直線和圓的方程

一、學問導學

1.兩點間的距離公式：不管A(x?y,),B(X2Iyl在坐標平面上什么位置，都有

d=|ABI=J(X]-々I+(y-為(，特殊地，與坐標軸平行的線段的長IAB|=|xz—x11或

IAB|-1yz-y11.

2.定比分點公式:定比分點公式是解決共線三點A(x”y,),B(X2,y2),P(x,y)之間數

量關系的一個公式，其中人的值是起點到分點與分點到終點的有向線段的數量之比.這里起點、分

點、終點的位置是可以隨意選擇的，一旦選定后人的值也就隨之確定了.假設以A為起點，B為終

X]+疝2

x=

1+/1

點，P為分點，那么定比分點公式是<.當P點為AB的中點時,入=1,此時中點坐標

力+加2

1+2

工_一+々

公式是J2

I2

3.直線的傾斜角和斜率的關系

(1)每一條直線都有傾斜角，但不肯定有斜率.

(2)斜率存在的直線，其斜率上與傾斜角a之間的關系是k=tana.

4.確定直線方程須要有兩個相互獨立的條件。直線方程的形式許多，但必需留意各種形式的

直線方程的適用范圍.

名稱方程說明適用條件

k為直線的斜率傾斜角為90°的直線不

斜截式y-kx+b

b為直線的縱截距能用此式

(項),)>0)為直線上的傾斜角為90°的直線不

點斜式y—yo=/-x0)

能用此式

點，女為直線的斜率

y-y,_x-x,(西，,)，(々，力)是直線與兩坐標軸平行的直線

兩點式

不能用此式

>2f"X上兩個點

過(0,0)及與兩坐標

。為直線的橫截距

截距式xy1軸平行的直線不能用此

ahb為直線的縱截距

式

---—色分別

一般式Ax+By+C=OBABA、B不全為零

為斜率、橫截距和縱截距

k-k

5.兩條直線的夾角。當兩直線的斜率占，&2都存在且占?T時，tan0=，~,

\+kxk2

當直線的斜率不存在時，可結合圖形推斷.另外還應留意到：“到角”公式與“夾角”公式的區分.

6.怎么推斷兩直線是否平行或垂直？推斷兩直線是否平行或垂直時，假設兩直線的斜率都存

在，可以用斜率的關系來推斷；假設直線的斜率不存在，那么必需用一般式的平行垂直條件來推

斷.

(1)斜率存在且不重合的兩條直線八：y=/x+6i，I2,y=k2x+b2^有以下結論:

①l、〃"k.2,且bi=bz

②/」/20Al?k2=-1

(2)對于直線Ax+Bu+a=0,12：A2x+B2y+C2=0.當4,A2,8”B2

都不為零時，有以下結論：

?,A,B,

①/I〃/2<=>----=----G

AB]

②Z?_L/2AiA2^BiBz=0

AR

③八與八相交O」片」

A

2B2

ARC

④八與八重合=3=SL=±L

A-,B-,C]

7.點到直線的距離公式.

(1)一點P(鄧,為)及一條直線/：Ax+8y+C=0,那么點P到直線/的距離

|Ax0+By0+CI

'/A2+B￡

AV+B)>+C2之間的距離」/

⑵兩平行直線八：Ax+B+C=0,Z2:=0dG-GI

y1JM+§2

8.確定圓方程須要有三個相互獨立的條件。圓的方程有兩種形式，要知道兩種形式之間的相

互轉化及相互聯系

(1)圓的標準方程：(x—a)2+(y—力2=/，其中(〃，b)是圓心坐標，r是圓的半徑;

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心坐標為

E、wy/D2+E2-4F

~—),半徑為v----------------.

22

二、疑難學問導析

1.直線與圓的位置關系的判定方法.

(1)方法一直線：Ax+By+C=0；圓：X2+y2+Dx+Ey+F=0.

Ax+By+C=O△>0o相交

辿J一元二次方程

，相切

x2+y2+Dx+Ey+F=0△=/?*-4ac

△<0=相離

⑵方法二直線：Ax+By-\-C=0；圓：(x—a/+(y—/?)2=，圓心(a,b)到直線的

距離為

N>ro相離

\Aa+Bb+C\

d=---,-------><d=ro相切

yiA1+B-

d<ro相交

2.兩圓的位置關系的判定方法.

設兩圓圓心分別為。1、。2,半徑分別為廠1,〃2,|。1。2|為圓心距，那么兩圓位置關系如下：

I01。2|>八+r2<=>兩圓外離;

1010,|二八+52<=>兩圓外切；

「1-〃2|〈|0102|〈廠1+r20兩圓相交；

I0Q2l=|r「hlO兩圓內切；

0<|0102|<|r-r2\O兩圓內含.

三、經典例題導講

［例1］直線1經過P(2,3),且在x,y軸上的截距相等，試求該直線方程.

錯解：設直線方程為：？+2=1,又過P(2,3),...2+3=1,求得a=5

abab

直線方程為x+y-5=0.

錯因：直線方程的截距式：匹+上=1的條件是：awo且bWO,此題忽視了a=/?=0這一情形.

ab

3-03

正解：在原解的根底上,再補充這樣的過程:當直線過(0,0)時,此時斜率為:k=

2-02

???直線方程為y二'3x

2

3

綜上可得:所求直線方程為x+y-5二0或尸.

2

［例2］動點P到y軸的距離的3倍等于它到點A(l,3)的距離的平方,求動點P的軌跡方程.

錯解：設動點P坐標為(x,y).由3國=(》—1)-+(y—3)-，

化簡3|A：|=xJ-2x+l+y"-6y+9.

當x》0時得x-5x+y-6y+10=0.①

當x<0時得x2+x+y2-6y+10=0.②

錯因：上述過程清晰點到y軸距離的意義及兩點間距離公式,并且正確應用肯定值定義將方程分類

化簡,但進一步探討化簡后的兩個方程，配方后得

(x-1)、(y-3)2=?①和(x+1)2+(y-3)2=-1②

兩個平方數之和不行能為負數,故方程②的狀況不會出現.

正解：接前面的過程，：方程①化為(x-|)2+(y-3)2=Y,方程②化為(x+段)2+(y-3)?=-：,由

521

于兩個平方數之和不行能為負數，故所求動點P的軌跡方程為：(x-^)2+(y-3)2=Y(x》0)

［例3］m是什么數時，關于x,y的方程(Zm'mT)x?+(m-m+2)y、m+2=0的圖象表示一個圓？

錯解：欲使方程Ax、Cy2+F=0表示一個圓，只要AXW0,

得2m'+mT=m2-m+2,BPm2+2m-3=0,解得mi=l,ni2=-3,

當m=l或m=-3時，x?和『項的系數相等，這時，原方程的圖象表示一個圓

錯因：A=C,是Ax'CyMM)表示圓的必要條件，而非充要條件，其充要條件是：

A=C#O且，＜0.

正解：欲使方程Ax2+C/+F=0表示一個圓，只要A=CW0,

得2m'+mT=m'-m+2,EPm2+2m-3z:0,解得mi=l,m2=-3,

⑴當m=l時,方程為2六+2/=-3不合題意，舍去.

(2)當m=-3時，方程為14x、14y2=l,即x2+y2^^,原方程的圖形表示圓.

[例4]自點A(-3,3)發出的光線L射到x軸上，被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7

=0相切，求光線L所在的直線方程.

錯解：設反射光線為L',由于L和L，關于x軸對稱，L過點A(-3,3),點A關于x軸的對稱點A'

(~3,-3),于是L'過A(-3,-3).

設『的斜率為k,那么設的方程為y-(-3)=k[x-(-3)]?即kx-y+3k-3=0,

圓方程即(x-2)?+(y-2)2=l,圓心。的坐標為(2,2),半徑r=l

因「和圓相切，那么0到L'的距離等于半徑r=l

|2k-2+3k-3||5k-5|

---------—-=]

即7k2+17k2+1

整理得12kJ25k+12=0

44

解得k=§L'的方程為y+3=另(x+3)

即4x-3y+3=0因L和1關于x軸對稱

故L的方程為4x+3y+3=0.

錯因：漏解

正解：設反射光線為L',由于L和L'關于x軸對稱，1.過點A(-3,3),點A關于x軸的對稱點A'

(-3,-3),于是L'過A(-3,-3).

設L'的斜率為k,那么設的方程為y-(-3)=k[x-(-3)],即kx-y+3k-3=0,

圓方程即(x-2)z+(y-2)z=l,圓心0的坐標為(2,2),半徑r=l

因L'和圓相切，那么0到L'的距離等于半徑r=l

|2k-2+3k-3|_|5k-5|

即7k2+17k2+1

整理得12k2-25k+12=0

43

解得k=—或k=—

34

43

V的方程為y+3=—(x+3);或y+3=—(x+3)。

34

即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0

因L和L'關于x軸對稱

故L的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

[例5]求過直線x—2y+4=0和圓Y+/+2x-4y+l=0的交點，且滿意以下條件之一的

圓的方程：

(1)過原點；(2)有最小面積.

解：設所求圓的方程是：x~+y2+2x—4y+1+A(x—2y+4)=0

即：x2+/+(2+A)x-2(2+/l)y+l+4/l=0

(1)因為圓過原點，所以1+42=0,即；1=一2

4

77

故所求圓的方程為：x2+/+-x--y=0.

42

(2)將圓系方程化為標準式，有：

(x+等)+。-2-力2=(卜+|)+：

2

當其半徑最小時，圓的面積最小，此時4=-?為所求.

5

故滿意條件的圓的方程是(x+g)+(y—|)=g.

點評：(i)直線和圓相交問題，這里應用了曲線系方程，這種解法比擬便利；當然也可以待定系

數法。(2)面積最小時即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線與相交弦為直徑時圓面積最小.

[例6](06年遼寧理科)點A(X],yP，B(x2,y2)(凡々*0)是拋物線/=2px(p>0)上的

兩個動點，0是坐標原點，向量OA08滿意IOA+OBI=IQ4—QB|.設圓C的方程為

/+)2一(項+x2)x-(y]+>2)y=0

(1)證明線段AB是圓C的直徑；

2A/5

(2)當圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為一^一時，求p的值.

解：(1)證明IOA+OB|=IOA-OBI,(04+08)2={OA-OB]

整理得：OAOB=0：.+y}y2=0

設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的隨意一點，那么

即(x-Xi)(x-x2)+(^-^)(y-y2)=0

22

整理得:x+y-(x,+x2)x-(y,+y2)y=0

故線段AB是圓C的直徑.

(2)設圓C的圓心為C(x,y),那么

x,+x,

X=--------

2

-2

7

**M=2Pxi，y2-=2px2(/?>0)

22

,12—4P2

又?.?方士+%,2=°'$/=一%為

22

?__必必

?,yvv，2~2

4AP2

；xlx2#0,，y{y2WO

M》2=_4p2

%1+工21/2,2、1/2,2,cx1

X=—^=—(^1+>2)=—(^1+>2+2%必)一「必當

24P4P4P

=—(y2+2p2)

p

所以圓心的軌跡方程為V=px-2p-

設圓心C到直線無一2y=0的距離為d,那么

1,,

.。,I—(y-+2p-)-2yl

=|x_2y|=_p______________=2+/T2|

V5