2024-2025學年廣東省中山市高二下學期3月月考數學質量檢測試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．已知函數的導函數為，且，則（

）A．2 B．1 C．8 D．42．已知物體的位移（單位：m）與時間（單位：s）滿足函數關系，則物體在時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．3．若曲線的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為（

）A．1 B． C． D．4．設函數的導函數為，若，則=（

）A． B． C． D．5．某話劇有5名女演員和2名男演員，演出結束后，全體演員站成一排登臺謝幕，若2名男演員不相鄰，則不同的排法有（

）A．3600種 B．2400種 C．360種 D．240種6．已知函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）.A． B．C． D．7．已知函數在處有極值8，則等于（

）A． B．16 C．或16 D．16或188．已知函數在上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.選對部分得部分分，有錯選得0分）9．下列求導正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．函數的定義域為，導函數在內的圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．函數在內一定不存在最小值 B．函數在內只有一個極小值點C．函數在內有三個極大值點 D．函數在內可能沒有零點11．已知函數，則（

）A．曲線在點處的切線方程是B．函數有極大值，且極大值點C．D．函數有兩個零點三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12．13．第40屆濰坊國際風箏會期間，某學校派人參加連續天的志愿服務活動，其中甲連續參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有.（結果用數值表示）14．已知函數在區間上不單調，則m的取值范圍是.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（本題滿分13分）已知曲線.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線過點的切線方程.（本題滿分15分）用0，1，2，3，4這五個數字組成沒有重復數字的五位數(1)在組成的五位數中，所有偶數有多少個？(2)在組成的五位數中，大于31000的數有多少個？(3)在組成的五位數中，數字2和數字4不相鄰的數有多少個？17.（本題滿分15分）茶起源于中國，盛行于世界，是承載歷史文化的中國名片．武夷山，素有茶葉種類王國之稱，茶文化歷史久遠，茶產業生機勃勃．2021年3月22日下午，他來到福建武夷山星村鎮燕子窠生態茶園考察．他強調，過去茶產業是你們這里脫貧攻堅的支柱產業，今后要成為鄉村振興的支柱產業．3月25日，人民論壇網調研組一行循著此次來閩考察的足跡，走訪了福建武夷山．調研組了解到某茶葉文化推廣企業研發出一種茶文化的衍生產品，十分的暢銷．據了解，該企業年固定成本為50萬元，每生產百件產品需增加投入7萬元．在2021年該企業年內生產的產品為x百件，并能全部銷售完．據統計，每百件產品的銷售收入為萬元，且滿足．（1）寫出該企業今年利潤關于該產品年銷售量x百件的函數關系式；（2）今年產量為多少百件時，該企業在這種茶文化衍生產品中獲利最大？最大利潤多少？18.（本題滿分17分）已知函數．(1)當時，求函數的單調遞減區間；(2)求函數在上的最小值．19.（本題滿分17分）已知函數，，.(1)證明.(2)討論函數在上的零點個數.(3)當，時，證明：，.答案題號12345678910答案DABCAAACACBD題號11答案AB1．D【分析】根據導數的定義直接計算即可.【詳解】由題意得，所以．故選：D.2．A【分析】根據瞬時速度含義，求導運算即可.【詳解】因為物體的位移（單位：m）與時間（單位：s）滿足函數關系，所以，令，得.故選：A3．B【分析】設出切點橫坐標，求導，通過斜率得出橫坐標方程，可得結果.【詳解】設切點的橫坐標為，則，則（舍去）.故選:B.4．C【分析】對函數求導后，令即可求解.【詳解】因為，所以，令，則，解得.故選：C.5．A【分析】利用插空法，先排女演員，再讓男演員插空排列.【詳解】先將5名女演員排成一排，再將2名男演員插空進去，共有種排法．故選：A.6．A【分析】由的圖象得到的單調性，從而得到的正負，即可得解.【詳解】由的圖象可知，在和上單調遞增，在上單調遞減，則當時，時，時，所以不等式的解集為.故選：A7．A【分析】求導，即可由且求解，進而代入驗證是否滿足極值點即可.【詳解】，若函數在處有極值8，則且，即，解得：或，當時，，此時不是極值點，故舍去，當時，，當或時，，當，故是極值點，故符合題意，故，故，故選：A8．C【分析】根據區間單調性得對任意恒成立，即，利用導數研究右側單調性，進而求參數a的范圍.【詳解】因為函數在上是單調遞增函數，所以對任意恒成立，所以，令，則，所以在內為減函數，所以，則．故選：C9．AC【分析】根據基本初等函數的導數公式，導數的四則運算法則，簡單復合函數的導數對選項逐一分析即可得到答案．【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤．故選：AC．10．BD【分析】對AB，設的根為，且，進而分析函數的單調性與極值和最值即可；對C，根據導數確定原函數的極值點即可；對D，利用特殊值判斷即可.【詳解】對于AB，設的根為，且，則由圖可知，當時，當時，當時，當時，所以函數在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增，在內單調遞減，所以函數在區間內有極小值，當時，是函數在區間內的最小值，所以A錯誤，B正確；對于C，函數在區間內有極大值，即函數在內有兩個極大值點，所以C錯誤；對于D，當時，函數在內沒有零點，所以D正確．故選：BD．11．AB【分析】對于A，求出即可驗算；對于B，設，通過導數發現的單調性，進一步結合零點存在定理即可判斷；對于C，由B選項結論即可判斷；對于D，由零點的定義即可判斷.【詳解】對于A，，所以，所以在點處的切線方程是，即，故A正確；對于B，設，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，令，則，所以，而，由零點存在定理可知的零點，即函數有極大值，且極大值點，故B正確；對于C，由以上分析可知在單調遞減，且，所以，故C錯誤；對于D，，所以只有唯一的一個零點即.故選：AB.關鍵點點睛：判斷B選項的關鍵是構造函數，通過求導來得出其函數性質，由此即可順利得解.12．/【分析】根據排列數的運算直接求解即可.【詳解】.故答案為.13．【分析】首先考慮甲連續天的情況，再其余人全排列，按照分步乘法計數原理計算可得.【詳解】在天里，連續天的情況，一共有種，則剩下的人全排列有種排法，故一共有種排法．故．14．【分析】即導函數在在區間內有零點.【詳解】由題意知，因為在區間上不單調，即在區間有零點，又，即為的零點在區間內，所以解得，即m的取值范圍是．故15．(1)(2)和【分析】（1）先利用導數求出在處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，利用點斜式即可得到切線方程；（2）設過點的切線與曲線相切于點，然后根據曲線在點處切線的切線方程，求出切點坐標，從而可求出結果．【詳解】（1）由題意得，則在點處的切線的斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）設曲線與過點的切線相切于點，設切線的斜率為，則由點斜式得直線方程為，又因為切點為，則，解得或，則曲線過點處的切線方程為和.16．(1)60(2)42(3)60【分析】（1）根據當末位是0和末位是2或4，結合分類計數原理，即可求解；（2）分萬位是4、萬位為3千位為2,4和萬位為3千位為1，結合分類計數原理，即可求解；（3）先排0,1,3，根據0排在三個數的第一位和0不排在三個數的第一位，結合分類計數原理，即可求解.【詳解】（1）解：根據題意，當末位是0共有個，當末位是2或4共有個,所以共有偶數為個.（2）解：由題意，萬位是4共有個，萬位為3千位為2或4共有個，萬位為3千位為1共有個，所以大于31000的數共有個.（3）解：先排0,1,3,第一種：0排在三個數的第一位，共有個；第二種0不排在三個數的第一位，共有個所以數字2和4不相鄰的數共有個.17．（1）；（2）當年產量為1百件，最大利潤為25萬元.【分析】（1）由題意得可得，代入化簡，即可得答案.（2）由（1）得，，利用導數求得的單調性及最值，分析整理，即可得答案.【詳解】解：（1）依題意得：（2）由（1）得，，則，令，得或（舍去）當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，有答：當年產量為1百件時，該企業在這種茶文化衍生產品中獲利最大且最大利潤為25萬元．18．(1)(2)【分析】（1）當時，利用函數的單調性與導數的關系可求出函數的單調遞減區間；（2）對實數的取值進行分類討論，利用導數分析函數在上的單調性，即可求得函數在上的最小值.【詳解】（1）當時，，該函數的定義域為，則，由得，所以，函數的單調遞減區間為.（2），其中，當時，對任意的，，在上單調遞增，此時，；當時，對任意的，，在上單調遞減，此時，；當時，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，此時，.綜上所述，.19．(1)證明見解析(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導，即可根據函數的單調性求解最值得解，（2）求導，對分奇偶，根據函數的單調性求解，（3）根據（2）的結論可得，將問題轉化為證明，根據（1）的結論可得，即可利用對數的運算性質化簡求解.【詳解】（1）因為，，所以.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，從而，則.（2）因為，，所以，當時，，當時，，故，當為奇數時，在上恒成立，則在上單調遞減，因為，，所以在上的零點個數為1.當為偶數時，，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，從而，所以在上的零點個數為0.綜上可得：當為奇數時，在上的零點個數為1，當為偶數時，在上的零點個數為0.（3）由（2）可知，當，時，要證，，即證，即證，即證，即證.由（1）可知，，當且僅當時，等號成立.令，可得，故從而，.方法點睛：1.導函數中常用