2024-2025學(xué)年江蘇省東臺(tái)市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.（）A.2 B.22 C.12 D.10【正確答案】A【分析】根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.2已知向量，，若，則（）A. B.2 C. D.1【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由向量共線列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可設(shè)，即，即，解得，所以.故選：A3.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含的項(xiàng)系數(shù)是（）A.132 B.240 C.480 D.196【正確答案】B【分析】利用二項(xiàng)式定理的原理分析取得的方式，就可求出其系數(shù).【詳解】可以看成6個(gè)因式相乘，要得到，只需兩個(gè)因式取，其他4個(gè)因式取常數(shù)即可，所以的系數(shù)為.故選：B4.已知空間中，點(diǎn)，則平面的一個(gè)法向量為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意求出、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，利用法向量與平面垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由題，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得.故選：B5.現(xiàn)從6名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，則不同選派方案的種數(shù)是（）A.20 B.90 C.120 D.240【正確答案】C【分析】根據(jù)排列可求不同的選派方案的種數(shù).【詳解】共有種不同的選派方案．故選：C.6.已知平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為，，則對(duì)角線的長(zhǎng)為（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，可得的表達(dá)式，兩邊平方即可求得.【詳解】由已知：平行六面體所有棱長(zhǎng)均為，，則，又因?yàn)椋海砜傻茫海瑒t，則.故選.7.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬.在陽(yáng)馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（）A. B.4 C.2 D.3【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求.【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建系如圖，設(shè)，因?yàn)椋裕O(shè)異面直線與所成角為，則，解得，即.故選：B.8.地圖涂色是一類(lèi)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個(gè)區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（）種.A.84 B.72 C.48 D.24【正確答案】A【分析】先將區(qū)域分為上下左右，再分上下顏色相同與不同，最后用分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】將圖形區(qū)域氛圍上下左右，若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有種；若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有種，所以共有種，故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）9.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則、、、四點(diǎn)共面C.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線D.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底【正確答案】AD【分析】利用空間向量共面的概念可判斷A選項(xiàng)；利用共面向量的推論可判斷B選項(xiàng)；利用線面位置關(guān)系與空間向量的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)；利用空間向量基底的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若、、、四點(diǎn)共面，則存在、，使得，則對(duì)空間中任意一點(diǎn)，，可得，且，因?yàn)椋遥裕ⅰⅰ⑺狞c(diǎn)不共面，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋矗驶颍珻錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)、、共面，則存在、，使得，所以，，則、、共面，與題設(shè)矛盾，故也是空間的一個(gè)基底，D對(duì).故選：AD.10.在10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（）A.抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種C.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種D.抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種【正確答案】ACD【分析】抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為不合格品1件、合格品2件，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知A正確，B錯(cuò)誤；抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分兩種做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分類(lèi)計(jì)數(shù)法求解.（ⅱ）總的取法數(shù)減去抽取的三件都為合格品的取法即為所求.由此判斷CD正確【詳解】解：由題意得：對(duì)于A、B選項(xiàng)：抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法為3件不合格品中抽取1件有種取法，7件合格品種抽取2件有種取法，故共有中取法，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法分三種情況：①抽取的3件產(chǎn)品中有1件不合格、有2件合格，共有種取法；②抽取的3件產(chǎn)品中有2件不合格、有1件合格，共有種取法；③抽取的3件產(chǎn)品都不合格，種取法.故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：10件產(chǎn)品種抽取三件的取法有，抽出的3件產(chǎn)品中全部合格的取法有種，抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故D正確.故選：ACD11.若，則下列正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】利用賦值法計(jì)算可判斷A錯(cuò)誤，BC正確，對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式兩邊同時(shí)求導(dǎo)并令計(jì)算可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A：令，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，故B正確；對(duì)于C：令，則，故C正確；對(duì)于D，由，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，令，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.若，則______.【正確答案】或【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t或，且，解得或.故或.13.已知直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)___________.【正確答案】【分析】取直線的一個(gè)單位方向向量為，由點(diǎn)到直線的距離公式為，代入運(yùn)算，即可得解．【詳解】由題意知，直線的一個(gè)方向向量為,0,，取直線的一個(gè)單位方向向量為，又為直線外一點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn),2,，，,,，，點(diǎn)到直線的距離為．故．14.書(shū)架上某一層有本不同的書(shū)，新買(mǎi)了本不同的書(shū)插進(jìn)去，要保持原來(lái)本書(shū)的順序不變，則不同的插法種數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)字作答）【正確答案】【分析】原問(wèn)題等價(jià)于將本書(shū)放在書(shū)架上，保持原來(lái)的本書(shū)順序不變，結(jié)合倍縮法即可得解.【詳解】原問(wèn)題等價(jià)于將本書(shū)放在書(shū)架上，保持原來(lái)的本書(shū)順序不變，由倍縮法可知，不同的插法種數(shù)為種.故答案為.四、解答題（本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和驗(yàn)算步驟.）15.（1）解不等式；（2）計(jì)算：；（結(jié)果用數(shù)字表示）【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于的不等式，可解出的可能取值，再結(jié)合排列數(shù)公式可解出的值；（2）利用組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】（1）對(duì)于不等式，有，可得，因?yàn)椋裕矗傻茫獾?又因?yàn)椋獾茫唬?）由題意可知：.16.如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點(diǎn)，已知，.（1）求到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）推導(dǎo)出，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離；（2）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.小問(wèn)1詳解】，，，，.由直三棱柱中，底面，、底面，，.以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，設(shè)平面的法一個(gè)向量為，則，令，則，，所以，設(shè)到平面的距離為，則.【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，可得，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法數(shù).（1）全體站成一排，甲、乙不在兩端；（2）全體站成一排，男生站一起、女生站在一起；（3）全體站成一排，男生彼此不相鄰.【正確答案】（1）2400（2）288（3）1440【分析】（1）特殊元素優(yōu)先排求解；（2）利用捆綁法求解；（3）利用插空法求解.【小問(wèn)1詳解】先在中間五個(gè)位置選兩個(gè)位置安排甲，乙，然后剩余5個(gè)人在剩余五個(gè)位置全排列，所以有種.【小問(wèn)2詳解】相鄰問(wèn)題，利用捆綁法，共有種.【小問(wèn)3詳解】即不相鄰問(wèn)題，先排好女生共有種排法，男生在5個(gè)空中安插，共有種排法，所以共有種.18.已知的展開(kāi)式的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，可列出關(guān)于的方程再求解；（2）結(jié)合展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得出指數(shù)的表達(dá)式，令其為零即可求解；（3）由結(jié)合數(shù)列的最值列出的不等式組，解得的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】依題意可得第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，所以，即，則，或（舍去）；【小問(wèn)2詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，所以常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)60.【小問(wèn)3詳解】系數(shù)的絕對(duì)值為，則所以，即，，所以，因此，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，，平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）證明：若，則直線平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）（3）存在，或【分析】（1）利用面面平行證明線面平行；（2）利用坐標(biāo)法求二面角余弦值，在求解該角的正弦值；（3）設(shè)，可表示點(diǎn)與，再根據(jù)線面夾角向量法求得即可.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，在線段上取一點(diǎn)，使，連接，因?yàn)椋瑒t,所以，又平面，平面，所以平面，又，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫矫嫠栽谄矫鎯?nèi)一定存在一條直線與直線平行，所以平面.【小問(wèn)2詳解】如圖所示