福建省寧德市福安第六中學2025屆高三下學期入學考試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．2．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個三等分點，則（）A． B． C． D．3．已知等比數列滿足，，則（）A． B． C． D．4．某個小區住戶共200戶，為調查小區居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查，得到本月的用水量(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區內用水量超過15m3的住戶的戶數為()A．10 B．50 C．60 D．1405．對于函數，若滿足，則稱為函數的一對“線性對稱點”．若實數與和與為函數的兩對“線性對稱點”，則的最大值為（）A． B． C． D．6．已知定義在上的函數，，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．7．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．8．函數的大致圖象為A． B．C． D．9．已知復數，則（）A． B． C． D．210．已知雙曲線：，，為其左、右焦點，直線過右焦點，與雙曲線的右支交于，兩點，且點在軸上方，若，則直線的斜率為()A． B． C． D．11．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，，成等差數列，則的離心率為（）A． B． C． D．12．點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內一點M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數滿足（為虛數單位），則復數的實部為____________.14．《易經》是中國傳統文化中的精髓，如圖是易經八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_______.15．在的展開式中，常數項為________.(用數字作答)16．的展開式中的系數為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，平面平面，點為棱的中點．（Ⅰ）在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；（Ⅱ）當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為；直線l的參數方程為（t為參數）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；（2）若點P的極坐標為，，求的值.19．（12分）已知函數f(x）=xlnx，g(x)=,（1）求f(x)的最小值；（2）對任意，都有恒成立，求實數a的取值范圍；（3）證明：對一切，都有成立．20．（12分）在直角坐標系中，已知點，若以線段為直徑的圓與軸相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）若上存在兩動點（A，B在軸異側）滿足，且的周長為，求的值.21．（12分）已知數列為公差不為零的等差數列，是數列的前項和，且、、成等比數列，.設數列的前項和為，且滿足.（1）求數列、的通項公式；（2）令，證明：.22．（10分）已知，.（1）求函數的單調遞增區間；（2）的三個內角、、所對邊分別為、、，若且，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據菱形中的邊角關系，利用余弦定理和數量積公式，即可求出結果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的數量積和余弦定理的應用問題，屬于基礎題.．2、B【解析】

連接、，即可得到，，再根據平面向量的數量積及運算律計算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個三等分點，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B【點睛】本題考查平面向量的數量積及其運算律的應用，屬于基礎題.3、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，選B.4、C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m3的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區內用水量超過15立方米的住戶戶數為，故選C5、D【解析】

根據已知有，可得，只需求出的最小值，根據，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結論.【詳解】依題意知，與為函數的“線性對稱點”，所以，故（當且僅當時取等號）.又與為函數的“線性對稱點，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景，考查指數函數的運算和圖像性質、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達式是解題的關鍵，屬于中檔題.6、D【解析】

先判斷函數在時的單調性，可以判斷出函數是奇函數，利用奇函數的性質可以得到，比較三個數的大小，然后根據函數在時的單調性，比較出三個數的大小.【詳解】當時，，函數在時，是增函數.因為，所以函數是奇函數，所以有，因為，函數在時，是增函數，所以，故本題選D.【點睛】本題考查了利用函數的單調性判斷函數值大小問題，判斷出函數的奇偶性、單調性是解題的關鍵.7、C【解析】

利用代入計算即可.【詳解】由已知，，因為銳角，所以，，即.故選：C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用，考查學生的運算能力，是一道基礎題.8、A【解析】

因為，所以函數是偶函數，排除B、D，又，排除C，故選A．9、C【解析】

根據復數模的性質即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復數模的性質，屬于容易題.10、D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設直線l的方程x＝my+，m＞0，設，，即y1＝﹣3y2①，聯立直線l與曲線C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C：，F1，F2為左、右焦點，則F2（，0），設直線l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線的漸近線方程為x＝±2y，∴m≠±2，設A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯立①②得，聯立①③得，，即：，，解得：，直線的斜率為，故選D．【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題．11、C【解析】

根據等差數列的性質設出，，，利用勾股定理列方程，結合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，，成等差數列，設，，.由于，據勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數列的性質，屬于中檔題.12、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當且僅當時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點睛】本題主要考查平面向量數量積的應用，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用復數的概念與復數的除法運算計算即可得到答案.【詳解】，所以復數的實部為2.故答案為：2【點睛】本題考查復數的除法運算，考查學生的基本計算能力，是一道基礎題.14、【解析】

觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個，還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。【詳解】八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線的一個，全為陰線的一個，1陰2陽的3個，1陽2陰的3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰。∴從8個卦中任取2卦，共有種可能，兩卦中共2陽4陰的情況有，所求概率為。故答案為：。【點睛】本題考查古典概型，解題關鍵是確定基本事件的個數。本題不能受八卦影響，我們關心的是八卦中陰線和陽線的條數，這樣才能正確地確定基本事件的個數。15、【解析】

的展開式的通項為，取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，取得到常數項.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.16、28【解析】

將已知式轉化為，則的展開式中的系數中的系數，根據二項式展開式可求得其值.【詳解】，所以的展開式中的系數就是中的系數，而中的系數為，展開式中的系數為故答案為：28.【點睛】本題考查二項式展開式中的某特定項的系數，關鍵在于將原表達式化簡將三項的冪的形式轉化為可求的二項式的形式，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（Ⅰ）取的中點，連結、，得到故且，進而得到，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（Ⅱ）以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，設，求得平面的法向量為，和平面的法向量，利用向量的夾角公式，求得，進而得到為直線與平面所成的角，即可求解.【詳解】（Ⅰ）在棱上存在點，使得平面，點為棱的中點．理由如下：取的中點，連結、，由題意，且，且，故且.所以，四邊形為平行四邊形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，設，則由題意知，，，，，，設平面的法向量為，則由得，令，則，，所以取，顯然可取平面的法向量，由題意：，所以.由于平面，所以在平面內的射影為，所以為直線與平面所成的角，易知在中，，從而，所以直線與平面所成的角為.【點睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和直線與平面所成角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，通過嚴密推理，明確角的構成，著重考查了分析問題和解答問題的能力.18、（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標方程.由直線的參數方程消去參數，即求直線的普通方程；（2）將直線的參數方程化為標準式（為參數），代入曲線的直角坐標方程，韋達定理得，點在直線上，則，即可求出的值.【詳解】（1）由可得，即，即，曲線的直角坐標方程為，由直線的參數方程（t為參數），消去得，即直線的普通方程為.（Ⅱ）點的直角坐標為，則點在直線上.將直線的參數方程化為標準式（為參數），代入曲線的直角坐標方程，整理得，直線與曲線交于兩點，，即.設點所對應的參數分別為，由韋達定理可得，.點在直線上，，.【點睛】本題考查參數方程、極坐標方程和普通方程的互化及應用，屬于中檔題.19、(1)(2)（(3)見證明【解析】

（1）先求函數導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律確定函數單調性，最后根據函數單調性確定最小值取法；（2）先分離不等式，轉化為對應函數最值問題，利用導數求對應函數最值即得結果；（3）構造兩個函數，再利用兩函數最值關系進行證明.【詳解】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以函數f(x）的最小值為f(）=；（2）因為所以問題等價于在上恒成立，記則，因為，令函數f(x）在（0,1）上單調遞減;函數f(x）在（1，+）上單調遞增；即，即實數a的取值范圍為（.（3）問題等價于證明由（1）知道，令函數在（0,1）上單調遞增；函數在（1，+）上單調遞減；所以{，因此，因為兩個等號不能同時取得，所以即對一切，都有成立.【點睛】對于求不等式成立時的參數范圍問題，在可能的情況下把參數分離出來，使不等式一端是含有參數的不等式，另一端是一個區間上具體的函數，這樣就把問題轉化為一端是函數，另一端是參數的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數法不是萬能的，如果分離參數后，得出的函數解析式較為復雜，性質很難研究，就不要使用分離參數法.20、（1）；（2）【解析】

（1）設，則由題設條件可得，化簡后可得軌跡的方程.（2）設直線，聯立直線方程和拋物線方程后利用韋達定理化簡并求得，結合焦半徑公式及弦長公式可求的值及的長.【詳解】（1）設，則圓心的坐標為，因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以，化簡得的方程為.(2)由題意，設直線，聯立得，設（其中）所以，，且，因為，所以，，所以，故或（舍），直線，因為的周長為所以.即，因為.又，所以，解得，所以.【點睛】本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長計算，還涉及到向量的數量積.一般地，拋物線中的弦長問題，一般可通過聯立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把已知等式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉化為某一個變量的方程.本題屬于中檔題.21、（1）,（2）證明見解析【解析】

（1）利用首項和公差構成方程組，從而求解出的通項公式；由的通項公式求解出的表達式，根據以及，求解出的通項公式；（2）利用錯位相減法求解出的前項和，根據不等關系證明即可.【詳解】（1）設首項為，公差為.由題意，得，解得，∴，∴，∴當時，∴，.當時，滿足上式.∴（2），令數列的前項和為.兩式相減得∴恒成立，得證.【點睛】本題考查等差數列、等比數列的綜合應用，難度一般.（1）當用求解的通項公式時，一定要注意驗證是否成