()xl(T9c.ma=12.5cm代入得

2-1

Ep=6.74xION-C方向水平向右

⑵同理d￡.=—--當二方向如題8-6圖所示

4兀4+d；

由于對稱性Jd4,=0,即4只有)，分量，

..[F=]癡cP

?。廠K.+.G+d；

-1

以4=5.()x1()"'Cem,/=15cm,d2=5cm代入得

2

￡(?=ECy=14.96X10NC-',方向沿y軸正向

8-7一個半徑為R的均勻帶電半圓環，電荷線密度為/L求環心處。點的場強.

解：如8-7圖在圓上取,〃二心3

題8-7圖

dq=2d7=RAd(p,它在。點產生場強大小為

dE=方向沿半徑向外

4兀4/?_

則d￡r=d￡sin^>=---------sin8do

4兀,)R

積分Ex=

…yi"o''

???f=E,=」一，方向沿x軸正向.

2Tt￡()R

8-8均勻帶電的細線彎成正方形，邊長為/,總電量為q.(1)求這正方形釉線上離中心為，?處的場強E；

⑵證明：在〃>>/處，它相當于點電荷鄉產生的場強

解：如8-8圖示，正方形一條邊.上電荷幺在P點產生物強d曷方向如圖，大小為

4

L

dj在垂直于平面上的分量d醺=dEpcosP

題8-8圖

由于對稱性，尸點場強沿0P方向，大小為

4/

???Ep------------"--------方向沿而

「Z2

4兀￡。(/+7)]/+萬

8-9(1)點電荷q位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點電荷電場中穿過立方體的一個面的電通量；

⑵如果該場源點電荷移動到該立方體的一個頂點上，這時穿過立方體各面的電通量是多少?*(3)如題

8-9(3)圖所示，在點電荷q的電場中取半徑為R的圓平面.q在該平面軸線上的A點處，求：通過圓平面

R

的電通量.(a=arclan—)

x

“12cm時,與（成-4）

心里H，4」0X。NC，沿半徑向外.

4兀4廠

8-11半徑為飛和（（R2>弋）的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量；I和-%，試求：（1）一

</?,：(2)/?,<r</?2：(3)r>此處各點的場強.

解：高斯定理1左出￡=愛

取同軸圓柱形高斯面，側面積S=2兀”

則jEdS=E2nrl

對（1）r<R,Zq=（），E=（）

(2)/?)<r<R2￡q=lA

.??E=^—沿徑向向外

2ne(]r

⑶r>R2￡q=0

???E=0

題8T2圖

8-12兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為％和。2,試求空間各處場強.

解：如題8T2圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為6與o2,

兩面間，E=^—(<rl-(r2)n

%面外，E=+(y2)n

2%

6面外，巨=」一（巧+b,）萬

2%

萬：垂直于兩平面由力面指為％面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內的電荷體密度為p,若在球內挖去一塊半徑為rVR的小球體，如題

8T3圖所示.試求：兩球心O與O'點的場強，并證明小球空腔內的電場是均勻的.

解：將此帶電體看作帶正電夕的均勻球與帶電一夕的均勻小球的組合，見題8T3圖(a).

(1)+月球在。點產生電場￡。=0,

43

-Tirp__

-p球在。點產生電場及o=3——-00'

4兀4d

O點電場而;

34d3

(2)+夕在。'產生電場Eo=&——T防

47rfod

-P球在O'產生電場后2G，=0

???O'點電場Eir=-^-OO'

3分

題8-13圖(a)題8T3圖(b)

⑶設空腔任一點P相對O'的位矢為尸，相對。點位矢為『(如題873(b)圖)

=_￡L

3%'

???瓦=&。+%=4_(尸_/)=/布=勺

3分343分

?,?腔內場強是均勻的.

8-14一電偶極子由夕=l.OXl(Tc的兩個異號點電荷組成，兩電荷距離d=0.2cm,把這電偶極子放在1.0

XIO5N?C'的外電場中，求外電場作用于電偶極子上的最大力矩.

解：???電偶極子日在外場后中受力矩

,==代入數字

8

8-15兩點電荷0=1.5X10%：,^2=3.0X10C,相距八=42cm,要把它們之間的距離變為弓=25cm,需

作多少功？

解：展「戶行=

rr

%%4兀廣而與\2

外力需作的功A=—A=—6.55x10"J

題8-16圖

8-16如題8T6圖所示，在4,B兩點處放有電量分別為的點電荷，A3間距離為2R,現將另

一正試驗點電荷%從。點經過半圓弧移到C點，求移動過程中電場力作的功.

解：如題8T6圖示

A=%）（%一〃）=q°q

8-17如題8-17圖所不的絕緣細線上均勻分布著線密度為4的止電荷，兩直導線的長度和半圓X、的半徑

都等于R.試求環中心0點處的場強和電勢.

解：（1）由于電荷均勻分布與對稱性，和CO段電荷在。點產生的場強互相抵消，取

d/=/?d<9

則S=/iRd。產生。點曲如圖，由于對稱性，。點場強沿），軸負方向

題8-17圖

[sin(--)-sin-]

4n￡,()/?22

（2）AB電荷在。點產生電勢，以Ug=0

同理CO產生U,=-^—\n2

4兀4

TIRAA

半圓環產生4

4兀4R4%

??+U3=--------In2+------

加￡。4%

8-18一電子繞一帶均勻電荷的長直導線以2X10'm-S】的勻速率作圓周運動.求帶電直線上的線電荷密

度.（電子質量〃2o=9.1X10"kg,電子電量e=L60X10汽）

解：設均勻帶電直線電荷密度為2,在電子軌道處場強

電子受力大小Fe=eE="

2716,0r

,ekv2

??-------=m—

2兀qrr

得A=2%時=MSxIO》c.m-i

e

8-19空氣可以承受的場強的最大值為E=30kV-cn/，超過這個數值時空氣要發生火花放電.今有一高

壓平行板電容器，極板間距離為d=0.5cm,求此電容器訶承受的最高電壓.

解：平行板電容器內部近似為均勻電場

l/=Ed=1.5xlO4V

8-20根據場強巨與電勢U的關系E=,求下列電場的場強：（1）點電荷夕的電場；（2）總電量為夕,

半徑為R的均勻帶電圓環軸上一點；*（3）偶極子p=ql的〃》/處（見題8-20圖）.

P（r.e）

/

-qZ+q

解：（D點電荷U=’-----—題8-20圖

4兀

q

???E=-^-r0=rQ為為，?方向單位矢量.

dr4兀

⑵總電量4,半徑為R的均勻帶電圓環軸上一點電勢

?E-dU1-qXZ

一&4?！?。（叱+/產

（3）偶極子「=〃在〃>>/處的一點電勢

?dU“cos。

L=-------=-----------r

rdr2兀4廠

8-21證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導體板（題8-21圖）來說，（1）相向的兩面上，電荷的面密度總

是大小相等而符號相反；（2）相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同.

證：如題8-21圖所示，設兩導體A、B的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為6，名,

題8-21圖

⑴則取與平面垂直且底面分別在4、3內部的閉合柱面為高斯面時，有

%+%=0

說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反；

⑵在A內部任取一點P,則其場強為零，并且它是由四個均勻帶電平面產生的場強疊加而

成的，即

又???/+4=°

??(T]=

說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號相同.

8-22三個平行金屬板A,B和C的面積都是200cm\A和8相距4.0mm,A與C相距2.0mm.B,C

都接地，如題8-22圖所示.如果使A板帶正電3.()X1()7C,略去邊緣效應，問8板和。板上的感應電荷

各是多少？以地的電勢為零，則A板的電勢是多少？

解：如題8-22圖示，令A板左側面電荷面密度為6，右側面電荷面密度為6

題8-22圖

⑴;AC=AB?即

*,^AC^AC=^AR^AH

...￡j_=EAC=d—=2

o?d,ic

且巴+°2=^~

得6二區，囚=應

-3S13s

2

而q=-crS=—q=-2x10一'C

ct3A

7

^=-o-3S=-lxlO"C

y

(2)UA=EACdAC=^-dAC=2.3xlOV

8-23兩個半徑分別為弋和冬(&V&)的同心薄金屬球殼，現給內球殼帶電+4，試計算：

⑴外球殼上的電荷分布及電勢大小；

⑵先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布及電勢；

*(3)再使內球殼接地，此時內球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變量.

解：(1)內球帶電+4；球殼內表面帶電則為-q,外表面帶電為+<7,且均勻分布，其電勢

題8-23圖

⑵外殼接地時，外表面電荷+q入地，外表面不帶電，內表面電荷仍為-心所以球殼電勢

由內球+q與內表面一夕產生：

⑶設此時內球殼帶電量為/；則外殼內表面帶電量為-/,外殼外表面帶電量為-4+。

(電荷守恒)，此時內球殼電勢為零，且

得,白

A2

外球殼上電勢

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠，并用導線與地相聯，在與球心相距為d=3R處有一點電荷+如

試求：金屬球上的感應電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設金屬球感應電荷為則球接地時電勢U0=0

8-24圖

由電勢疊加原理有：

得Qr=~~~

3

8-25有三個大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號電荷，相距甚遠，其間的庫侖力為試求:

⑴用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小球1,2之間的庫侖力；

⑵小球3依次交替接觸小球1,2很多次后移去，小球1,2之間的庫侖力.

解：由題意知^=——

G4兀4產

⑴小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電

???此時小球1與小球2間相互作用力

⑵小球3依次交替接觸小球1、2很多次后，每個小球帶電量均為

22

小球1、2間的作用力

4?！辏ǎ?

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,相距為d,分別維持電勢UH=0^

變,現把一塊帶有電量q的導體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面積也是S,片的厚度略去不計.求

導體薄片的電勢.

解：依次設A,C,8從上到下的6個表面的面電荷密度分別為3，/，/，%,外,外如

圖所示.由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持〃.=〃可得以下6個方程

題8-26圖

解得6=%=4

所以a?間電場邑=2=且+，_

￡（）d2%S

注意：因為C片帶電‘所以分工!若C片不帶電‘顯然〃=￡

8-27在半徑為凡的金屬球之外包有一層外半徑為此的均勻電介質球殼，介質相對介電常數為3,金屬

球帶電。.試求：

⑴電介質內、外的場強；

⑵電介質層內、外的電勢；

⑶金屬球的電勢.

解：利用有介質時的高斯定理，=X“

⑴介質內（與<廠<此）場強

4兀廠4兀

介質外（廠<R2）場強

（2）介質外（〃>此）電勢

介質內（叫<r</?2）電勢

（3）金屬球的電勢

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內充入相對介電常數為%的電介質.試求：在有電介

質部分和無電介質部分極板上自由電荷面密度的比值.

解：如題828圖所示，充滿電介質部分場強為瓦，真空部分場強為耳，自由電荷面密度分

別為“與a\

ftfD-dS=W>o得

D、=%,D2=（J2

而~￡（）E]>D?—￡（）￡「E?

.6D?

??—=--=￡r

題8-28圖題8-29圖

8-29兩個同軸的圓柱面，長度均為/,半徑分別為曷和乙（&>%），且，>>此一與，兩柱面之間充

有介電常數￡的均勻電介質.當兩圓柱面分別帶等量異號電荷。和-。時，求:

⑴在半徑r處（R|VrVR2=，厚度為也，長為/的圓柱薄殼中任一點的電場能量密度和整個薄殼中的

電場能量；

⑵電介質中的總電場能量：

⑶圓柱形電容器的電容.

解：取半徑為，?的同軸圓柱面(S)

則ibdS=2itrlD

J(5)

當(/＜廠＜/?2)時，￡q=Q

.nQ

271rl

⑴電場能量密度w=—=",

2s8/夕-I

薄殼中dW=wdu=—gr,2JIrd"=0”

電2夕2-加￡rl

⑵電介質中總電場能量

⑶電容：???W=^-

2C

.LQ2271d

??C-1-1

2Wln(/?2//?,)

*8-30金屬球殼A和8的中心相距為，A和8原來都不帶電.現在A的中心放一點電荷％,在B的

中心放?點電荷力，如題830圖所示.試求：

(1)/對紜作用的庫侖力，“2有無加速度；

⑵去掉金屬殼3,求名作用在牝上的庫侖力，此時必有無加速度.

解：(1)4作用在姓的庫侖力仍滿足庫侖定律，即

但外處于金屬球殼中心，它受自力為零，沒有加速度.

⑵去掉金屬殼8,小作用在％上的庫侖力仍是尸華，但此時%受合力不為零,

4ne0r

有加速度.

題8-30圖題8-31圖

8-31如題8-31圖所示，G=0.25〃F,C2=0.15//F,C3=0.20//F.G上電壓為50V.求：UAH.

解：電容G上電量

電容c2與c3并聯c23=c2+c3

其上電荷。23=a

._。23_GG_25x50

?.uTI.=----=------=--------

。23。2335

8-32G和兩電容器分別標明"200pF、500V”和“300pF、900T,把它們串聯起來后等值電容是多少？

如果兩端加上1000V的電壓，是否會擊穿？

解：（1）G與串聯后電容

⑵串聯后電壓比

UC3

—L=^=-,而q+u,=iooo

12

U2C,2

???q=600V,4=400V

即電容G電壓超過耐壓值會擊穿，然后G也擊穿.

8-33將兩個電容器G和。2充電到相等的電壓U以后切斷電源，再將每一電容器的正極板與另一電容

器的負極板相聯.試求：

⑴每個電容器的最終電荷；

⑵電場能量的損失.

解：如題8-33圖所示，設聯接后兩電容器帶電分別為名,生

題8-33圖

貝（=

%C2U2

U\=L

解得⑴％=哈券"%=唔聲〃

⑵電場能量損失

8-34半徑為R產2.0cm的導體球，外套有一同心的導體球殼，殼的內、外半徑分別為R?=4.0cm和

%二5.0cm,當內球帶電荷。=3.OX10飛時，求:

⑴整個電場儲存的能量；

⑵如果將導體殼接地，計算儲存的能量；

⑶此電容器的電容值.

解：如圖，內球帶電Q,外球殼內表面帶電-Q，外表面帶電Q

題8-34圖

⑴在7Y凡和R2UYR?區域

在凡<r<7?2時

4兀4廠

r>&時

4兀4廠

工在叫＜廠＜此區域

在廠〉/?3區域

???總能量卬=叱+w,=又一(-!——-+—)

1.8兀％AR?6

⑵導體殼接地時，只有用＜廠＜/?2時￡=—嗎，卬2=0

4?！?。尸

n-?I

卬=叱=-^—(------)=1.01xl0~4

8兀4與R2

2W11

⑶電容器電容。===4九％/(—瓦）

QK

習題九

9-1在同一磁感應線上，各點方的數值是否都相等？為何不把作用于運動電荷的磁力方向定義為磁感應

強變月的方向？

解：在同一磁感應線上，各點月的數值一般不相等.因為磁場作用于運動電荷的磁力方向不

僅與磁感應強度月的方向有關，而且與電荷速度方向有關，即磁力方向并不是唯一由磁場決

定的，所以不把磁力方向定義為月的方向.

B

.....、b

d：J

題9-2圖7-一廣c

9-2（1）在沒有電流的空間區域里，如果磁感應線是平行直線，磁感應強度3的大小在沿磁感應線和垂直

它的方向上是否可能變化（即磁場是否一定是均勻的）？

⑵若存在電流，上述結論是否還對？

解：（1）不可能變化，即磁場一定是均勻的.如圖作閉合回路他〃可證明瑪=%

/.R=瓦

⑵若存在電流，上述結論不對.如無限大均勻帶電平面兩側之磁力線是平行直線，但月方

向相反,即月產瓦.

9-3用安培環路定理能否求有限長一段載流直導線周圍的磁場？

答：不能，因為有限長載流直導線周圍磁場雖然有軸對稱性，但不是穩恒電流，安培環路定

理并不適用.

9-4在載流長螺線管的情況下，我們導出其內部8=〃?！?,外面8:0,所以在載流螺線管

外面環繞一-周（見題9-4圖）的環路枳分

「瓦卜?"=0

但從安培環路定理來看，環路L中有電流I穿過，環路積分應為

f,瓦?一=〃。/

這是為什么？

解：我們導出8內B外=0有一個假設的前提，即每匝電流均垂直于螺線管軸線.這時圖中環路￡

上就一定沒有電流通過，即也是｛瓦卜與，瓦卜?d7=，O?d7=O是不矛盾的.但這是

導線橫截面積為零，螺距為零的理想模型.實際上以上假設并不真實存在，所以使得穿過L的電流為/,

因比實際螺線管若是無限長時，只是月外的軸向分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量="，「為管

外一點到螺線管軸的距離.

題9-4圖

9-5如果一個電子在通過空間某一區域時不偏轉，能否肯定這個區域中沒有磁場?如果它發

生偏轉能否肯定那個區域中存在著磁場？

解：如果一個電子在通過空間某一區域時不偏轉，不能肯定這個區域中沒有磁場，也可能存

在互相垂直的電場和磁場，電子受的電場力與磁場力抵消所致.如果它發生偏轉也不能肯定

那個區域存在著磁場，因為僅有電場也可以使電子偏轉.

9-6已知磁感應強度8=20Wbin2的均勻磁場，方向沿工軸正方向，如題9-6圖所示.試

求：（1）通過圖中"〃面的磁通量；（2）通過圖中面的磁通量；（3）通過圖中最例面的磁

通量.

解：如題9-6圖所示

⑴通過出”/面積a的磁通是

⑵通過bm面積邑的磁通量

⑶通過供用面積月的磁通量

0=^S=2XO.3XO.5XCOS0=2XO.3XO.5X-=O.24Wb（或曰一0.24Wb）

335

題9-7圖

9-7如題9-7圖所示，AB、CD為長直導線,4。為圓心在。點的一段圓弧形導線，其半徑為R.若通

以電流/,求。點的磁感應強度.

解：如題9-7圖所示，。點磁場由43、BC.CQ三部分電流產生.其中

AB產生B[=0

CO產生3,=幺亡，方向垂直向里

12/?

段產生用=蹊.（sin90,-sin600）=瞿（1-等），方向1向里

CD

471―

2

???&=用+&+卅二%（1-￥+鄉），方向_L向里.

2兀R26

9-8在真空中，有兩根互相平行的無限長直導線。和心，相距0.1小，通有方向相反的電流，

/,=20A,，2=10A,如題9-8圖所示.A,8兩點與導線在同一平面內.這兩點與導線人的距離均為5.0cm.試

求A,8兩點處的磁感應強度，以及磁感應強度為零的點的位置.

h=20A

Z2=10A

"題9-8圖

解：如題9-8圖所示，月八方向垂直紙面向里

⑵設月=0在以外側距離L為廠處

則

2乃（廠+0.1）2次

解得r=0.1m

題9-9圖

9-9如題9-9圖所示，兩根導線沿半徑方向引向鐵環上的A,B兩點，并在很遠處與電源相連.已知圓環

的粗細均勻，求環中心。的磁感立強度.

解：如題9-9圖所示，圓心。點磁場由直電流Aco和Boo及兩段圓弧上電流/］與所產生,

但48和比0在。點產生的磁場為零。且

1二電阻&-e

石一電阻,-2?！?.

。產生耳方向1紙面向外

2R2乃

產生員方向，紙面向里

用二《（2乃一0=

「一~To一"

有樂=瓦+月2=o

9-10在一半徑R=1.0cni的無限長半圓柱形金屬薄片中，自上而下地有電流/二5.0A通過，電流分布

均勻.如題9T0圖所示.試求圓柱軸線任一點P處的磁感應強度.

61=161

dBr題9To圖

解：因為金屬片無限長，所以圓柱軸線上任一點P的磁感應強度方向都在圓柱截面上，取坐

標如題9To圖所示，取寬為d/的一無限長直電流d/=4-d/,在軸上尸點產生d方與R垂直,

r.R

大小為

6f吟鬻二盥叫…力嚕二廝叱T

8=6.37x1。-"T

9-11氫原子處在基態時，它的電子可看作是在半徑。-0.52K10&1的軌道JL作勻速圓冏運動，速率1，-2.2K

10scm-sl.求電子在軌道中心所產生的磁感應強度和電子磁矩的值.

解：電子在軌道中心產生的磁感應強度

如題971圖，方向垂直向里，大小為

電子磁矩匕在圖中也是垂直向里，大小為

題971圖題9T2圖

9-12兩平行長直導線相距d=40cm,每根導線載有電流/尸/2=20A,如題9T2圖所示.求:

⑴兩導線所在平面內與該兩導線等距的一點4處的磁感應強度；

(2)通過圖中斜線所示面積的磁通量.(八二口二】Ocm,Z=25cm).

解：⑴%=銬-+上吟-=4xl()-5T方向，紙面向外

242心

22

⑵取面元dS=/dr

9-13一根很長的銅導線載有電流10A,設電流均勻分布.在導線內部作一平面S,如題9T3圖所示.試

計算通過S平面的磁通量(沿導線長度方向取長為1m的?段作計算).銅的磁導率〃=")?

解：由安培環路定律求距圓導線軸為〃處的磁感應強度

題9-13圖

磁通量O=fB=f%"dr=任史=1O'Wb

"J⑷J。2成24萬

9-14設題9T4圖中兩導線中的電流均為8A,對圖示的三條閉合曲線。，〃，c,分別寫出安培環路定理等

式右邊電流的代數和.并討論：

⑴在各條閉合曲線上，各點的磁感應強度月的大小是否相等?

⑵在閉合曲線c上各點的月是否為零?為什么？

解：fBd/"=8g0

Ja

⑴在各條閉合曲線上，各點月的大小不相等.

⑵在閉合曲線C上各點B不為零.只是月的環路積分為零而非每點B=0.

題9-14圖題9-15圖

9T5題9-15圖中所示是一根很長的長直圓管形導體的橫截面，內、外半徑分別為。，〃，導體內載有沿

軸線方向的電流/,且/均勻地分布在管的橫截面上.設導體的磁導率〃乏〃。,試證明導體內部各點

(a<r<b)的磁感應強度的大小由下式給出：

解：取閉合回路/=2次(?</?<b)

則pd/=B2;ir

...

17D\b2-a1)

9-16一根很長的同軸電纜，由一導體圓柱(半徑為。)和一同軸的導體圓管(內、外半徑分別

為A,c)構成，如題9T6圖所示.使用時，電流/從-導體流去，從另一導體流回.設電流都是均勻地分

布在導體的橫截面上，求：(1)導體圓柱內(/<〃)，(2)兩導體之間(。VrVh),(3)導體圓筒內(〃V

r<c)以及(4)電纜外(r>。)各點處磁感應強度的大小

解：=|i()^Z

⑴r<。B2m=--

R2

(2)a<r<bBITCT=

2

r"

(3)Z7<r<cB2"=-//07---7+//0/

c~-b~

(4)r>cB271r=0

題9-i6圖07旺e7---/題9T7圖

9-17在半徑為尺的長直圓柱形導體內部,與軸線平行地挖成一半徑為/"的長直圓柱形空腔，兩軸間距離

為。，且〃>/?,橫截面如題9-17圖所示.現在電流1沿導體管流動，電流均勻分布在管的橫截面上，而電

流方向與管的軸線平行.求：

⑴圓柱軸線上的磁感應強度的大?。?/p>

⑵空心部分軸線，的磁感應強度的大小.

解：空間各點磁場可看作半徑為R,電流乙均勻分布在橫截面上的圓柱導體和半徑為，電流

-%均勻分布在橫截面上的圓柱導體磁場之和.

⑴圓柱軸線上的。點8的大小：

電流"產生的用=0,電流-右產生的磁場

■o_A）//

一廠2處（肥_尸）

⑵空心部分軸線上01點B的大?。?/p>

電流a產生的瑪=。，

電流/,產生的B；=/，，=一呼、

2naR--r22兀（R?-戶）

?R，二〃。.

°2兀（R2-戶）

題9-18圖

9-18如題918圖所示，長直電流/1附近有一等腰直角二角形線樞，通以電流八，二者

共面.求△ABC的各邊所受的磁力.

解:FAB=[\dlxB

…&甯方向垂直相向左

Fzc=￡/2d/"xfi方向垂直4c向下，大小為

同理凡c?方向垂直BC向上，大小

dr

dAt/=^T

L2"cos45°后兀d

B

題9-19圖

9-19在磁感應強度為片的均勻磁場中，垂直于磁場方向的平面內有一段載流彎曲導線，電流為/,如題

9T9圖所示.求其所受的安培力.

解：在曲線上取出

則乙=［咸x月

??,①與8夾角＜d7,四不變，月是均勻的.

2

???Fah=￡/d/XB=/(￡d/)xB=/^xB

方向_1罰向上，大小時-8/%

題9-20圖

9-20如題920圖所示，在K直導線A4內通以電流/|=20A,在短形線圈。口部中通有電流，2=10A,AB

與線圈共面，且CD,E77都與AB平行.已知a=9.0cm,力=20.Ocm,d=1.0cm,求：

⑴導線A8的磁場對矩形線圈每邊所作用的力；

⑵矩形線圈所受合力和合力矩.

解：(1)%)方向垂直8向左，大小

同理戶”?方向垂直尸石向右，大小

戶CF方向垂直C尸向上，大小為

戶m方向垂直EQ向下，大小為

FED=FCF=9.2x10-5N

(2)合力戶=&D十戶FE+&F+戶ED方向向左，大小為

合力矩向=9”X月

???線圈與導線共面

Pm!/B

M=().

題9-21圖

9-21邊長為/=().1m的正三角形線圈放在磁感應強度3=1T的均勻磁場中，線圈平面與磁場方向平行.

如題9-21圖所示,使線圈通以電流/=10A,求：

⑴線圈每邊所受的安培力；

⑵對O。軸的磁力矩大小；

⑶從所在位置轉到線圈平面與磁場垂直時磁力所作的功.

解：(1)以=〃乂月=0

心="x月方向，紙面向外，大小為

Ea="x2方向J.紙面向里，大小

⑵Pm=IS

M=PtnxB沿防方向，大小為

(3)磁力功4=/(。2-/)

J3,2

0,=0?2=5~lB

6

???A=/—/2B=4.33xl()-2J

4

9-22一正方形線圈，由細導線做成，邊長為〃，共有N匝，可以繞通過其相對兩邊中點的一個豎直軸自

由轉動.現在線圈中通有電流/,并把線圈放在均勻的水平外磁場月中，線圈對其轉軸的轉動慣量為，.

求線圈繞其平衡位置作微小振動時的振動周期7.

解：設微振動時線圈振動角度為。(9=<^,B>),則

j2n

由轉動定律/￥二-Mtz2Bsin6?一Nk『B9

aC

z

deNdB八八

--+--------<9=0

dt2J

???振動角頻率

周期

9-23一長直導線通有電流L=20A,旁邊放一導線其中通有電流/2=10A,且兩者共面，如題9-23

圖所示.求導線。〃所受作用力對。點的力矩.

解：在帥上取dr,它受力

向上,大小為

M對0點力矩d/W=>xR

d后方向垂直紙面向外，大小為

題9-24圖

9-24如題9-24圖所示，一平面塑料圓盤，半徑為R,表面帶有面密度為。剩余電荷.假定圓盤繞其軸

線A4'以角速度①（rad-s“）轉動，磁場月的方向垂直于轉軸A4'.試證磁場作用于圓盤的力矩的大小

為M=.（提示：將圓盤分成許多同心圓環來考慮.）

4

解：取圓環d5=2勿dr,它等效電流

等效磁矩

受到磁力矩dA?=dPmxB,方向_L紙面向內，大小為

9-25電子在B=70X107T的勻強磁場中作圓周運動，圓周半徑，=3.0cm.已知與垂直于紙面向外，某

時刻電子在A點，速度E向上，如題9-25圖.

⑴試畫出這電子運動的軌道；

⑵求這電子速度D的大小：

⑶求這電子的動能EQ

題9-25圖

解：（1）軌跡如圖

(2)IevB=m—

v=^^-=3.7xlO7m-s-1

m

216

⑶EK=l/7?v=6.2x10J

9-26一電子在8:20義】0斤的磁場中沿半徑為R=2.Ocm的螺旋線運動，螺距h=5.0cm,如題9-26

圖.

⑴求這電子的速度；

⑵磁場月的方向如何?

八mvcosO

解：(1)???R=----------

eB

.2加〃八

h=-----vcos^題9-26圖

eB

LeBR.eBh.1

v=(-----)2+(------)2=7.57x106ms

AVm2mn

⑵磁場月的方向沿螺旋線軸線.或向上或向下，由電子旋轉方向確定.

9-27在霍耳效應實驗中，一寬1.0cm,長4.0cm,厚1.0X10%m的導體，沿長度方向載有3.0A的電流,

當遨