第=page11頁，共=sectionpages11頁重慶八中2024-2025學年高二（下）第一次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.拋擲同一枚硬幣兩次，若事件A=“至少有一次正面朝上”，則事件A?=A.兩次均正面朝上 B.至多有一次正面朝上

C.兩次均反面朝上 D.至少有一次反面朝上2.甲、乙兩人各拋擲一枚骰子，則兩人拋出的點數之和為4的概率為(

)A.16 B.112 C.1183.函數f(x)=A. B.

C. D.4.兩雙不同的鞋，其中一雙的兩只記為a左，a右.另一雙的兩只記為b左，b右.從中隨機取出2只，記事件A=“取出的鞋不成雙”；A.A包含于B B.P(A?B)=13 5.過原點的直線與f(x)=lnx+A.0 B.1 C.e D.16.正項數列{an}的前n項和為Sn，首項a1=1A.120 B.125 C.57 D.2477.定義在(0,π2)上的函數f(x)A.2f(π6)<f(8.已知橢圓x29+y225=1和雙曲線y2a2?x2b2=1(a>0A.32 B.145 C.52二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.甲，乙兩個體育社團小組成員的某次立定跳遠成績(單位：厘米)如下：

甲組：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263

乙組：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252

則下列說法正確的是(

)A.甲組數據的第75百分位數是255

B.乙組數據的眾數是245

C.從甲、乙兩組各隨機選取一個成員，兩人跳遠成績均在248.5厘米以上的概率為740

D.10.橢圓C：x24+y22=1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在C上，圓O是以橢圓C的短軸為直徑的圓，MN為圓O的一條直徑A.若∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為233

B.若∠F1PF2=90°，則直線PF2被橢圓C截得的弦長為11.定義域為R的函數f(x)的導函數記為g(x)，g(x)的導函數為A.g′(2025)=0 B.f三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，過F傾斜角為45°的直線與C交于13.若函數f(x)=ex+14.(1+mx2)cos四、解答題：本題共5小題，共148分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

記Sn是公差大于0的等差數列{an}的前n項和，a1=1，且a3，a5+1，a13?1成等比數列．

(1)求a16.(本小題100分)

某中學高二年級舉行了一次知識競賽，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績x(單位：分，得分取正整數，滿分為100分)作為樣本進行統計，將成績進行整理后，分為六組(如圖)：

(1)求m的值，并估計本次競賽成績的平均分．

(2)如果用按比例分層抽樣的方法從樣本成績為[70,80)和[80,90)的學生中共抽取6人，再從6人中選2人，求2人中有來自[80,90)組的學生的概率．

(3)某老師在此次競賽成績中抽取了6名學生的分數：x1，x2，x17.(本小題12分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長均相等，D，E，F，G是棱AC，CC1，B1C1，AA1的中點，C1D18.(本小題12分)

已知函數f(x)=lnx+x2+ax，a∈R．

(1)求f(x19.(本小題12分)

雙曲線Ei：25x2?my2=ai2(ai>0,i=1,2,?,n)的離心率為414，斜率為k1的直線l1和斜率為k2的直線l2均過原點，且分別與E1，E2，?，En的右支交于點A1，A2，?，An和點B1，B2，?，Bn．

(1)求實數m的值；

(2)作斜率為k的過原點的直線l答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因為事件A=“至少有一次正面朝上”，

所以事件A?=“兩次均反面朝上”，故C正確，ABD錯誤．

故選：C．

2.【答案】B

【解析】解：因為甲、乙兩人各拋擲一枚骰子，所以共有6×6=36種情況，

點數之和為4的有(1,3)，(2,2)，(3,13.【答案】B

【解析】解：對于f(x)=2x?3ex(x?1)，有f(0)=0?3e0(0?1)=3>0，當x>32時，f(x)>0恒成立，

對于A4.【答案】D

【解析】解：A包含：a左，b右；a左，b左；a右，b右；a右，b左；

B包含：a左，b左；a右，b右；

隨機取出2只，所有可能結果：a左，a右；b左，b右；a左，b右；a左，b左；a右，b右；a右，b左；

A?包含：a左，a右；b左，b右；

對于A：A包含B5.【答案】A

【解析】解：因為f(x)=lnx+2，g(x)=ex+a，

所以f′(x)=1x，g′(x)=ex，

因為切線方程過原點，所以設切線方程為y=kx，

且設y=kx和f(x)=lnx+2的切點為(x0,lnx0+2)，

所以由導數的幾何意義得k=f′(x0)=1x0，

6.【答案】A

【解析】解：因為f(x)=x3+an+1x2+(an+12)2x，

所以f(x)=x[x2+an+1x+(an+12)2]，而f(0)=0，

因為函數f(x)=x3+an+1x2+(an+12)2x有且僅有兩個零點，

則方程x7.【答案】C

【解析】解：由于x∈(0,π2)，因此cosx>0，sinx>0，

根據f(x)>f′(x)tanx，可得f(x)>f′(x)×sinxcosx，

那么f(x)cosx>f′(x)sinx，所以f(x)cosx?f′(x)sinx>0，

設函數F(x)8.【答案】B

【解析】解：橢圓x29+y225=1和雙曲線y2a2?x2b2=1(a>0,?b>0)有公共焦點F1，F2(F1為上焦點)，橢圓與雙曲線在第一象限交于點P，

如圖所示，設雙曲線的實軸長為2a，由題意：F1(0,4)，F2(0,?4)，

不妨令|PF19.【答案】BC【解析】解：對于選項A，因為12×75%=9，

所以第75百分位數為254+2552=254.5，故A錯誤；

對于選項B，我們發現245出現了2次，其它數據只出現了1次，

則乙組數據的眾數是245，故B正確；

對于選項C，甲組中跳遠成績在248.5厘米以上的有7人，其概率為712，

乙組中跳遠成績在248.5厘米以上的有3人，其概率為310，

由獨立事件概率公式得所求概率P=712×310=740，故C正確；

對于選項D，甲組的平均成績為244+245+245+246+248+251+25110.【答案】AD【解析】解：因為橢圓C：x24+y22=1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在C上，

圓O是以橢圓C的短軸為直徑的圓，MN為圓O的一條直徑(M在第一象限)，直線PN與圓O的另一個交點為R，

所以a=2，b=2，c=2，所以F1(?2,0)，F2(2,0)，

對于A，因為P在橢圓上，所以|PF1|+|PF2|=4，

而|PF1|2+|PF2|2?2|PF1||PF2|∠F1PF2=|F1F2|2，即|PF1|2+|PF2|2?|PF1||PF2|=8，

則(|PF1|+|PF2|)2?3|PF1||PF2|=8，得42?3|PF1||PF2|=8，故|PF1||PF2|=83，

所以S△F1PF2=12|PF1||PF2|∠F1PF2=12×83×32=233，故A正確；

對于B，若∠F1PF2=90°，則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8，

又|PF1|+|11.【答案】AC【解析】解：因為f(34+2025x)?2025x為偶函數，

所以f(34?2025x)+2025x=f(34+2025x)?2025x，

故f(34+2025x)?f(34?2025x)=4050x，

兩邊同時求導得：2025g(34+2025x)+2025g(34?2025x)=4050，

即g(34+2025x)+g(34?2025x)=2，

所以g(x)的圖象關于(34,1)對稱，

繼續求導，得2025g′(34+2025x)?2025g′(34?2025x)12.【答案】2

【解析】解：由拋物線的方程可得焦點F(p2,0)，

由題意可得直線AB的方程為：y=x?p2，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯立y2=2pxy13.【答案】(1【解析】解：因為f(x)=ex+1?a(x+2)，所以f′(x)=ex+1?a，

當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在R上單調遞增，不可能有兩個零點，

當a>0時，令f′(x)14.【答案】(?【解析】解：根據題意：m≤1?cosxx2cosx對?x∈[0,π2)恒成立，

設函數f(x)=1?cosxx2cosx，那么導函數f′(x)=2cos2x?2cosx+xsinxx3cos2x，

設函數g(x)=2cos15.【答案】an=n；Sn=【解析】解：(1)設等差數列{an}的公差為d，則d>0，

因為a3，a5+1，a13?1成等比數列，

所以(1+4d+1)2=(1+2d)×(1+12d?1)，

解得d=1或d=?12(舍)，

所以an=1+n16.【答案】m=0.015；69；

35；

【解析】解：(1)根據題意可得10×(0.010+m+0.025+0.030+m+0.005)=1，解得m=0.015，

所以平均數估計為x?=10×(0.010×45+0.015×55+0.025×65+0.030×75+0.015×85+0.005×95)=69分；

(2)若從樣本成績為[70,80)和[80,90)的學生中共抽取6人，

且成績在[70,80)的人數為6×0.30.3+0.15=4人，

在[70,80)的人數為6×0.150.3+0.15=2人，

即從[70,80)的學生中取4人，從[80,90)中取2人，

設這6名學生分別為1，2，3，4，5，6，2人中有來自[80,90)組的學生的概率為P，

則基本事件為(1,2)，(117.【答案】證明見解析；

154【解析】(1)證明：因為三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長均相等，

所以不妨設棱長為4，則AB=AC=BC=CC1=A1C1=4，

得到△ABC是等邊三角形，因為D是AC的中點，

所以DB⊥AC，且C1D⊥平面ABC，

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，

因為C1D⊥平面ABC，所以C1D⊥AC，

因為D，E，F，G是棱AC，CC1，B1C1，AA1的中點，

所以CD=2，而CC1=4，由勾股定理得C1D=23，

同理可得BD=23，則B(23,0,0)，C(0,?2,0)，C1(0,0,23)，D(0,0,0)，

A(0,2,0)，A1(0,4,23)，由中點坐標公式得E(0,?1,3)18.【答案】a≥?22時，單調增區間是(0,+∞)，無減區間；

當a<?22【解析】解：(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=1x+2x+a=2x2+ax+1x，

令g(x)=2x2+ax+1，x>0，對稱軸為：x=?a4，

當x=?a4>0時，即a<0，

若Δ=a2?8≤0，即?22≤a<0，此時g(x)>0，即f′(x)>0恒成立，

此時f(x)的單調增區間是(0,+∞)，無減區間；

若Δ=a2?8>0，即a<?22，拋物線開口向上，與x軸有兩個交點；

令2x2+ax+1=0，可得：0<x1=?a?a2?84<x2=?a+a2?84，

此時在(0,?a?a2?84)，g(x)>0，即f′(x)