專題10.3平行線的性質?重難點題型

【滬科版】

。*甲一反三

【知識點平行線的性質】

1兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.

2兩條平行線被第三條直線所截內錯角相等.簡單說成兩直線平行內錯角相等.

3兩條平行線被第三條直線所截同旁內角互補.簡單說成兩直線平行同旁內角互補.

【題型1兩直線平行同位角相等】

【例1】（2021春?環江縣期末）如圖，a//b,Zl=60°,則N2的大小是（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【解題思路】根據同位角相等，兩直線平行即可求解.

【解答過程】解：如圖:

因為Zl=60°,

所以/3=Nl=60°.

因為N2+N3=180°,

所以N2=180°-60°=120°.

故選：D.

【變式1-1]（2021秋?長沙期中）如圖，點。，石分別在的邊曲，BC上,過B4上的點

F（位于點、D上方）作尸G〃BC,若NAFG=42°,則NOEB的度數為（）

D

A.42°B.48°C.52°D.58°

【解題思路】根據R7〃BC,得NOBE=N4/G=42°,由。得NBZ)E=90°,由NOEB=180°

-"BE-N"北即可解答.

【解答過程】解〈FGHBC,4FG=42°,

：?NDBE=NAFG=42°,

'：DEYAB,

???NBQE=90°,

JNOEB=1800-ZDBE-ZBDE

=180°-42°-90°

=48°.

故選:B.

【變式1-2］（2021春?蘿北縣期末）如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，如果Nl=65°,那么

N2的度數為（）

【解題思路】利用平行線的性質可得/3的度數，再利用平角定義可得N2的度數.

【解答過程】解：??力〃力,

/.ZI=Z3=65°,

VZ4=90°,

AZ2=180°-90°-65°=25°,

故選：C.

b

【變式1-3］（2021?臨沐縣模擬）如圖，已知48〃CO,NA=56°,NE=18°,則NC的度數是（）

【解題思路】設AE與CO交于點。，由A4〃CO,利用“兩直線平行，同位角相等”可得出/。0￡的

度數，再利用三角形內角和，即可求出NC的度數.

【解答過程】解：設4E與CQ交于點。，如圖所示：

AZDOE=ZA=56a.

?：ZDOE=ZC+ZE,ZE=18°,

：,ZC=ZDOE-ZE=56°78°=38°.

故選：D.

【題型2兩直線平行內錯角相等】

【例2】（2021春?寧陽縣期末）如圖，C7）是/AC8的平分線，NACB=82°,NB=48°,DE//BC.求

NKOC和N8OC的度數.

【解題思路】山平分線的性質可得N8CO的大小，又由平行線及三角形內角和定理可得/EDC和NBOC

【解題思路】根據平行線的性質，可以得到若要使人與/2平行，則N1和/2相等，再根據/2的度數和

圖形中原來N1的度數，從而可以得到若要使人與12平行，則人繞點。至少旋轉的度數.

【解答過程】解：若人與/2平行，

則N1和N2相等，

VZ2=42°,

AZ1=42°,

???若要使人與/2平行，則人繞點。至少旋轉的度數是80°-42°=38°,

故選：4.

【變式2-3]（2021?中原區校級開學）填空：（將下面的推理過程及依據補充完整）

如圖，已知：CD平分NAC8,AC//DE.CD//EF,求證：EF平分/DEB.

證明：???CO平分NAC3（已知），

???NDCA=/DCE（角平分線的定義），

f：AC//DE（已知），

：.ZDCA=（ZCDE）,

???NOCE=NCOE（等量代換），

'：CD//EF（已知）,

AZDEF=ZCDE（兩直線平行，內錯角相等）,

ZDCE=ZBEF（兩直線平行，同位角相等）,

???/DEF=/FEB（等量代換）.

1?EF平分NDEB（角平分線的定義）.

【解題思路】根據平行線的性質和平行線的判定及等量代換等來完成解答即可.

【解答過程】證明：???C。平分NACB（已知），

???NDC4=NOCE（角平分線的定義），

VAC//DE（已知），

???NOCA=NCOE（兩直線平行，內錯角相等），

：,ZDCE=ZCDE（等量代換），

\*CD//EF（己知）,

???NOE/=NCOE（兩直線平行，內錯角相等），

NDCE=/FEB（兩直線平行，同位角相等），

:.NDEF=/FEB（等量代換），

???石/平分/OEB（角平分線的定義）.

故答案為：ZDCE：NCDE,已知，NDEF,兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同位角相等；Z

DEF；NFEB；角平分線的定義.

【題型3兩直線平行同旁內角互補】

【例3】（2021春?椒江區期末）如圖，AB//CD,AB//GE,ZB=110°,ZC=100°.N8F。等于多少

度？為什么？

【解題思路】由八得CD//GE,根據兩直線平行，同旁內角互補得到/B+N8/G=180°,

NC+NCPE=180°,而NB=U0",ZC=100°,可以求出N8FG和NCPE,最后可以求出N8FC.

【解答過程】解.：NBFC等于30度,理由如下：

'：ABUGE,

???N8+/3/G=180°,

VZfi=110°,

AZfiFG=180°-110°=70°,

?:AB"CD,AB〃GE,

:‘CD"GE,

???NC+NCFE=180°,

VZC=100°.

/.ZCFE=180°-100°=80°,

???N8尸C=180°-ZBFG-ZCF￡=180°-70°-80°=30°.

【變式3-1]（2021秋?北陪區校級期末）如圖，AB//CD,CD//EF.Zl=Z2=60°,NA和NE各是多

少度？它們相等嗎？

【解題思路】先根據人8〃CO得出NA的度數，再由求出NE的度數，進而可得出結論.

【解答過程】解：?.?AB〃C。（已知），

AZA=180°-Zl=I80°-60°=120°（兩直線平行，同旁內角互補）.

*：CD//EF（已知），

/.ZE=1800-Z2=180a-60°=120°,

；?NA=NE.

?NA和和七都是120度,它們相等.

【變式3-2]（2021?懷寧縣模擬）如圖，將一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點分別放在直尺的兩條

【解題思路】直接利用平行線的性質以及含有30°角的直角三角板的特征進而得出答案.

【解答過程】解：如圖：

C

根據題意得N2=60°,Zp=85°,

???/2=60°,Zl+Z2+Zp=180°,

AZ1=18O0-Z2-Zp=180°-60°-85°=35°,

?:AB"CD,

AZa+Z1=180°,

AZa=180°-ZI=180°-35°=145°.

故選：B.

【變式3-3](2021春?漢陽區期中)如圖，EF//AD,AD//BC,CE平分N4CEZDAC=3Z?CF,ZACF

=20°,

(1)求NQAC的度數.

(2)求//EC的度數.

(3)當NZ?為多少度時，ZZ?AC=3ZZ??并說明此時A3與AC的位置關系.

【解題思路】（1）直接利用隹平分線的定義結合平行線的性質得出答案；

（2）利用已知得出針〃CB,進而得出答案；

（3）利用NA4C=3N3,利用平行線的性質得出N8=30°,即可得出答案.

【解答過程】解：（1）YCE平分N8CR

???設N8CE=N/CE=x,

?；/DAC=3NBCF,

：,ZDAC=6x,

*：AD//BC,

.??/OAC+/4C4=180",

A6x4-2x4-20°=180°,

???x=20°,

AZDAC=120°:

(2),:EF〃AD,AD//BC,

:,EF〃CB,

：?NFEC=NBCE=20°；

(3)當N8=300時，

VAD//BC,：,ZDAB=ZB,

又???NBAC=3N8,

???ND4c=4NB=120°,

.\Z5=30°,

???NR4C=90°,

：.ABA.AC.

【題型4平行線的判定與性質的綜合應用】

【例4】(2021春?江油市期中)如圖，直線分別與直線AB,CO相交于點G,H,已知Nl=N2=50°,

GM平分/"GB交直線CD于點M,則()

A.120°B.115°C.130°D.110。

【解題思路】求出N8GM,根據平行線的判定得出43〃CD根據平行線的性質推出N3=NBGA/,利

用補角的定義即可得出答案.

【解答過程】解：如圖，

VZl=50°,

r.Z5GF=180°-/I=130",

?..GM平分NBG巴

.?.ZfiGM=izBGF=65°,

VZl=Z2=50°,

：.AB//CD,

???N3=N8GM=65°,

AZG/WD=1800-N8GM=I8O0-65°=115°，

故選：B.

【變式4-1］（2021春?五華區期末）如圖，Nl=60",Z2=120°,Z3=70°,則N4的度數是（）

A

A.70°B.60°C.50°D.40°

【解題思路】先由鄰補角互補求出/5,然后根據N2=/5判斷出八〃/2,再根據平行線的性質得出/3

=/6,而N4=N6從而求出N4.

【解答過程】解?：如圖所示：

VZl+Z5=180°,

AZ5=180°-60°=120°=Z2,

???N3=N6,

VZ3=70°,

/.Z6=70°

N4=N6,

AZ4=70°.

故選:A.

【變式4-2］（2021春?大豐區月考）如圖，直線MN分別與直線C。相交于點七，F,EG平分NBEF,

交直線8于點G,若NMFD=NBEF=58°,射線GP_LEG于點G,則NPG/=61或119°.

M

Nf

【解題思路】分兩種情況：①當射線GPrEG于點G時，/PGE=90°,②當射線G/〃LEG于點G

時，NPGE=90°,根據平行線的判定與性質和角平分線定義即可求出NPG/的度數.

【解答過程】解：如圖，①當肘線GP_LEG于點G時，NPGE=90°,

■:NMFD=NBEF=58°,

:.CD"AB,

：,ZGEB=ZFGE,

,：EG平分/BEF,

1

/.ZGEB=ZGEF=|ZBEF=29°,

：.ZFGE=29°,

：./PGF=NPGE-/FGE=5)0-29°=61°；

②當射線GP'J_fG于點G時.ZP'GE=90°,

同理：/P'GF=ZPGE+ZFGE=900+29°=119°.

則NPG產的度數為61°或119".

故答案為：61或119.

【變式4-3](2021春?奉化區校級期末)如圖，PQ//MN,A,B分別為直線MN、PQ上兩點，且NBAN

=45°,若射線AM繞點4順時針旋轉至AN后立即回轉，射線BQ繞點B逆時針旋轉至KP后立即I可轉，

兩射線分別繞點A、點5不停地旋轉，若射線AM轉動的速度是/秒，射線轉動的速度是N/秒，

且〃、b滿足|a?5|+9?1)2=0.若射線AM繞點A順時針先轉動18秒，射線8Q才開始繞點B逆時

針旋轉，在射線BQ到達BA之前，問射線AM再轉動15或22.5秒時,射線AM與射線BQ互相平行.

Q__________yPQ'P

w

備用圖

【解題思路】分兩種情況討論，依據NA8Q，=N84M"時，BQ，AM”，列出方程即可得到射線AM、

射線8。互相平行時的時間.

【解答過程】解：設射線4M再轉動，秒時，射線4M、射線8Q互相平行.

如圖，射線4M繞點A順時針先轉動18秒后，AM轉動至A*的位置，NM4M=18X5=90°,

分兩種情況：

①當9V/V18時，NQBQ，=f°,NMAM"=5/。，

2JP

。"不7一"

VAN

???NBAN=45°=ZABQ,

；?/4月。'=45°-r°,NBAM"=NMAM"-/AT4H=5/-45°,

當NABQ，=NBAM"時，BQ'//AM",

此時，45°-f=5/-45°,

解得/=15；

②當18VK27時，ZQBQ=f,/NAM"=5r°-90°,ABAM"=45°-(5r°-90°)=135°

???NBAN=450=ZABQ,

AZABQ,=45°-z°,/BAM"=45°-(5t°-90°)=135°-5t°,

當NA8Q，=NBAM"時，BQHAM”、

此時，45°-t°=135°-5r,

解得7=22.5；

綜上所述，射線AM再轉動15秒或22.5秒時，射線AM、射線BQ互相平行.

故答案為15或22.5.

【題型5單拐點作平行線】

【例5】（2021春?忻州期中）已知：如圖，AB//CD,AP平分/BAC,CP平分/ACQ,求NAPC的度數;

請補全下列解法中的空缺部分.

解：過點尸作尸6〃48交4。于點G.

*：AB//CD（已知）,

???NOW+N人€7）=180°（兩直線平行，同旁內角互補）,

*：PG//AB（已知）,

???NBAP=NAPG（兩直線平行，內錯角相等）,

且PG〃CD（平行于同一直線的兩直線也互相平行），

/.ZGPC=ZPCD（兩直線平行，內錯角相等），

平分N84C,CP平分NACO.

11

；?NB4P=BAC，ZPCD=ACD.（角平分線定義），

AZBAP+ZPCD=|ZB/1C+|ZACD=9O0（等）代換）,

/.ZAPC=NAPG+NCPG=ZHAP+ZCDP=^.

總結：兩直線平行時，同旁內帶的角平分線互相垂直.

【解題思路】過點P作PGZM/3交4c于點G,根據平行線的判定與性質，即可得到/APC的度數，進

而得出結論.

【解答過程】解：過點P作PG〃43交AC于點G.

?：AB//CD（已知），

???NC4B+NACO=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

VPG//AB（已知），

???NZMP=NAPG（兩直線平行，內錯角相等），

且PG〃C。（平行于同一直線的兩直線也互相平行），

???NG尸C=/PCQ（兩直線平行，內錯角相等），

???AP平分/84C,C尸平分NAC。，

11

：.^BAP=^DAC,/PCD=今乙ACD（角平分線定義），

???ZBAP+/PCD=；匕84。+之乙力CO=90°（等量代換），

AZAPC=ZAPG+ZCPG=Z13AP+ZCDP=90°.

總結：兩直線平行時，同旁內角的角平分線互相垂直.

故答案為：已知；NCA&兩直線平行，同旁內角互補：CD；/PCD；BAC；ACD-,角平分線定義：等

量代換：互相垂直.

【變式5-1］（2021?河北模擬）如圖，AB//DE,Zl=135°,NC為直角.則NO的度數為（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【解題思路】過點C作C尸〃AB,由題意可求得N84C=180°-Zl=45°,由平行線的性質可得

=N8AC=45°,CF//DE,從而可求NOCr的度數，則可求N。的度數.

【解答過程】解：過點C作CF〃A8,如圖所示：

???NRAC=1800-Zl=45°,

,:CF〃AB,AB//DE,

AZACF=ZBAC=45°,CF//DE,

：.ZDCF=ZD,

???NACO為直角,

AZDCF=900-ZACF=45Z，

.*.ZD=45°.

故選：C.

【變式5-2]（2021?南關區校級一模）將一塊直角三角尺和一張矩形紙片如圖擺放，若Nl=47°,則N2

【解題思路】過點￡作E尸〃4C,由平行線的性質可得JNCE尸=N1=47°,BD//EF,從而可得N2+

ZDEF=180°,結合條件可求得NOE/的度數，即可求解.

【解答過程】解：過點E作E尸〃AC,如圖所示：

AZCEF=Z1=47°,BD//EF,

???N2+NOE尸=180°,

VZCED=90°,

???ZDEF=900-ZCEF=43°,

/.Z2=180°-NOE產=137°.

故選：C.

【變式5-3](2021春?重慶期中)己知：AB//CD,E、G是A8上的點，F、〃是CO上的點，Z1=Z2.

(1)如圖1,求證：EF//GH-.

(2)如圖2,過戶點作FM_LG”交GH延長線于點M,作NBE尸、NOBW的角平分線交于點N,EN交

GH于點、3求證：NN=45°；

（3）如圖3,在（2）的條件下，作N4GH的角平分線交CO于點Q,若3NFEN=4NHFM,直接寫出

【解題思路】（1）由平行線的性質得N1=N3,再由內錯角相等得出

（2）過點N作NK〃CQ,設角度，由平行線的性質和角平分線的性質即可得出結論;

乙GOH1

（3）由3NFEN=4N”FM結合前面（2）的結論，求出角度可得-77；=

乙MPN4

【解答過程】解：（1）證明：???48〃。。，

???/2=/3,

XVZ1=Z2,

:.EF//GH；

圖1

(2)如圖2,過點N作NK〃C。，

：.ZKNE=Z4,Z6=Z7,

設/4=x,Z7=j',

,:EN、W分別平分N8EAZDFM,

ZENK=Z5=Z4=x,Z6=Z8=Z7=>',

又,：AB〃CD,

AZEFD=180°-2x,

又VFMIGH,

AZEFM=90°,

A1800-2x+2>>=90°,

.*.x-y=45°?

/.ZENE=ZENK-Z6=x-_v=45°,

Z.GQH1

(3)--------=~

Z.MPN4

，：34FEN=4/HFM,即3x=4X2y,

.*.A—ay.

*.x-尸—y=45°

：,y=2T,x=72°,

又???EN和GQ是角平分線，

???GQ_LEN,

???NGQ”=NEGQ=180°-90°-72°=18°,

又,：4MPN=4FEN=x=72°,

.乙GQH_1

?,4MPN~4'

故答案為"

4

【題型6多拐點作平行線】

【例6】（2021春?青縣期末）直線ZA=125°,ZB=105°,求N1+N2的度數

【解題思路】分別過A、8作4的平行線AC和8。，則可知AC〃/，。〃/1〃/2,再利用平行線的性質求得

答案.

【解答過程】解：如圖，分別過A、8作/|的平行線AC和。。，

：.AC//BD//l\//l2,

：.Z\=ZEAC,Z2=ZFBD,ZCAB+ZDBA=\SOa,

ZEAB+ZFBA=\25°+105°=230°,

???NEAC+NC4B+NOBA+/FBO=230°,

即N1+22+180°=230°,

【變式6-1](2021春?萊州市期末)(1)如圖1,a//b,則Nl+N2=180°

(2)如圖2,AB//CD,則Nl+/2+N3=360°,并說明理由

(3)如圖3,a//b,則/1+N2+N3+N4=540°

(4)如圖4,a//b,根據以上結論，試探究N1+N2+/3+N4+…+/〃=(〃-1)?180°(直接寫出

你的結論，無需說明理由)

AB

圖2

r\a

Gw

bb

圖3圖4

【解題思路】（1）根據兩直線平行，同旁內角互補解答；

（2）過點E作然后根據兩直線平行，同旁內角互補解答；

（3）過N2、N3的頂點作。的平行線，然后根據兩直線平行，同旁內角互補解答；

（4）過N2、N3…的頂點作。的平行線，然后根據兩直線平行，同旁內角互補解答.

【解答過程】解：（1）

.,.Zl+Z2=180°；

（2）過點E作EF//AB,

*：AB//CD,

C.AB//CD//EF,

???N1+/A￡尸=180°,

ZCEF+Z3=180°,

r.zi+ZAEr+zCEF+z3=iso°+180°,

即N1+N2+N3=36O°；

（3）如圖，過N2、/3的頂點作〃的平行線，

則Nl+N2+N3+N4=180°X3=540°；

（4）如圖，過N2、N3…的頂點作。的平行線，

則/1+N2+N3+/4+…+/〃=（n-I）-180°.

故答案為：180°：360°；540°；（/i-1）*180°.

【變式6-2]（2021秋?金鳳區校級期末）如圖1,己知ZB=30°,ZD=120°：

（1）若N￡=60°,則/〃=；

（2）請探索/E與Nb之間滿足的數量關系？說明理由：

（3）如圖2,已知EP平分NBEF,FG平令上EFD、反向延長尸G交E『于點P,求的度數.

【解題思路】(1)如圖I,分別過點E,“作E用〃A-FN//AB,根據平行線的性質得到N3=N3EM

=30°,ZMEF=ZEFN,ZD+ZDFN=\S0°,代入數據即可得到結論；

(2)如圖1,根據平行線的性質得到/8=N8￡M=30°,NMEF=/EFN,由A8〃CO,AB//FN,得

到。。〃硒，根據平行線的性質得到/。+/。皿=180°,于是得到結論；

(3)如圖2,過點尸作H/〃EP,設,則N&7)=(2x+30)°,根據角平分線的定義得到

NPEF=〃BEF=x。,ZEFG=^ZEFD=(x+15)°,根據平行線的性質得到/以/二/七"/：/,

/P=/HFG,于是得到結論.

【解答過程】解：(1)如圖1,分別過點E,尸作用必〃A3,FN//AB,

：.EM//AB//FN,

???N8=N8EM=30°,ZMEF=ZEFN,

又???48〃CQ,AB〃FN,

：.CD//FN,

???/。+/。硒=180°,

又???/。=120。,

AZDF^=60°,

:./BEF=NMEF+30°,NEFD=NEFN+60。,

???ZEFD=ZMEF+GO0

：.ZEFD=ZBEF+30a=90"；

故答案為：90°；

(2)如圖1,分別過點E,尸作EM〃4&FN//AB,

：,EM//AB//FN.

，/B=NBEA7=30°,NMEF=NEFN,

又"：AB〃CD,AB//FN,

:.CD〃FN,

：.ZD+ZDFN=}S00,

又???/￡)=120°,

:,ZDFN=60°,

AZBEF=ZMEF+300，NEFD=NEFN+60”,

，NEFD=NMEF+6(y：

/.ZEFD=ZBEF+3O0；

(3)如圖2,過點F作FH//EP,

由(2)知，/EFD=NBEF+30°,

設N8EF=2x°，KZEFD=(2x+30)°,

VEP平分NBEF,GF平分NEFD,

???NPEF=、NBEF=x。，NEFG=NEFD=(x+15)°，

■:FH//EP,

：.ZPEF=ZEFH=x°,NP=N”FG,

VZHFG=ZEFG-ZEFH=15°,

.\ZP=15°.

【變式6-3]（2021春?研口區期末）已知直線E廠分別交直線4B、CD于點G、H,Nl+N2=180°.

（1）如圖I,求證：AB//CD；

（2）如圖2,〃、N分別為直線A4、。。上的點，P、Q為直線AB、CO之間不同的兩點，ZPMQ=2

/BMQ,/PNQ=2/DNQ,NMQN=30°.

①求證：PM工PN；

②如圖3,NEG8的平分線GL與NMPN的鄰補角NM尸丁的平分線PL交于點L,NPNH的平分