【講練課堂】2022-2023學年九年級數學上冊尖子生同步培優題典【人教版】專題24.1圓【名師點睛】圓的認識（1）圓的定義定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O點為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合．（2）與圓有關的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點的線段叫弦，經過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優弧，小于半圓的弧叫做劣弧．（3）圓的基本性質：①軸對稱性．②中心對稱性．【典例剖析】【考點1】圓的有關概念【例1】（2020·廣東·惠州市惠陽區第一中學九年級期中）下列判斷正確的個數有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長度相等的兩條弧一定是等弧；③半徑相等的兩個圓是等圓；④弧分優弧和劣弧；⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等弧．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】①直徑是圓中最大的弦；故①正確，②同圓或等圓中長度相等的兩條弧一定是等弧；故②不正確③半徑相等的兩個圓是等圓；故③正確④弧分優弧、劣弧和半圓，故④不正確⑤同一條弦所對的兩條弧可位于弦的兩側，故不一定相等，則⑤不正確．綜上所述，正確的有①③故選B【點睛】本題考查了圓相關概念，掌握弦與弧的關系以及相關概念是解題的關鍵．【變式1】（2021·廣東·廣州市番禺區市橋橋城中學九年級期中）下列說法：①直徑是最長的弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等弧；⑤半徑相等的兩個圓是等圓；其中說法正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用圓的有關定義及性質分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：①直徑是最長的弦，正確，符合題意；②直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；④長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；⑤半徑相等的兩個圓是等圓，正確，符合題意，故選：C．【點睛】此題考查了圓的有關定義及性質，解題的關鍵是熟練掌握圓的有關定義及性質．【考點2】弦的認識【例2】（2021·湖南·長沙縣安沙鎮楊梓中學九年級期中）如圖，已知A，B，C，D四點都在⊙O上，則⊙O中的弦的條數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據弦的定義求解即可．【詳解】解：根據弦的定義可知，AB、CD和BD都是圓的弦，所以⊙O中的弦的條數為3，故選：B．【點睛】本題考查了弦的定義：連接圓上任意兩點的線段叫圓的弦．【變式2】（2021·山東日照·九年級期中）已知⊙O中，最長的弦長為16cm，則⊙O的半徑是（

）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm【答案】B【分析】根據直徑是圓中最長的弦即可得到答案．【詳解】解：∵⊙O中，最長的弦長為16cm，即直徑為16cm，∴⊙O的半徑是8cm，故選：B．【點睛】此題考查了圓的弦的定義及理解圓中最長的弦，正確理解直徑是圓中最長的弦是解題的關鍵．【考點3】圓中的最值問題【例3】．（2021·浙江金華·九年級期中）點A，B的坐標分別為A(4，0)，B(0，4)，點C為坐標平面內一點，BC﹦2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（

）A．22＋1 B．22＋2 C．42＋1 D．42-2【答案】A【分析】根據同圓的半徑相等可知：點C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點時，OM最小，在DB的延長線上時，OM最大，根據三角形的中位線定理可得結論．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標平面內一點，BC=2，∴C在⊙B上，且半徑為2，取OD=OA=4，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是ΔACD的中位線，∴OM=1當OM最大時，即CD最大，而D，B，C三點共線時，當C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB=OD=4，∠BOD=90°，∴BD=42∴CD=42∴OM=1即OM的最大值為22故選：A．【點睛】本題考查了坐標和圖形的性質，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時點C的位置是解題的關鍵．【變式3】（2019·江蘇鎮江·九年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以點A為圓心，2為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM長度的最大值為

(

)

A．7 B．3.5 C．4.5 D．3【答案】B【分析】作AB的中點E，連接EM、CE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長，然后在△CEM中根據三邊關系即可求解．【詳解】解：作AB的中點E，連接EM、CE．在直角△ABC中，AB=∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點，∴CE=∵M是BD的中點，E是AB的中點，∴ME=∴在△CEM中，5∴3故選：B【點睛】本題考查了軌跡，要結合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【考點4】圓的周長與面積【例4】（2021·廣東·雷州市第八中學九年級期中）如圖，小明順著大半圓從A地到B地，小紅順著兩個小半圓從A地到B地，設小明，小紅走過的路程分別為a，b，則a與b的大小關系是（

）A．a=b B．a<b C．a>b D．不能確定【答案】A【分析】根據圖形，得兩個小半圓的直徑之和等于大半圓的直徑之和，則根據圓周長公式，得二人所走的路程相等．【詳解】解：設小明走的半圓的半徑是R．則小明所走的路程是πR．設小紅所走的兩個半圓的半徑分別是r1與r則r1小紅所走的路程是πr∴a=b，故選：A．【點睛】本題考查了圓的認識，注意計算兩個小半圓的直徑之和是大于半圓的直徑．【變式4】（2021·江蘇·九年級專題練習）如圖，兩個同心圓中有兩條互相垂直的直徑，其中大圓的半徑是2，則圖中陰影部分的面積是（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】B【分析】由圓的旋轉對稱性，可知陰影部分的面積剛好拼成大圓的一半，據此解題．【詳解】解：根據題意，大圓、小圓都被兩條互相垂直的直徑平均分成4份，由圓的旋轉對稱性，可得陰影部分的面積剛好拼成大圓的一半，陰影部分面積：12π×22故選：B．【點睛】本題考查圓的旋轉對稱性等知識，是常見考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．【考點5】圓的有關計算與證明【例5】（2021·全國·九年級課時練習）如圖，已知MN為⊙O的直徑，四邊形ABCD，EFGD都是正方形，小正方形EFGD的面積為16，求圓的半徑．【答案】r=4【分析】連接OC，OF，設⊙O的半徑為r，AD=2x，則DO=12AD=x，在Rt△COD和Rt△FOG【詳解】如圖，連接OC，OF，設⊙O的半徑為r，AD=2x，則DO=1∵DO∴x2∵正方形EFGD的面積為16，∴DG=FG=4，∴OG=x+4，又∵OF∴r2∴x2解得x1=4，∴r2=4【點睛】本題考查勾股定理的應用圓的認識和性質，解題的關鍵是熟練掌握在一個直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．【變式5。1】（2021·全國·九年級課時練習）△ABC中，∠C=90°．求證：A，B，C三點在同一個圓上．【答案】見解析．【分析】取AB的中點O，根據直角三角形的性質得到CO＝AO＝BO，故可求解．【詳解】如圖所示，取AB的中點O，連接CO在Rt△ABC中，∵AO=BO，∠ACB=90°，∴CO＝12AB，即CO＝AO＝BO∴A，B，C三點在同一個圓上，圓心為點O．【點睛】此題主要考查證明三點共圓，解題的關鍵是熟知圓的基本性質及直角三角形的特點．【變式5.2】（2021·全國·九年級課時練習）如圖，AB、CD為⊙O中兩條直徑，點E，F在直徑CD上，且CE=DF．求證：AF=BE．【答案】見解析【分析】由于AB通過圓心O點，故OA=OB，再由對頂角相等，CE=DF推出OF=OE，從而證明△AOF≌△BOE(SAS)，最后由對應邊相等得出AF=BE．【詳解】證明：∵AB，CD為⊙O中兩條直徑，∴OA=OB，OC=OD，∵CE=DF，∴OE=OF，在△AOF和△BOE中，OA=OB∠AOF=∠BOE∴△AOF≌△BOE(SAS)，∴AF=BE．【點睛】本題考查圓的性質和三角形全等的判定，掌握這些性質和判定是解出本題的關鍵．【滿分訓練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?路南區三模）在平面內與點P的距離為1cm的點的個數為（）A．無數個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】在平面內與點P的距離為1cm的點在“以點P為圓心，1cm為半徑為的圓”上．【解析】在平面內與點P的距離為1cm的點的個數為為：所有到定點P的距離等于1cm的點的集合，故選：A．2．（2019秋?肇源縣月考）兩個圓的周長不相等是因為它們的（）A．圓的位置不同 B．圓周率不同 C．半徑不同 D．圓心不同【分析】根據圓的周長公式即可得到答案．【解析】∵圓的周長＝2倍的圓的半徑×π，∴兩個圓的周長不相等是因為它們的半徑不同，故選：C．3．如圖，圓O的弦中最長的是（）A．AB B．CD C．EF D．GH【分析】根據圖示直接得到答案．【解析】如圖所示，圓O的弦中最長的是AB．故選：A．4．（2020?資中縣一模）已知⊙O中最長的弦長8cm，則⊙O的半徑是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【分析】⊙O最長的弦就是直徑從而不難求得半徑的長．【解析】∵⊙O中最長的弦為8cm，即直徑為8cm，∴⊙O的半徑為4cm．故選：B．5．（2021秋?永年區月考）下列說法：（1）長度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優弧短；（4）直徑是圓中最長的弦，其中正確的有（）A．1 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用等弧的定義、圓周角定理、弧的定義及弦的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【解析】（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數必須相同，故不符合題意；（2）弦包括直徑，故不符合題意；（3）同圓或等圓中劣弧一定比優弧短，故不符合題意；（4）直徑是圓中最長的弦，符合題意，正確的只有1個，故選：A．6．（2021春?陽谷縣期末）已知AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為r，下列關系式一定成立的是（）A．AB＞r B．AB＜r C．AB＜2r D．AB≤2r【分析】根據“直徑是最長的弦”進行解答．【解析】若AB是⊙O的直徑時，AB＝2r．若AB不是⊙O的直徑時，AB＜2r，無法判定AB與r的大小關系．觀察選項，選項D符合題意．故選：D．7．（2020秋?河東區校級月考）下列說法正確的有（）①圓中的線段是弦；②直徑是圓中最長的弦；③經過圓心的線段是直徑；④半徑相等的兩個圓是等圓；⑤長度相等的兩條弧是等弧；⑥弧是半圓，半圓是弧．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】利用圓的有關定義和性質分別判斷后即可確定正確的選項．【解析】①圓中的線段是弦，錯誤，不符合題意；②直徑是圓中最長的弦，正確，符合題意；③經過圓心的線段是直徑，錯誤，不符合題意；④半徑相等的兩個圓是等圓，正確，符合題意；⑤長度相等的兩條弧是等弧，錯誤，不符合題意；⑥弧不一定是半圓，但半圓是弧，故原命題錯誤，不符合題意，正確的有2個，故選：A．8．（2022春?莘縣期末）下列說法：①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等弧；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用圓的有關定義及性質分別進行判斷后即可確定正確的選項．【解析】①直徑是弦，正確，符合題意；②弦不一定是直徑，錯誤，不符合題意；③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；④能夠完全重合的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；⑤根據半圓的定義可知，半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確，符合題意，正確的有3個，故選：C．9．（2022?潮安區模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點C為圓心，CA長為半徑的圓恰好經過AB的中點D，則⊙C的半徑為（）A． B．8 C．6 D．5【分析】連結CD，根據直角三角形斜邊中線定理求解即可．【解析】如圖，連結CD，∵CD是直角三角形斜邊上的中線，∴CD＝AB＝×10＝5．故選：D．10．（2022?廣陵區二模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點，連接AD并延長與OB的延長線交于點C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【分析】連接OD，如圖，設∠C的度數為n，由于CD＝OA＝OD，根據等腰三角形的性質得到∠C＝∠DOC＝n，則利用三角形外角性質得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形內角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，從而得到∠A的度數．【解析】連接OD，如圖，設∠C的度數為n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故選：C．二．填空題（共8小題）11．一個圓的最大弦為12cm，則此圓面積為36πcm2．【分析】根據圓的最長弦的長確定圓的直徑，然后確定半徑，從而計算面積即可．【解析】∵一個圓的最大弦為12cm，∴圓的半徑為6cm，∴圓的面積為62π＝36πcm2，故答案為：36πcm2．12．平面上一個點與某個圓上所有點的連線段中，最小的距離為4cm，最大的距離為9cm，則此圓的半徑為6.5cm或2.5cm．【分析】點應分為位于圓的內部于外部兩種情況討論：①當點在圓內時，直徑＝最小距離+最大距離；②當點P在圓外時，直徑＝最大距離﹣最小距離．【解析】分為兩種情況：①當點在圓內時，如圖1，∵點到圓上的最小距離MB＝4cm，最大距離MA＝9cm，∴直徑AB＝4cm+9cm＝13cm，∴半徑r＝6.5cm；②當點在圓外時，如圖2，∵點到圓上的最小距離MB＝4cm，最大距離MA＝9cm，∴直徑AB＝9cm﹣4cm＝5cm，∴半徑r＝2.5cm；故答案為：6.5cm或2.5cm．13．如圖，AB是直徑，CD、EF、AB是弦，以E為端點的劣弧有、、、、，以A為端點的優弧有、、、．【分析】根據半徑、直徑、弦、劣弧和優弧的定義求解．【解析】在⊙O中，AB是直徑，CD、EF、AB是弦，以E為端點的劣弧有、、、、，以A為端點的優弧有、、、；故答案為：AB；CD、EF、AB，、、、、，、、、．14．（2021秋?雷州市期中）如圖，⊙O中，點A、O、D以及點B、O、C分別在一條直線上，圖中弦的條數有3條．【分析】根據弦的定義進行分析，即可得到答案．【解析】圖中的弦有弦AB、弦BC、弦CE共三條，故答案為3．15．（2020秋?嘉魚縣期末）如圖，A，B，C是⊙O上三點，∠A＝80°，∠C＝60°，則∠B的大小為140°．【分析】連接OB，如圖，利用等腰三角形的性質得到∠A＝∠OBA＝80°，∠OBC＝∠C＝60°，然后計算∠OBA+∠OBC即可．【解析】連接OB，如圖，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝80°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C＝60°，∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝80°+60°＝140°．故答案為140°．16．（2020秋?江陰市校級月考）有下列說法：①半徑是弦；②半圓是弧，但弧不一定是半圓；③面積相等的兩個圓是等圓，其中正確的是②③（填序號）【分析】利用圓的有關定義進行判斷后即可確定正確的答案．【解析】①半徑是弦，錯誤，因為半徑的一個端點為圓心；②半圓是弧，弧不一定是半圓，正確；③面積相等的兩個圓是等圓，正確；正確的結論有②③．故答案為：②③．17．（2022?鐵嶺三模）如圖，數學知識在生產和生活中被廣泛應用．下列實例所應用的最主要的幾何知識為：①射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應用了“兩點確定一條直線”；②車輪做成圓形，應用了“圓上各點到圓心的距離相等”；③學校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應用了“菱形的對角線互相垂直平分”；④地板磚可以做成矩形，應用了“矩形對邊相等”．上述說法正確的是①②．（填序號）【分析】①根據兩點確定一條直線進行判斷．②利用車輪中心與地面的距離保持不變，坐車的人感到非常平穩進行判斷．③根據菱形的性質進行判斷．④根據矩形的性質進行判斷．【解析】①在正常情況下，射擊時要保證瞄準的一只眼在準星和缺口確定的直線上，才能射中目標，應用了“兩點確定一條直線”，故符合題意．②因為圓上各點到圓心的距離相等，所以車輪中心與地面的距離保持不變，坐車的人感到非常平穩，故符合題意．③學校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應用了“菱形四邊相等和平行四邊形的不穩定性”，故不符合題意；④地板磚可以做成矩形，應用了“矩形四個內角都是直角”的性質，故不符合題意．故答案是：①②．18．（2021秋?延平區校級月考）如圖，點A、D、G、M在半圓上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，設BC＝a，EF＝b，HN＝c，則a、b、c三者間的大小關系為a＝b＝c．【分析】連接OM、OD、OA，如圖，利用圓的半徑相等得到OM＝OD＝OA，再根據矩形的性質得OM＝NH，OD＝GF，OA＝BC，則有BC＝EF＝HN．【解析】連接OM、OD、OA，如圖，∵點A、D、M在半圓上，∴OM＝OD＝OA，∵四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，∴OM＝NH，OD＝GF，OA＝BC，∴BC＝EF＝HN，即a＝b＝c．故答案為a＝b＝c．三．解答題（共6小題）19．（2018秋?如東縣校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，求證：A，B，C，D四個點在同一個圓上．【分析】連接BD，取BD的中點O，連接OA，OC，只要證明OA＝OB＝OD＝OC即可；【解答】證明：連接BD，取BD的中點O，連接OA，OC．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，∴OA＝OB＝OD＝OC，∴A，B，C，D四個點在同一個圓上．20．（2021秋?崆峒區期末）如圖，CD是⊙O的直徑，點A在DC的延長線上，∠A＝20°，AE交⊙O于點B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度數．（2）求∠EOD的度數．【分析】（1）由AB＝O得到AB＝BO，則∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A，即可求出∠EOD．【解析】（1）連OB，如圖，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．21．（2019秋?香坊區校級期中）按要求完成下列各題（結果保留π）（1）求陰影部分