專題L7全等三角形的九大經典模型【九大題型】

【浙教版】

?題型梳理

【題型1平移模型】.............................................................................1

【題型2軸對稱模型】...........................................................................3

【題型3旋轉模型】.............................................................................4

【題型4一線三等角模型】......................................................................6

【題型5倍長中線模型】.........................................................................8

【題型6截長補短模型1........................................................................................................................10

【題型7手拉手模型】..........................................................................12

【題型8角平分線模型】........................................................................15

【題型9半角全等模型】........................................................................16

，舉一反三

【知識點1平移模型】

【模型解讀】把aABC沿著某一條直線1平行移動，所得到4DEF與aABC稱為平移型全等三角形，圖①,

圖②是常見的平移蟄全等三角線.

圖①

【常見模型】

【例1】（2023春映西咸陽?八年級統考期末）如圖，將沿BC方向平移得到ADEF,使點8的對應點E恰

好落在邊8c的中點上，點C的對應點?在BC的延長線上，連接力D,AC.DE交于點0.下列結論一定正確的

是（）

A.LB=LFB.ACLDEC.BC=DFD.AC.DE互相平分

【變式1-1]（2023?浙江?八年級假期作業）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點。

為AE的中點，AB=CD,BC=DE.

（1）求證：△ABC沿ACDE；

（2）瘠△A8C沿射線AC方向平移得到△ABC,邊夕C'與邊CZ）的交點為尸，連接ER若即將CDE分

為面積相等的兩部分，且48=4,則CF=_

【變式1-2]（2023春?重慶?八年級校考期中）如圖，將△48C沿射線BC方向平移得到△DCE,連接80交4C于

點、F.

（2）若AB=9,BC=7,求的取值范圍.

【變式1-3]（2023春?八年級課時練習）已知△48C,AB=AC,^ABC=^LACB,將△ABC沿BC方向平移得

到ADEr.如圖,連接BD、AF,則BDAF（填“>"y喊“=”）,并證明.

【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對

稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.

【常見模型】

【題型2軸對稱模型】

【例2】（2023春?河北邯鄲?八年級校考期末）如圖，在長方形力BCD中，點M為CO中點，將△M8C沿翻

折至AM8E,若乙4ME=a,乙ABE=0,則a與￡之間的數量關系為（）

A.a+3/?=180°B./?-a=20°C.a+/?=80°D.3p-2a=90°

【變式2-1]（2023?全國?八年級專題練習）如圖，將RSABC沿斜邊翻折得到△ADC,點E,F分別為DC,

BC邊上的點，且NEAF=：NDAB.試猜想DE,BF,EF之間有何數量關系，并證明你的猜想.

【變式2-2]（2023春?山東青島?八年級統考期中）如圖，在R3WC中，1=90°,將zL48c沿48向下翻折

后，再繞點A按順時針旋轉a度（aV乙4BC）.得到R￡A4DE,其中斜邊4E交8C于點心直角邊DE分別48、BC

于點G,H

（1）請根據題意用實線補全圖形；（不得用鉛筆作圖）.

（2）求證：AAFB=AAGE

(2)知識遷移：如圖2,在四邊形ABCO中，ZA/9C+Z?=180°,AB=AD,E,尸分別是邊8C,C。延長

線上的點，連接AE,AF,且NZMQ=2NEA凡試寫出線段BE,EF,。尸之間的數量關系，并說明理由.

(3)實踐創新：如圖3,在四邊形48CQ中，NA8c=90。，AC平分NOA3,點七在A8上，連接CE,

且ND48=NOCE=60。，若DE=a,AD=b,AE=c,求BE的長.(用含a,b,c的式子表示)

[變式3-1](2023春?八年級課時練習)如圖，等邊△43c中，乙4。8=115。,"OC=125。,則以線段04,08,。。

為邊構成的二角形的各角的度數分別為

【變式3-2](2023春?全國?八年級專題練習)已知，如圖1,四邊形是正方形，E,F分別在邊8C、CD

上，且NE4F=45°.

A

-------|D//\/

\/\X\7t

/1I7

GBECF

mi圖2

(I)在圖I中，連接后尸，為了證明結論“ET=EE+。尸”，小亮將ZU。尸繞點A順時針旋轉90。后解答了這個

問題，請按小亮的思路寫出證明過程；

(2)如圖2,當NE4/繞點乂旋轉到圖2位置時，試探究EF與。尸、8E之間有怎樣的數顯關系？

【變式3-3](2023春.江蘇?八年級專題練習)如圖，在銳角A48c中，△4=60。，點。，E分別是邊A8/C上

一動點，連接BE交直線CO于點F.

AAA

M

N.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若AB>AC,曰.BD=CE,乙BCD=^CBE,求4C7?五的度數;

（2）如圖2,若/1BFC,且BD=AE,在平面內將線段4C繞點C順對針方向旋轉60。得到線段CM,連接MF,

點N是MF的中點，連接CN.在點D,E運動過程中，猜想線段B居C居CN之間存在的數量關系，并證明你

的猜想.

【知識點4一線三等角模型】

【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD_LDE,AB1AC,CE±DE,那么一定有NB二NCAE.

【題型4一線三等角模型】

【例4】（2023春?山東前澤?八年級校聯考階段練習）（1）如圖1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

直線，〃經過點（AQ_L直線5，。足1_直線機，垂足分別為點￡＞、E.求證：△ABD^ACAE-

（2）如圖2,將（1）中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D.4、E三點都在直線〃?上，并且有N8D4

=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結論△A3。且△CAE是否成立？如成立，請給出證

明；若不成立，請說明理由.

（3）拓展應用：如圖3,D,E是D,A,E三點所在直線機上的兩動點（。，A,E三點互不重合），點產

為N84C平分線上的一點，且448尸和△AC尸均為等邊三角形，連接BQ,CE,^ZBDA=ZAEC=ZBAC,

求證：AOE廠是等邊三角形.

【變式4-1］（2023?浙江?八年級假期作業）如圖，在AABC中，A3=AC=9,點E在邊AC上，AE的中垂線

交BC于點。，若NAOE=N8,CD=3BD,則CE等于（)

A.3B.2D-i

【變式4-2］（2023春?上海?八年級專題練習）通過對數學模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學習,

解決下列問題:

圖1圖2圖3

［模型呈現］如圖I,Z-BAD=90°,AB=AD,過點B作14C于點C,過點。作OE_L4c于點E.求證:

BC=AE.

［模型應用］如圖2,力土工/^且7^二人氏8。_1。。且8。=。0,請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所

圍戌的圖形的面積為

［深入探究］如圖3,/-BAD=^CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且BC14F于點凡DE與

直線力廣交于點G.若8c=21,AF=12,則AADG的面積為

【變式4-3］（2023春?八年級課時練習）（1）課本習題回放："如圖①，^ACB=90°,AC=BC,AD1CE,

BEICE,垂足分別為>E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的長”，請直接寫出此題答案：BE的長為

（2）探索證明：如圖②，點B,C在NMAN的邊AM、4N上，AB=AC,點E,尸在ZM/N內部的射線AO上，

KzBED=ZCFD=￡.BAC.求證：LABE=LCAF.

（3）拓展應用：如圖③，在A4BC中，AB=AC,AB>8C.點D在邊8C上，CD=2BO,點E、F在線段力。上,

乙BED=LCFD=LBAC.若ZL48c的面積為15,則△46與A3DE的面積之和為.（直接填寫結果,

不需要寫解答過程）

A

BM

【知識點5倍長中線模型模型】

【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加

輔助線.所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形

的有關知識來解決問題的方法.

【常見模型】

【題型5倍長中線模型】

【例5】（2023春?甘肅慶陽?八年級校考期末）小明遇到這樣一個問題，如圖1,中，AB=7,AC=5,

點。為BC的中點，求AD的取值范圍.小明發現老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線

法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題

的方法，他的做法是：如圖2,延長4。到E,使OE=AD,連接BE,構造△BED會△CAD,經過推理和計

算使問題得到解決.請回答：

（1）小明證明/BED=△&4D用到的判定定理是:_（用字母表示）;

(2)/40的取值范圍是」

(3)小明還發現：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構造.參考小明思考

問題的方法，解決問題：如圖3,在△■員;中，力。為BC邊上的中線，且AD平分/44C,求證：AB=AC.

【變式5-1】(2023春?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱風華中學校考期中)如圖，a/lBC中，點。在AC上，力。=

3"B+AC=10,點E是BD的中點，連接CE,/ACB=4ABC+24BCE,則CZ)=.

【變式5-2](2023春?全國?八年級階段練習)如圖，AB=AE,力B1/IE,=AC,力。14C,點M為BC的

【變式5-3](2023.江蘇?八年級假期作業)【觀察發現】如圖①，中，"=7,AC=5,點、D為BC

的中點，求4。的取值范圍.

小明的解法如下：延長AO到點E,使。E=A。，連接C￡.

(BD=DC

在乙人笈八與4ECD^ADB=乙EDC

(AD=DE

/.ECD(SAS)

：,AB=.

XV^AAECH-1EC-ACCAECEC+AC,而A/=FC=7,AC=5,

,<AE<.

又?,?4E=2AD

,<AD<.

【探索應用】如圖②,A例CO,AB=25,CD=8,點后為BC的中點，N。/芯=N3A￡,求的長為.(直

接寫答案)

【應用拓展】如圖③，NBAC=60。，ZCDE=120°,AB=AC,DC=DE,連接BE,P為BE的中點，求證:

APA.DP,

【知識點6截長補短模型】

【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關系。截長:指在長線段中截取一段等于已知線

段:補短:指將短線段延長，延長部分等于已知線段。該類題目中常出現等服三角形、角平分線等關鍵詞

句，可以采用截長補短怯構造全等二角形來完成證明過程，截長補短法(往往需證2次全等)。

【模型圖示】

(1)截長:在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。

例：如圖，求證BE+DC=AD；

方法:①在AD上取一點F,使得AF=BE,證DF二DC;②在AD上取一點F,使DF=DC,證AF二BE

(2)補短:將短線段延長，證與長線段相等

【題型6截長補短模型】

【例6】(2023?浙江?八年級假期作業)如圖①，△ABC^^BDC是等腰三角形，且48=AC,BD=CD,^BAC=

80。，^BDC=100°,以D為頂點作一個50。角，角的兩邊分別交邊48.4。于點E、F,連接EE

（1）探究5E、EF、FC之間的關系，并說明理由；

（2）若點E、F分別在48、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則8E、EF、FC之間存在什么樣的

關系？并說明理由.

【變式6-1]（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖，△A3C中，ZZJ=2ZA,ZACZ7的平分線CD交A"于點Z）,

已知AG16,BC=9,則8D的長為（）

A.6B.7C.8D.9

【變式6-2]（2023春?八年級課時練習）在△88。中，BE,CO為△的角平分線，BE,C。交于點￡

（1）求證：乙BFC=90。+：乙4；

（2）已知乙4=60°.

①如圖1,若BD=4,BC=6.5,求CE的長；

②如圖2,若Bf=4C,求乙4EB的大小.

【變式6-3］（2023春?全國?八年級專題練習）閱讀下面材料：

【原題呈現】如圖1,在△A3C中，N4=2N8,CO平分NAC8,AQ=2,2,AC=3.6,求8c的長.

【思考引導】因為C。平分NAC8,所以可在3c邊上取點已使￡C=4C,連接。￡.這樣很容易得到

△DECZADAC,經過推理能使問題得到解決（如圖2）.

【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現中的問題；

（2）拓展提升：如圖3,已知AABC中，AB=AC,ZA=20°,8D平分NABC,BD=23,BC=2.求4。的

長.

【知識點7手拉手模型】

【模型解讀】如圖，AABC是等腰三角形、4ADE是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE=^。結論：ABAD^ACAEo

【模型分析】手拉手模型常和旋轉結合，在考試中作為幾何綜合題目出現。

【題型7手拉手模型】

【例7】（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖，是一個銳角三角形，分別以4B、4c為邊向外作等邊三

角形AABD、^ACE,連J妾BE、CO交于點尸，連接力打.

(1)求證:^ABE^hADC；

⑵求"”的度數；

⑶求證：AF平分4DFE.

【變式7-1](2023春?上海?八年級專題練習)如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和AOEC直角頂點

重合在點C處，連接4E、8。，點A恰好在線段B。上.

(1)我出圖中的全等三角形，并說明理由；

(2)猜想4E與8。的位置關系，并說明理由.

【變式7-2](2023?江蘇?八年級假期作業)如圖，若2\力。8和均為等腰直角三角形,"C8=zDCE=90。,

點A、。、E在同一條直線上，CM為△OCE中DE邊上的高，連接BE.

(1)求證：AACD"BCE；

(2)若CM=2,BE=3,求力E的長.

【變式7-3](2023春?全國?八年級專題練習)已知ZiABC,分別以AB、AC為邊作△48。和△ACE,且A。

=AB,AC=AE,^DAB=ZCAE,連接DC與BE,G、尸分別是DC與BE的中點.

(1)如圖1,若ND48=60°,則N4/G=

(2)如圖2,若ND4B=90。，則NAFG=；

(3)如圖3,若NDA8=a,試探究NAR7與a的數量關系，并給予證明.

【知識點8角平分線模型】

模型一：如圖一，角平分線+對稱型

圖一

利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構造對稱全等三角形，

可以得到對應邊、對應角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉移,這是經常使用的一種解題技巧。

【理論依據】：三邊對應相等的三角戲是全等三角形(SSS)、全等三角形對應角相等

模型二：如圖二，角平分線+垂直兩邊型

如圖二

【幾何語言】：???0C為NAOB的隹平分線,D為0C上一點DE_LOA,DF_LOB

AACEDg△OFD(AAS),

ADE=DF

模型三：如圖三，角平分線+垂直平分線型

【說明】構造此模型可以利用等腰三角形的三線合一,也可以得到兩個全等的直角三角形，進而

得到對應邊、對應角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合?聯系了起來。

模型四：如圖四，角平分線+平行線型

.M

如圖四

【說明】有角平分線時，常過角平分線上一點作角的有邊的平行線,構造等腰三角形，

為證明結論提供更多的條件，體現了角平分線與等腰三角形之間的密切關系。

【題型8角平分線模型】

【例8】（2023春?浙江?八年級期中）如圖，4ABC的外角NDAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點,

PD_LAB于D,PE_LAC于E.

（1）求證：BD=CE；

（2）若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長.

【變式8-1］（2023春?八年級課時練習）如圖，ZkABC的外角NACO的平分線CP與內角NA3c平分線3P

交于點P，若NBPC=36°,則NCAP=.

【變式8-2］（2023春?江蘇?八年級專題練習）如圖，△ABC中，4B=4C,ZBAC=90°,CO平分/AC8,

BELCD,垂足七在CO的延長線上.求證：BE=^CD.

B

【變式8-3](2023春?八年級課時練習)⑴如圖I,射線8平分NMON,在射線OM,QV上分別截取

線段04,OB,使04=05,在射線OP上任取一點。，連接AD,BD.求證：AD=BD.

(2)如圖2,在M△A8C中，ZACB=90°,ZA=60°,CQ平分NAC8,求證：BC=AC+AD.

(3)如圖3,在四邊形A8QE中，AB=9,DE=\,BD=6,。為8。邊中點，若AC平分N84E,EC平分NAEQ,

ZACE=\2G0,求AE的值.

【知識點9半角模型】

【模型解讀】如圖：已知NZ^NAOB,OA=OB

【說明】連接PB,將aFOB繞點0旋轉至aFOA的位置，連接FE、FE,可得△()￡口也△OEF

【題型9半角全等模