專題13.1軸對稱及其性質【十一大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型?軸對稱圖形的識別】....................................................................1

【題型2確定軸對稱圖形對稱軸的條數1.........................................................................................................3

【題型3軸對稱在鏡面對稱中的應用】............................................................5

【題型4軸對稱的操作應用】....................................................................7

【題型5軸對稱的實際應用】...................................................................10

【題型6根據成軸對稱圖形的性質判斷】.........................................................13

【題型7根據成軸對稱圖形的性質求解】.........................................................16

【題型8折疊問題】...........................................................................19

【題型9坐標與圖形變換——軸對稱】..........................................................24

【題型10在網格中構造軸對稱圖形】............................................................26

【題型11利用軸對稱設計圖案】.................................................................29

,

【知識點1軸對稱與軸對稱圖形】

（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折置，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸

對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱.

（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱

軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數條.

【題型1軸對稱圖形的識別】

【例1】（2023春?吉林長春?八年級統考期末）甲骨文是我國目前發現最早的文字，其圖畫性強的特點非常

明顯，下列甲骨文圖畫是軸對稱的是（）

A.除B.ZC.4

【答案】D

【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

【變式1-1】（2023春?四川成都?八年級統考期末）漢字，又稱中文、中國字，是漢語的記錄符號.漢字是世

界上最古老的文字之一，已有六千多年的歷史，也是上古時期各大文字體系中唯一傳承者.下列漢字中，

哪個漢字可以看成是軸對稱圖形？（）

A.大B.運C.成D.都

【答案】A

【分析】根據軸對稱圖形的概念：如果?個圖形沿著?條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖

形叫做軸對稱圖形，進行判斷即可.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

B.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

D.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查軸對稱圖形的概念.理解軸對稱圖形的概念是解題的關鍵.

【變式1-2]（2023春?廣東潮州?八年級統考期中）如圖，十個電子數字圖形中，有個是軸對稱圖形.

I23H5E103O

【答案】4

【分析】平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形.

【詳解】解：根據軸對稱圖形的定義可知：數字1，3,8,0是軸對稱圖形

故答案為：4.

【點睛】掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵.

【變式1-3]（2023春?寧夏石嘴山?八年級統考期末）在線段、角、圓、長方形、梯形、三角形、等邊三角形中，是

軸對稱圖形的有個.

【答案】5

【分析】根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這

個圖形叫做軸對稱圖形.據此作答.

【詳解】解.：線段的垂直平分線所在的直線是對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意;

角的平分線所在直線就是對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意;

圓有無數條對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意;

長方形有二條對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意;

梯形不一定是軸對稱圖形，不符合題意；

三角形不一定是軸對稱圖形，不符合題意;

等邊三角形三條中線所在的直線是對稱軸，是軸對稱圖形，符合題意;

故軸對稱圖形共有5個.

故答案為：5.

【點睛】本題考查了軸對稱的概念.軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，圖象沿某一直線折疊后可以重合.

【題型2確定軸對稱圖形對稱軸的條數】

【例2】（2023春?廣東?八年級統考期末）下列軸對稱圖形中，對稱軸最少的是（）

【答案】A

【分析】如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形.折痕所在的

這條直線叫做對稱軸.由此即可求解.

【詳解】解.：解：A選項，有2條對稱軸；

選項B,有3條對稱軸;

選項C,有4條對稱軸；

選項D,有6條對稱軸.

故選：A.

【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的對稱軸，識別軸對稱圖形是解題的關鍵.

【變式2-1]（2023春?云南大理?八年級校考期中）下列各項中是軸對稱圖形，而且對稱軸最多的是（）

A.等腰梯形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.直角三角形

【答案】C

不是軸對稱圖形，則此項不符題意;

C、放入③的位置的圖形為

是軸對稱圖形，但只有一條對稱軸，則此項不符題意;

D、放入④的位置的圖形為

不是軸對稱圖形，則此項不符題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形，熟記定義是解題關鍵.

【變式2-3］（2023春?廣東廣州?八年級廣州市第四十一中學校考期末）軸對稱圖形都有自己的對稱軸，請你

嘗試寫出：只有1條對稱軸、只有3條對稱軸、有無數條對稱軸的平面圖形名稱、、.

【答案】等腰三角形（答案不唯一）等邊三角形（答案不唯一）圓（答案不唯一）

【分析】根據軸對稱圖形的定義和常見的平面圖形判斷填空即可.

【詳解】等腰三角形只有1條對稱軸、等邊三角形只有3條對稱軸、圓有無數條對稱軸.

故答案為：等腰三角形（答案不唯一），等邊三角形（答案不唯一），圓（答案不唯一）.

【點睛】本題考查軸對稱圖形的定義和求對稱軸條數.掌握軸對禰圖形沿對稱軸折疊后可重合是解題關鍵.

【題型3軸對稱在鏡面對稱中的應用】

【例3】（2023春?福建龍巖?八年級校聯考期中）假定某天上午你在鏡子里看到的時鐘如圖所示，則此時真

【分析】鏡面圖形與實際圖形互為軸對稱圖形.鐘表的時針實際指向9和10之間，分針指向25.

【詳解】解：作對稱圖形如下：

則此時的準確時間是9:25.

故答案為：9:25.

【點睛】本題主要考查的是軸對稱的性質，掌握其性質是解決此題的的關鍵.

【變式3-1］（2023春?河北石家莊?八年級統考期中）小強從鏡子中看到的電子表的讀數如圖所示，則電子表

的實際讀數是（）

IFOI

A.15：01B.10：51C.10：21D.10：15

【答案】C

【分析】根據鏡子中看到的數字與實際數字是關于鏡面成垂直的線對稱求解即可.

【詳解】解：鏡子中看到的數字與實際數字是關于鏡面成垂直的線對稱.

注意鏡子的5實際應為2,電子表的實際時刻是10：21.

故選C.

【點睛】本題主要考查了鏡面對稱的特點：上下前后方向一致，左右方向相反.

【變式3-2】（2023春?安徽淮北?八年級統考期末）小明在鏡中看到身后墻上的時鐘，實際時間最接近8時的

是下圖中的（）

【答案】C

【分析】鏡面對稱的性質：平面鏡中的像與現實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關于鏡面對稱，據此

判斷即可.

【詳解】解：實際時間最接近8時的時鐘，在鏡子里看起來應該是4點,

所以圖C所示的時間最接近8時.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了鏡面對稱的性質的運用，解答此題的關健是要注意聯系生活實際.

【變式3-3】（2023春?江蘇揚州?八年級統考期中）如圖，是平面愛里看到背向墻壁的電子鐘示數，這時的實

際時間應該是.

【答案】12：05

【分析】注意鏡面對稱的特點，并結合實際求解.

【詳解】解：根據鏡面對稱的性質，如圖所示的真實圖象應該是12：05.

故答案為12：05.

【點睛】考查了鏡面對稱的知識，解決此類問題要注意所學知識與實際情況的結合.

【題型4軸對稱的操作應用】

【例4】（2023春?河北保定?八年級統考期末）如圖，將一張矩形紙片對折兩次，然后剪下一個角，再將剪

甲：展開后的圖形是正方形；乙：展開后的圖形的面積為64

A.只有甲對B.只有乙對C.甲、乙都對D.甲、乙都不對

【答案】A

【分析】通過觀察發現剪下的部分為一個等腰直角三角形，進而得到展開后的圖形是正方形；通過題中數據

可求該三角形面積，然后由折疊2次可知，展開圖像面枳為該三角形面積的4倍，即可求得結果.

【詳解】解?：觀察發現剪下的部分為?個等腰直角三角形，

???展開后的圖形是4個該等腰直角三角形拼接而成，

???展開后的圖形是正方形；

由折疊2次可知，展開圖像面積為該三角形面積的4倍，

所以剪下部分展開得到的四邊形的面積為4x：x4x4=32,

???只有甲對.

故選：A.

【點睛】本題考查了折疊問題，直角三角形的面枳，求出直角三角形的面積是解題的關鍵.

【變式4-1］（2023春?山西臨汾?八年級統考期末）如圖1,將一張正方形紙片沿虛線對折得到圖2,再沿虛

線對折得到圖3,然后沿虛線剪去一個角，展開鋪平后的圖形如圖4,則圖3中沿虛線的剪法是（）

【答案】A

【分析】如圖4,連接四邊形的對角線，可知從圖3到圖4,是在正方形中心減去了4個全等的三角形，然

后進行判斷即可.

【詳解】解：如圖4,連接四邊形的對角線，

圖4

???從圖3到圖4,是在正方形中心減去了4個全等的三角形,

**.A符合要求，

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

【變式4-2］（2023春?福建福州?八年級校考期末）如圖，將一張長方形紙片對折，然后剪下一個角，如果剪

出的角展開后是一個直角，那么剪口線與折痕48形成的夾角度數是（）

A

A.180。B.90°C.45°D.22.5。

【答案】C

【分析】根據折疊圖形的性質即可解答.

【詳解】解：根據折疊圖形的性質可知：

剪口線與折痕AB形成的夾角的度數=90。：2=45。，

故選擇C.

【點睛】本題主要考查的就是角平分線的性質以及折疊圖形的性質，在解決這個問題的時候關鍵就是要明白

折痕AB為這個角的角平分線.在解答折疊問題的時候，我們一定要明白哪些角是對應角，哪些線段是對應

線段，然后根據折疊圖形的性質可以進行求解，從而得出所求的答案.

【變式4-3］（2023春.江西南昌.八年級統考期中）翦紙是我國傳統的民間藝術.將一張正方形紙片按圖I,

圖2中的方式沿虛線依次對折后，再沿圖3中的虛線裁剪，最后將圖4中的紙片打開鋪平，所得圖案應該

是（）

A.B.

J1_

□□

c.D.——

【答案】A

【分析】依據翻折變換，將圖4中的紙片按順序打開鋪平，即可得到一個圖案.

【詳解】解：將圖4中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是:

故選：A.

【點睛】本題主要考查了剪紙問題，解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點，關鍵是準確地找到對稱軸.一

般方法是動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即不得到正確的圖案.

【題型5軸對稱的實際應用】

【例5】（2023春?四川自貢?八年級校考期中）球桌為如圖所示的長方形ABCD,小球從A沿45。角擊出，

恰好經過5次碰撞到B處，則AB:BC=.

月R---------------卞-----------------1。

/C

【答案】2:5

【分析】根據題意畫出圖形，再根據軸對稱的性質求出矩形的長與寬的比值即可.

【詳解】

先作出長方形ABCD,小球從A沿45度射出，到BC的點E,AB=BE.

從E點沿于BC成45度角射出，到AC邊的F點，AE=EF.

從F點沿于AD成45度角射出，到CD邊的G點，DF=DG.

從G沿于DC成45度角射出，到BC邊的H點，HF垂直于AD.AB=2GC=2CH

從H點沿于CB成45度角射出，到AC邊的M點，EM垂直于AD,

從M點沿于CA成45度角射出，到B點,

看圖是2個半以AB為邊長的正方形,

所以1：2.5=2：5.

故答案為2:5.

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，解答此題的關鍵是畫出圖形，再根據對稱的性質求解.

［變式5-11（2023春?全國?八年級專題練習）身高1.80米的人站在平面鏡前2米處，它在鏡子中的像高米,

人與像之間距離為米；如果他向前走0.2米，人與像之間距離為米.

【答案】1.8m4m3.6m

【分析】利用鏡面對稱的性質求解，鏡面對稱的性質:在平面鏡中的像與現實中的事物恰好順序顛倒，且關于鏡

面對稱.

【詳解】解：身高1.8（）米的人站在平面鏡前2米處，它在鏡子中的像高1.80米，人與像之間距離為2x2=4米，

如果他向前走0.2米，人與像之間距離為4-0.2x2=3.6米.

【點睛】本題主要考查鏡面對稱的原理與性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握關于鏡面對稱的圖形大小、形狀

相同，且到鏡子的距離相等.

【變式5-2］（2023春?黑龍江雙鴨山?八年級統考期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔,

小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）

號袋2號袋

4號袋3號袋

A.1號袋B.2號袋C.3號袋D.4號袋

【答案】B

【分析】利用軸對稱畫圖可得答案.

【詳解】解：如圖所示，

有袋2號袋

4號袋3號袋

球最后落入的球袋是2號袋,

故選：B.

【點睛】此題主要考查了生活中的軸對稱現象，關鍵是正確畫出圖形.

【變式5-3］（2023春?全國?八年級專題練習）判斷說理：元旦聯歡會上，八年級（1）班的同學們在禮堂四

周擺了一圈長條桌子，其中北邊條桌上擺滿了蘋果，東邊條桌上擺滿了香蕉，禮堂中間B處放了一把椅子,

游戲規則是這樣的：甲、乙二人從A處（如圖）同時出發，先去拿蘋果再去拿香蕉，然后回到B處，誰先

坐到椅子上誰贏.張曉和李嵐比賽，比賽一開始，只見張曉直奔東北兩張條桌的交點處，左手抓蘋果，右

手拿香蕉，回頭直奔8處，可是還未跑到B處，只見李嵐已經手捧蘋果和香蕉穩穩地坐在B處的椅子上了.如

果李嵐不比張曉跑得快，張曉若想獲勝有沒有其他的捷徑？若有，請說明你的捷徑，若沒有，請說明理由.

OOOOOO

【答案】有，捷徑見解析

【分析】利用軸對稱得出找到A,B的對稱點A,B\連接A夕，交兩長條桌于C,。兩點，則折線4C08就

是捷徑.

【詳解】解.：如下圖，

假設北邊和東邊條桌各為一個平面鏡，光線經過兩次反射到達。點.

因此，分別以北條桌和東條桌為對稱軸，找到A,4的對稱點A,夕，連接A夕，交兩長條桌于C,D兩點,

則折線力CD8的長度等于48'的長度，

連接則力M==

在AHM夕中，由三角形三邊故選可得：A'MIB'M>A'B',

所以+B'M＞折線4CD8的長，

即折線力CD8就是捷徑.

【點睛】本題考查了軸對稱，三角形三邊關系，解題的關鍵是找到4,8的對稱點A,夕，連接力B,得出C,

。兩點.

【知識點2軸對稱的性質】

（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質得到一下結論：

①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱：

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這

兩個圖形的對稱軸.

（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何?對對應點所連線段的垂直平分線.

【題型6根據成軸對稱圖形的性段判斷】

【例6】（2023春?廣東潮州?八年級統考期中）如圖所示，△與A4BC關于直線MN成軸對稱，則線段44'

與直線MN的關系正確的是（）

A.直線MN被線段力A垂直平分B.線段力小被直線MN垂直平分

C.直線MN經過線段44中點，但不垂直D.直線MN與線段/U'垂直，但不經過線段中點

【答案】B

【分析】成軸對稱圖形的性質：對應點的連線被對稱軸垂直平分，據此即可得到答案.

【詳解】解：???△4EC，△4BC關于直線MN成軸對稱,

???線段A4被直線MN垂直平分.

故選:B

【點睛】此題考查了成軸對稱圖形的性質，熟練掌握“成軸對稱圖形的對應點的連線被對稱軸垂直平分”是解

題的關鍵.

【變式6-1］（2023春?天津南開?八年級天津育賢中學校考期中）下列說法;

①關于某條直線對稱的兩個三角形是全等三角形

②兩個全等的三角形關于某條直線對稱

③到某條直線距離相等的兩個點關于這條直線對稱

④如果圖形甲和圖形乙關于某條直線對稱，則圖形甲是軸對稱圖形

其中，正確說法個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用軸對稱圖形的性質逐一分析探討得出答案即可.

【詳解】①關于?某條宜線對稱的兩個三角形是全等三角形,①是正確的；②兩個全等的三角形不一定組成軸對

稱圖形，②是錯誤的；③對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，且到這條直線距離相等的兩個點關

于這條直線對稱，③錯誤；④如果圖形甲和圖形乙關于某條直線市稱，則圖形甲不一定是軸對稱圖形，④錯誤,

正確的說法有1個，所以A選項是正確的.

【點睛】此題考查了軸對稱的性質,利用對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等的

概念是解決本題的關鍵.

【變式6-2］（2023春?河北保定?八年級統考期末）如圖，點A在直線/上，ZMBC與△力夕。'關于直線/對稱,

連接88',分別交AC,AC'于點DD',連接CU,下列結論不一定正確的是（）

B.CC'IIBB'

D.AD=DD'

【答案】D

【分析】利用軸對稱的性質和全等三角形的性質逐項判斷即可.

【詳解】解：???△43C與關于直線/對稱,

：.LABC=^AB'C,BB111,CC11,AB=AB,,AC=AC',

￡BAC=Z-B'AC,CCIIBB',即選項A、B正確;

：.OB-OD=OB,-OD,,即8。二夕。，選項C正確；

由軸對稱的性質得：AD=AD^但力。不一定等于即選項D不一定正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質、全等三角形的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題關鍵.

【變式6-3］（2023春?福建廈門?八年級度門市第十一中學校考期末）定義：在平面內由極點、極軸和極徑組

成的坐標系叫做極坐標系.如圖，在平面上取定一點。為極點；從點。出發引一條射線Qx稱為極軸；線

段。P的長度稱為極徑，點P的極坐標就可以用線段OP的長度以及從轉動到OP的角度（規定逆時針

方向轉動角度為正）來確定，即P（3,60。）或P（3,—300。）或P（3,420。）等，則點P關于極軸對稱的點Q的極坐

標表示不正確的是（）

A.Q（3,-420°）B.Q（3,-60°）C.（2（3,660°）D.Q（3,420。）

【答案】D

【分析】根據軸對稱的定義以及給O尸的角度關于。工對稱后的俅度加上360。的整數倍即可.

【詳解】解：???洋（3,60°）或P（3,-300。）或尸（3,420°）,

由點。關于極軸對稱的點Q的極坐標表示點Q可得：點Q的極坐標為（3,-60。-360。=420。）或（3,-60°）

或（3,-60o+720°=660°）或（3,-60。+360。=300。）.

故選D.

【點睛】本題考查軸對稱的問題，掌握軸對稱的定義成為解答本題的關鍵.

【題型7根據成軸對稱圖形的性質求解】

【例71（2023春?廣東珠海?八年級統考期末）已知41OB=30%在乙4。8內有一定點P,點M,N分別是。4,。8

上的動點，若APM/V的周長最小值為3,則OP的長為（）

A.1.5B.3C.3V3D.3企

【答案】B

【分析】根據題意畫出符合條件的圖形，求出。0=OE=OP,乙DOE=60。，得出等邊三角形DOE,求出DE=

3,求出APMN的周長即可求出答案.

【詳解】解：作戶關丁CM的對稱點D，作P關丁。6的對稱點E,連接。￡交OA丁M,交。3丁N,連接PM,PN,

連接OD,0E,

???/）、。關于04對稱，

：.0D=OP,PM=DM,

同理OE=OP,PN=EN,

：?0D=0E=OP,

VP、。關于OA對稱，

：.0A1PD,

*：0D=OP,

：.LDOA=Z.POA,

同理乙POB=乙EOB,

：.LDOE=2LA0B=2x30°=60°,

TOD=OE,

???ADOE是等邊三角形，

：.DE=0D=OP,

PMN的周長是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3,

，0P=3

故選：B.

【點睛】本題考杳了軸對稱-最短路線問題，關鍵是畫出符合條件的圖形.

【變式7-1](2023春?河南安陽?八年級統考期中)如圖，△力和△力DE關于直線MN對稱，BC與DE的交點

產在直線MN上.

(I)圖中點D的對應點是點,乙￡的對應角是

(2)若C尸=3,DF=2,則DE的長為

(3)若=108°,LEAF=39°,求乙04C的度數.

【答案】(1)8,乙C

(2)5

(3)30°

【分析】(1)根據軸對稱的性質解答即可；

(2)由題意可得△48C三△40E,再由全等三角形的性質解答即可；

(3)根據對稱性可得乙。4尸=乙耳尸=39。，從而得出NC4E=78。，最后可得答案;

【詳解】(1).?Z40E關于直線MN對稱，

???圖中點D的對應點是點B,4E的對應角是4C：

故答案為：B,乙C.

⑵:△A8C和ZMDE關于直線MN對稱，

AABCWAADE?

:,EF=CF=3,

：.DE=DF+EF=5.

故答案為：5.

（3）^LDAE=108°,LEAF=39°

,根據對稱性：2CAF=Z.EAF=39°

：.LCAE=78°

：./.DAC=Z-DAE-Z.CAE=108>—78°=30°

【點睛】本題考查軸對稱的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知設解決問題，屬于中考常考題型.

【變式7-2］（2023春?陜西?八年級校考期中）如圖，點尸是乙4cB外一點，點、D,￡分別是乙4cB兩邊上的點,

點P關于。4的對稱點Pi恰好落在線段上，點尸關于C8的對稱點P2落在E。的延長線上.若PE=2,PD=

4,ED=5,則線段匕P2的長為（）

【答案】D

【分析】利用軸對稱圖形的性質得出EP二EP/,DP=DP2,進而利用DE=5,得出P/。的長，即可得出P/P2

的長.

【詳解】解：???點P關于C4的對稱點P/恰好落在線段上，P點關于C8的對稱點P2落在E。的延長線

上，

：,EP=EPhDP=DP2,

?;PE=2,PD=4,DE=5,

：,DP2=4,EPI=2,

:.DP尸DE-EP]=5-2=3,

則線段P/P2的長為：P/D+DP2=4+3=7,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形的性質，得出石尸=石七，OP:。P2是解題關鍵.

【變式7?3］（2023春?四川成都?八年級統考期末）如圖，在直角三角形HBC中,乙C=90。，點。在AB上，

點G在8c上，△BDG與△FDG關于直線DG對稱，D/與B交于點E,^DFIIAC,4B=28°,則NCGC的度

【分析】由軸對稱的性質可得乙尸=40=28。，乙DGB=CDGF,利用平行線的性質和對稱性質求出乙EGF=

62°,乙DGC=x。,^UDGB=Z.DGF=62°+x°,再由iDGC+乙Z）GB=180°,可得％+62+工=180,解

方程即可得到答案.

【詳解】解：由軸對稱的性質可得乙尸=乙8=28。，乙DGB=LDGF,

■:DFIIAC,4C=90°,

:.乙DEB=ZC=90°,

:.乙EGF=乙DEB-乙F=62°,

設/DGC=x。，則匕DG8=乙DGF=Z.DGC+乙EGF=62°+x°,

?：LDGC^Z-DGB=180°,

.,?x+62+x=180,

'.x=59,

:?乙DGC=59°,

故答案為：59.

【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質，正確求出乙EG尸=62。是解題的關鍵.

【題型8折疊問題】

【例8】（2023春?湖北黃岡?八年級統考期末）如圖，圖①是一個四邊形紙條48CD,其中48||CD,E,尸分

別為邊力8,CD上的兩個點，將紙條48CD沿“折疊得到圖②，再將圖②沿DF折疊得到圖③，若在圖③中，

Z.FEM=26°,^Az-EFC=.

圖①圖③

【答案】102°

【分析】根據折疊的性質，先求出圖②的4夕EF的度數，再根據平行線的性質，求出NEFM的度數，由鄰補

角特點可求出4“C的度數，再由折疊性質可得/"C=乙EFU,再根據乙MFC=乙EFC-乙"M求得乙MFC

的度數為102。，由折疊的性質得圖③的乙MFC的度數為102。,根據乙EFC=Z.MFC-乙計算即可得出答

案.

【詳解】解：第一次折疊后，如圖②，

由折疊可得：乙B'EF=乙BEF=Z.FEM=26°,

???48'11M,

:.Z.EFM=乙B'EF=26°,

Z.EFC=180°-乙EFM=180°-26°=154°,

vZ.EFC=(EFU=154°,

:./MFC=乙EFC-乙EFM=154°-26°=128°,

第二次折疊后，如圖③，

由折疊可得：乙MFC=乙MFC”=128°,

Z.EFC=乙MFC-乙EFM=128°-26°=102°.

圖①

【點睛】本題考查了折疊的性質和平行線的性質，熟練掌握折疊的性質和平行線的性質是解題的關鍵.

【變式8-1］（2023春?浙江寧波?八年級校考期末）如圖，三角形紙片ABC,點。是8c邊上一點，連結AD,

把A沿著力。翻折，得至必力項），。￡與4C交于點立若點F是0E的中點，AD=8,Zk/WF的面積為12,

則點3、E之間的距離為.

A

BDC

【答案】12

【分析】先根據面積求8到小。的距離，再求B,E的距離.

【詳解】解：???尸是0E的中點，

二S“OE=2s產=24,

如圖，連接8E交力0于”，

A金

B7

三A

BD-

由翻折的性質得BE=28H,BELAD,S^ABD=S^ADE=24,

?4。=24,

夢6,

:.BE=2BH=12,

故答案為：12.

【點睛】本題考查翻折的性質，充分利用翻折性質，利用面積公式求高是解決本題的關鍵.

【變式8-2］（2023春?江蘇宿遷?八年級統考期末）如圖，將長方形紙片48。。沿“折疊后，點D、C分別落

在“、。'的位置，E"的延長線交8c于點G.

E

(1)如果4GFE=62。，求K1的度數;

(2)如果已知NGFE=x。，則4BGD'=(用含x的式子表示)

(3)探究NG/T'與的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)56。

(2)2x°

(?)LGFC=zl,理由見解析

【分析】(1)由平行線性質得到/DEF的度數，再由折疊性質得到ZGE/的度數，最后根據平角定義即可求

出/I的度數；

(2)由平行線性質和折疊性質得到NGEF=NG/E,根據外角性質即可得到iBG少的度數；

(3)由平行線性質得到Nl=NEGF和NG?C'=Z1,即可推出最后結果.

【詳解】⑴解：??Y0|BC,

:.Z.DEF=乙GFE=62。，

由折疊知NOEF=乙GEF=62°,

AZ1=180°-乙DEF-乙GEF,

=180°-62°-62°=56°；

⑵ADIIBC,

???Z.GFE=Z.DEF,

由折疊的性質可得：/-GEF=乙DEF,

:.Z.GEF=乙GFE

AZ.BGD'=乙GEF+Z.GFE=2乙GFE=2x°；

(3)-ADWBC,

???zl=Z.EGF,

?:ED'=FC',

:.Z.EGF=乙GFC',

:.LGVC=Zl.

【點睛】本題考查了平行線的性質，折疊性質，外角性質，熟練掌握這些性質是解答本題的關鍵.

【變式8-3］（2023春?上海虹口?八年級上外附中校考期末）如圖，AABC,AF1BC于F,將4F沿4c翻折至

AE,聯結EC并延長，在射線EC上取點。使得/BAD=/.EAF,若CD=5,CE=3,AE=7,貝耳業:=.

【答案】38.5

【分析】由翻折的性質可知,AF=AE=7,Z.FAC=MAC,先利用“SAS”證明△SAAEC,得到NAEC=

△AFC=90°,CF=CE=3,再利用“ASA”證明△A/8三△4ED,得到BF=DE=8,進而得到8c=11,

即可求出SgBc，

【詳解】解：由翻折的性質可知，AF=AE=7,乙FAC=LEAC,

vAF1BC,

:.Z.AFB=乙AFC=90°,

在和△4EC中，

(AF=AE

1/.FAC=Z.EAC,

(AC=AC

'.AAFC三△AEC(SAS),

￡AEC=^AFC=90°,CF=CE=3,

?:乙BAD=Z.EAF,

???/.BAD+Z.DAF=Z.EAF+Z-DAF,

:.Z.BAF=Z-EADy

在么4F8和△4ED中，

(乙BAF=Z.DAE

AF=AE,

\^AFB=Z.AED=90°

：.LAFB三△4ED(ASA),

:，BF=DE,

CD=5?CE=3,

BF=DE=CD+CE=S+3=8,

??.BC="+6=8+3=11,

???S4ABe=|fiCMF=|xllx7=38.5,

故答案為:38.5.

【點睛】本題考查了翻折的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵.

【題型9坐標與圖形變換——軸對稱】

【例9】（2023?廣西玉林?八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中.

（1）分別畫出△A8C關于直線加（直線zn上各點的橫坐標都是1）對稱的△4當。1和關于直線九（直線n上各點

的縱坐標都是—1）對稱的△A282C2；

⑵若△力8c上有一點P（，y）,則關于直線m對稱后的對應點P1的坐標為,則關于直線ri對稱后

的對應點22的坐標為.

【答案】（1）見解析

（2）Pj（-x+2,y）,P2（x,-y-2'）

【分析】（1）根據軸對稱圖形的性質即可作出；

（2）根據關于對稱軸對稱的點與對稱軸的距離相等即可求解.

【詳解】（1）解：作圖如下：

（2）解：若△ABC上有一點P（x,y）,

點P（X,y）到直線m的距離為％-1,到直線〃的距離為y+1,

1-（x—1）=-x4-2,-1—（y+1）=—2—y,

則美丁直線〃，對稱后的對應點Pi的坐標為Pi（-x十2,y）,則關丁直線〃對稱后的對應點P2的坐標為P2Q，-

y-2）.

【點睛】本題考查了網格作圖、對稱點的坐標，關于對稱軸對稱的點與對稱軸的距離相等.

【變式9-1】（2023?吉林?八年級校考期末）在平面直角坐標系中，若點P（m+L3m+1）和點Q[a,m+7）關

于），軸對稱，則Q的坐標為.

【答案】（一4,10）

【分析】由關于y軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標相反可列出關于加與a的二元一次方程，求解即可.

【詳解】解:由點P（m+1,3m+1）和點Q（a,771+7）關于“軸對稱可得點P與點Q的橫坐標相同即：

（m.+1=—a

（3TH+1=m+7'

解得｛二=_：,

故答案為：（一4,10）.

【點睛】本題考查了平面直角坐標系中的軸對稱，靈活利用點關于坐標軸對稱的特點是解題的關鍵.

【變式9-2]（2023?山西陽泉.八年級統考期中）在平面直角坐標系中，點4（7+1,-2）關于“軸的對稱點在

第象限.

【答案】一

【分析】先求出點A關于x軸的對稱點，然后判斷所在象限即可.

【詳解】解：點4解2+1,-2）關于x軸的對稱點為：（x2+1,2）,

V^2+1>0,2>0,

:.點、A的對稱點在第一象限；

故答案為：一.

【點睛】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵.

【變式9-3］（2023?山東聊城?八年級校考階段練習）已知點P（Q,b）的坐標滿足（a+2）2+g—l=0,則點尸

關于y軸對稱為點P'在第象限.

【答案】一

【分析】由（。+2）2+仍一1|=0可得2、b的值，然后可得點P坐標，進而問題得解.

【詳解】解：???（。+2）2+|匕-1|=0,

???a=-2,b=1,

???P（-2,l）,

???點P關于y軸對稱為點P'在第一象限；

故答案為一.

【點睛】本題主要考查非負數的性質及點坐標所在象限，關鍵是根據非負數的性質得到點的坐標，然后結合

關于坐標軸對?稱的特點進行求解艮］可.

【題型10在網格中構造軸對稱圖形】

【例10】（2023春.山東荷澤?八年級統考期末）如圖，3x3方格圖中，將其中一個小方格的中心畫上半徑相

等的圓，使整個圖形為軸對稱圖形，這樣的軸對稱圖形共有個.

【答案】3

【分析】利用軸對稱圖形的定義作出軸對稱圖形后即可確定軸對稱圖形的個數.

【詳解】解：將其中一個小方格的中心畫上半徑相等的圓，使整個圖形為軸對稱圖形，這樣的軸對稱圖形為:

【點睛】考查了軸對稱圖形的知識，解題的關鍵是了解軸對稱圖形的定義，難度不大.

【變式10-1】（2U23春?重慶南岸?八年級統考期木）圖是4X4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點.其

中點均在格點上.請在給定的網格中，找一格點。，使以點4B,C,D為頂點的四邊形是軸對稱圖形，

滿足條件的點。的個數是個.

B：

【答案】2

【分析】根據軸對稱圖形的定義，動手逐個判斷即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

即：滿足條件的點。的個數為2個，

故答案為：2.

【點睛】本題主要考行了軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠完全重合的圖形是解題的關鍵.

【變式10-2】（2023春?河北承德?八年級統考期末）如圖是3x3的正方形網格，其中已有2個小方格涂成了

黑色.現在要從編號為①-④的小方格中選出1