2024-2025學年湖南省耒陽市高一下學期3月聯考數學檢測試題注意事項：1.答題前，考生務必將自已的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊（30%），第二冊第六章（70%）.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據平面向量的加法運算及數乘運算可得結果.【詳解】由題意得，.故選：B.2.已知集合，則集合中的元素個數是（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】C【分析】根據指數函數與對數函數的性質，結合交集的概念可得結果.【詳解】由題意得，，∵對數函數在上為增函數，∴，即，∴，∴集合中的元素個數是4.故選：C.3.已知平面向量，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用向量垂直時數量積為0，結合對數的運算性質可得結果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：B.4.已知向量，且的夾角為銳角，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據夾角公式判斷出，同時需排除兩向量同向共線的情況.【詳解】由夾角公式，的夾角為銳角，即，即，解得；當共線時，，解得，此時滿足，此時兩向量夾角為，于是的夾角為銳角時，.故選：A5.已知某觀賞漁場有三個觀賞亭，觀賞亭位于觀賞亭的東北方向且它們之間的距離為，觀賞亭位于觀賞亭的北偏西方向且它們之間的距離為，則觀賞亭與觀賞亭之間的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據方位角可得，利用余弦定理計算可得結果.【詳解】由題意得，，.由余弦定理得，，∴.故選：C.6.某企業研發一款新產品，計劃第一年投入研發經費10萬元，此后每年投入的研發經費比上一年增長.若第年投入的研發經費首次超過20萬元，則（）（參考數據：）A.4 B.5 C.7 D.8【正確答案】B【分析】依題意可得第年投入的研發經費為萬元，令，根據指數函數的性質及對數的運算性質求出的取值范圍，即可得解.【詳解】依題意可得第年投入的研發經費為萬元，令，即，所以，所以，又，所以的最小值為，即第年投入的研發經費首次超過20萬元.故選：B7.若向量滿足，且向量與向量的夾角為，則的最大值是（）A. B.40 C.64 D.【正確答案】D【分析】根據題意，設，結合向量的坐標運算，再由三角函數的性質即可得到最值.【詳解】因為，且向量與向量的夾角為，設，其中，則，其中，因為，當時，有最大值.故選：D8.已知，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】D【分析】將原式化為，再利用基本不等式求解即可.【詳解】解：因為，當且僅當，即時，等號成立，又因為，當且僅當，即時，等號成立，綜上，的最小值為4，此時.故選：D.關鍵點睛：解答的本題的關鍵是將原式化為.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量和均不共線，且，則向量可以是（）A.B.C.D.【正確答案】AC【分析】根據條件可得不共線，結合共線向量的坐標表示可得結果.【詳解】由題意得，不共線.A.∵，∴不共線，A正確.B.∵，∴，故為共線向量，B錯誤.C.∵，∴不共線，C正確.D.∵，∴，故為共線向量，D錯誤.故選：AC.10.若函數，則下列判斷正確的是（）A.是減函數B.在上的最小值為C.若均為正整數，則為有理數D.若在上有零點，則的取值范圍為【正確答案】BCD【分析】由函數單調性性質即可判斷AB，代入計算即可判斷C，由在上有零點可得，即可判斷D.【詳解】對于A，因為在單調遞增，在單調遞增，所以在單調遞增，故A錯誤；對于B，由A可知在單調遞增，則，故B正確；對于C，因為，且均為正整數，則為有理數，故C正確；對于D，由A可知，在單調遞增，由在上有零點，可得，即，解得，所以的取值范圍為，故D正確；故選：BCD11.已知函數的最小正周期為，則下列結論正確的是（）A.B.的圖象關于直線對稱C.的值域為D.上單調遞減【正確答案】ABD【分析】首先得到，即可求出函數的最小正周期，求出，即可判斷A，再由判斷B，求出函數在上的值域，即可判斷C，結合函數解析式及正弦函數的性質判斷D.【詳解】對于A：因為因為函數的最小正周期為；則函數的最小正周期為，所以的最小正周期為，所以，則，此時，則，符合題意，故A正確；對于B：因為，則，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；對于C：因為的最小正周期為，所以只需研究函數在上的值域即可，當，則，此時，則，所以，所以；即的值域為，故C錯誤；對于D：當時，則，因為在上單調遞減，所以在上單調遞減，故D正確.

故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是__________.【正確答案】【分析】利用投影向量的概念求解即可.【詳解】∵向量，，則，，所以在向量方向上的投影向量為.故答案為.13.在中，，則__________.【正確答案】【分析】根據題意，由向量的線性運算可得，再由向量的數量積運算，代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，所以，則，所以，即故14.已知函數是定義在上的偶函數，且，當時，，則當時，__________.【正確答案】【分析】首先根據函數的奇偶性可得，結合可知函數是周期為4的周期函數.再根據當時的函數解析式，利用周期性和奇偶性即可求解.【詳解】∵函數是定義在上的偶函數，.又，.以代替可得，∴函數是周期為4的周期函數.當時，.∵當時，，∴.由周期性可得，.故答案為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足.（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求向量的坐標.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）根據題意，由向量的模長公式代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，設，然后列出方程，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】因為，且向量的夾角為，則，則.【小問2詳解】設，因為，且，則，解得或，所以或.16.如圖，在梯形中，，.（1）若，求；（2）若，求外接圓的半徑；（3）若，且，證明：只有一解.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）在中利用正弦定理計算可得；（2）首先求出，再由正弦定理計算可得；（3）首先利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，最后利用余弦定理求出.【小問1詳解】在中由正弦定理，即，所以；【小問2詳解】因為，所以，又，設外接圓的半徑為，則，所以，即外接圓的半徑為；【小問3詳解】因為，，且，在中由余弦定理，即，解得或（舍去），所以，在中由余弦定理，所以，所以只有一解.17.已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.①若，求的值；②若對任意的恒成立，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）①；②【分析】（1）根據得，利用結合函數周期得，由此可得函數解析式.（2）①求出函數的解析式，利用二倍角公式及同角三角函數的關系可得，的值，根據兩角和的余弦公式可得結果.②求出的值域，條件轉化為，由此可得結果.【小問1詳解】由得，，∵，∴，.由得，，∴，故，設函數的最小正周期為，由圖象得，，∴，故，∴.【小問2詳解】①由題意得，.∵，∴，，∴.②∵，∴，∴，故.∵對任意的恒成立，∴恒成立，即，∴，即，∴的取值范圍是.18.在平行四邊形中，與交于點.（1）若，求；（2）已知.①若為的重心，求；②若為線段上一動點，求的最小值.【正確答案】（1），（2）①；②【分析】（1）根據平面向量線性運算法則及平面向量基本定理計算可得；（2）①以、為基底，表示出、，再根據數量積的運算律計算可得；②設，以、為基底，表示出、，再根據數量積的運算律及二次函數的性質計算可得.【小問1詳解】依題意，設，因為，所以，因為、、三點共線，設，因、不共線，所以，解得，所以，又，所以；【小問2詳解】①因為，所以，因為為的重心，所以，所以.②因為，又為線段上一動點，設，所以，，所以，所以當時取得最小值.19.在銳角三角形中，角的對邊分別為，已知.（1）比較與的大小；（2）求的取值范圍；（3）若，且，求的內切圓半徑.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用反證法來進行推理即可得到結論；（2）利用等腰三角形三線合一，轉化為直角三角形中余弦函數的邊角關系，即可求解；（3）利用等腰三角形中角的關系去求解關于的三次方程，再用等面積法求內切圓半徑即可.【小問1詳解】由，可得：,,假設，在銳角三角形中，結合余弦函數