專題8.2實數二十六大考點

【北師大版】

【考點1求算術平方根、平方根、立方根】.......................................................1

【考點2利用算術平方根的非負性求值】.........................................................3

【考點3估算算術平方根的取值范圍】............................................................5

【考點4求算術平方根的整數部分或小數部分1..........................................................................7

【考點5與算術平方根有關的規律探究】.........................................................9

【考點6己知平方根、算術平方根或立方根，求該數】............................................11

【考點7利用平方根、立方根解方程】...........................................................13

【考點8已知平方根、算術平方根、立方根求參數】..............................................16

【考點9平方根、算術平方根、立方根的實際應用】..............................................18

【考點9實數、無理數的概念】................................................................20

【考點10實數的大小比較】.....................................................................23

【考點11實數與數軸】.........................................................................24

【考點12程序框圖中的實數運算】..............................................................26

【考點13新定義中的實數運算】................................................................29

【考點14實數的運算】.........................................................................32

【考點15實數運算的規律探究】................................................................35

【考點16實數運算的應用】.....................................................................37

【考點17二次根式的概念】.....................................................................40

【考點18二次根式杓意義的條件】..............................................................41

【考點19利用二次根式的性質化簡】............................................................43

【考點20同類二次根式的概念】................................................................45

【考點21二次根式的混合運算】................................................................47

【考點22二次根式的化簡求值】................................................................50

【考點23二次根式的應用】.....................................................................52

【考點24二次根式中的新定義府題】............................................................56

【考點25利用分母有理化求值】................................................................60

【考點26二次根式中的閱讀理解類問題】........................................................66

》會涪一共三

【考點1求算術平方根、平方根、立方根】

【例I】（2022?海南省直轄縣級單位?七年級期中）0.16的算術平方根是,儂的平方根是.

【答案】0.4±V5

【分析】根據求一個數的算術平方根與平方根進行計算即可求解.

【詳解】0.16的算術平方根是0.4,V25=5,則任的平方根是士通

故答案為：0.4,土通

【點睛】本題考查了求?個數的算術平方根與平方根，理解平方根與算術平方根的定義是解題的關鍵.平

方根：如果一個數的平方等于a,那么這個數就叫。的平方根，其中屬于非負數的平方根稱之為算術平方根.立

方根：如果一個數的立方等于a,那么這個數叫做Q的立方根.

【變式1?1】（2022?云南?景洪市第三中學七年級期中）計算正確的是（）

A.Vl=±lB.-VO^l=0.9C.V9=±3D.V（-3）2=3

【答案】D

【分析】直接利用立方根以及算術平方根的定義分別分析得出答案

【詳解】解：

A、V1=1,故本選項不符合題意；

B、-x/O.81=-0.9,故本選項不符合題意；

C、g=3,故本選項不符合題意；

D、J（-3）2=3,故本選項符合題意

故選:D

【點睛】此題主要考查了立方根及算術平方根，正確把握相關定義是解題關鍵.

【變式1-2]（2022?全國?八年級專題練習）若〃?是169的正的平方根，〃是121的負的平方根，求：

⑴〃1十〃的值；

（2）（m+n）之的平方根.

【答案】（1）2

（2）12

【分析】（1）根據平方根的定義求出"人〃的值，然后代入計算即可求解;

（2）先求出（m+九）*的值，然后再根據平方根的定義進行求解.

（1）

回（±13）2=169,加是169的正的平方根,

回〃2=13,

2

0（±11）=121,〃是121的負的平方根，

團〃=-11,

M+〃=13+(-11)=2：

(2)

0/7?+/?=2

2,2

0(m4-n)=4=(±2),

0(m+n)’的平方根是±2.

【點睛】本題考查了平方根的定義，一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有

平方根，熟記一些常用的平方數是解題的關鍵.

【變式1-3](2022?湖南?八年級跑元測試)一27的立方根與9的平方根之和為()

A.0B.6C.0或一6D.0或6

【答案】C

【分析】依據平方根和立方根求得這兩個數，然后利用加法法則計算即可.

【詳解】解：-27的立方根是-3,9的平方根是±3,

-3+3=0,-3+(-3)=-6.

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是立方根和平方根，熟練掌握立方根和平方根的意義是解題的關鍵.

【考點2利用算術平方根的非負性求值】

【例2】(2022?全國?八年級專題練習)已知實數a,b,。滿足(a?2產+|2加6|+用底=0.

⑴求實數。，乩c的值；

(2)求\a-3h+c的平方根.

【答案】(1)。=2,b=-3,c=5

(2)Va-3b+c的平方根為±2

【分析】(1)根據非負性可知，(。-2戶=0,|2H6|=0,V5^?=0,求出a,b,。的值；

(2)由(1)得〃=2,b=-3,c=5,將小h,c代入求解即可.

(1)

解：□(a-2)2+|2Z?+6|+V5-c=0,

0(?-2)2=0,12Z?+61=0,y/5—c=0,

故選:D.

【點睛】本題主要考查了平方根的求解，結合絕對值、二次根式的非負性計算是解題的關鍵.

【變式2-3]（2022?廣東湛江?八年級期末）已知|2020?—2021=，〃,求m-202。2的值.

【答案】〃？?20202=2021

【分析】根據算術平方根的非負性確定a的范圍，進而化簡絕無?值，再根據平方根的定義求得代數式的值.

【詳解】解：0m-2021>0,

0/?>2021?

02C2O-m40,

團原方程可化為：〃??2020+Vm-2021=〃?,

0Vni-2O21=2O2O,

即?-2021=20202,

囹〃l20207=2021.

【點睛】本題考查了算術平方根的非負性，化簡絕對值，平方根的定義，根據算術平方根的非負性確定。

的范圍化簡絕對值是解題的關鍵.

【考點3估算算術平方根的取值范圍】

【例3】（2022?全國?八年級專題練習）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形,

則大正方形的邊長最接近的整數是（）

【答案】A

【分析】根據算術平:方根的概念結合正方形的性質得出其邊長，進而得出答案.

【詳解】解：團用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，

回大正方形的面積為：9+9=18,

則大正方形的邊長為：718,

團>幅<V18<

04<V18<4.5,

回大正方形的邊長最接近的整數是4.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了算術平方根，正確掌握算術平方根的定義是解題關鍵.

【變式3-1］（2022?全國?七年級專題練習）數軸上表示下列各數的點，能落在A,8兩個點之間的是（）

A.-V3B.V7

C.VT1D.V13

【答案】B

【分析】首先確定A,B對應的數，再分別估算四個選項的數值進行判斷即可.

【詳解】解：由數軸得，A點對應的數是1,B點對應的數是3,

A.-2<-'/3<-l,不符合題意；

B.2<V7<3,符合題意；

C、3<V11<4,不符合題意；

D.3<V13<4,不符合題意；

故選：B

【點睛】本題主要考查了對無理數的估算.

【變式3-2］（2022?天津?九年級期末）估計6-2的值在（）

A.0到1之間B.1到2之間C.2到3之間D.3至4之間

【答案】A

【分析】先判斷舊的取值范圍，從而得出近-2的取值范圍.

【詳解】022<（V7）2<32

P12<V7<3?

00<V7-2<1,

即a一2在。到1之間，

故選A.

【點睛】本題考查二次根式的估算，常見方法有2種：平方法去根號比較、將整數轉化到根號內比較.

【變式3-3］（2022?重慶?八年級期中）估計更|出的值在（）

A.1到2之間B.2至IJ3之間C.3至Ij4之間D.4至U5之間

【答案】B

【分析】根據二次根式值的估算辦法，可得結果.

【詳解】解：03<V13<4,

04</13+1<5,

團2<華”，

22

故手的值在2到3之間，選B.

【點睛】本題考查了實數的估計大小，掌握放縮法估計實數的大小是解題的關鍵.

【考點4求算術平方根的整數部分或小數部分】

【例4】（2022?上海徐匯?七年級階段練習）JIT的整數部分是.小數部分是.

【答案】3VTT-3

【分析】根據算術平方根的整數部分和小數部分求解的方法直接進行求解即可.

【詳解】解：09<11<16,

（33<ar<4,

團ar的整數部分為3,

回ar的小數部分為“I-3：

故答案為3,V11-3.

【點睛】本題主要考查算術平方根，熟練掌握求一個算術平方根的整數部分和小數部分是解題的關鍵.

【變式4-1]（2022?浙江?七年級階段練習）6-近！的小數部分為a,7+VTT的小數部分為4則

（a+6）2。18=.

【答案】1

【分析】先分析m介于哪兩個整數之間，再分別求出6-ar和7+ar介于哪兩個整數之間，即可求出6-

ar和7+ai的整數部分，然后用它們分別減去它們的整數部分得到a砌），代入即可.

【詳解】解：1?13<VTT<4

（2110<7+A/11<11,-3>-Vn>-4

團3>6-vn>2

團7+41的整數部分為10,6-vli的整數部分為2,

0?=6-VT1-2=4->/11

/?=7+VTI-io=V1T-3

代人得：

2018

（Q+6）2018=（4-V1I+711-3）

=1?018

=1

【點睛】此題考查的是實數（帶根號）的整數部分和小數部分的求法.

【變式4-2］（2022?重慶市力盛經濟技術開發區漆州中學七年級期中）已知面=1=3,3“-計1的平方?根

是±4,c是的整數部分，求o+H2c的平方根.

【答案】±5

【分析】分別根據算術平方根、平方根的意義，無理數的估算求出。、b、。的值，即可求出2c的值，

根據平方根的意義即可求解.

【詳解】解：0V2a-1=3,

02c-1=9,

解得：。=5,

036-b+1的平方根是±4,

（315-岳1=16,

解得:b=0,

aVioo<V113<7121,

010<VT13<ll,

配=10,

0?+Z?+2c=5+0+2x10=25,

2c的平方根為±癡=±5.

【點睛】本題考查了算術平方根、平方根的意義，無理數的估算，熟知算術平方根、平方根的意義是解題

關鍵.

【變式4?3】（2022?江蘇?八年級）設2+連的整數部分和小數部分分別是x、y,試求x、y的值與x-1的算術

平方根.

【答案】V3.

【詳解】試題分析：先找到幾介于哪兩個整數之間，從而找到整數部分，小數部分讓原數減去整數部分，

然后代入求值即可.

試題解析；因為4VGV9,所以2<y3V3,

即后的整數部分是2,

所以2+后的整數部分是4,小數部分是2+76-4=76-2,

即x=4,y=V6-2?所以Vx—1=V4—1=V3.

考點：1.估算無理數的大小；2.算術平方根.

【考點5與算術平方根有關的規律探究】

【例5】(2022?山東莉澤?八年級期中)將一組數V5,瓜3,康5/15........."按下面的方法進行排

列：

V3V63V12V15

V18V21V24x^27V30

若的位置記為(1,4),舊的位置記為(2,3),則這組數中最大的有理數的位置記為()

A.(14,4)B.(14,5)C.(15,5)D.(16,1)

【答案】C

【分析】依據每組數的排列規律，設“=廝，這列數中最大的有理數為這=735^75,從而得出九=75,

根據每行5個數進一步求解即可.

【詳解】解：設=癡，

an

回該列數中，最大的有理數為回，

團3M=225,即九=75,

回每行5個數，

團加云在第15行第5列，

團這組數中最大的有理數的位置記為：(15,5),

故選：C.

【點睛】本題主要考查了數字的規律探索，正確找出相應規律是解題關鍵.

【變式5-1](2022?全國?八年級專題練習)閱該下列材料：

(1)求下列各數的算術平方根：

70.000004=0.002,70.0004=0.02,V0?04=0.2,四=2,7400=20,

根據以上材料填空：V40000=_.V4000000=_.

(2)已知&=1.414,直接寫出：45而=______,7200=_____,720000=.

【答案】20020000.141414.14141.4

【分析】（1）觀察被開方數和算術平方根小數點的位置，即可求解；

（2）根據（1）中的規律，從被開方數和算術平方根小數點的移動位置考慮，即可求解：

【詳解】解：（1）由所提供的各數算術平方根的變化規律可知，當被開方數獷大（縮小）100倍，10000

倍，1000000倍......則其結果就擴大（縮小）10倍，100倍，1000倍……

所以，40000=200,74000000=2000,

故答案為：200,2000；

（2）由（1）的規律可得，

\/^02=0.1xV2=0.1414,7200=1072=14.14,720000=100^141.4,

故答案為:0.1414,14.14,141.4.

【點睛】本題考杳了算術平方根的規律，解題的關鍵是從小數點移動的位數來考慮.

【變式5-2］（2022?黑龍江?齊齊哈爾市第二十八中學七年級期中）觀察下列各式：

用字母〃表示出一般規律是.（〃為不小于2的整數）

【答案】步U=n.住;（〃為不小于2的整數）

【分析】分析被開方數的變換規程即可求得

【詳解】解：1、觀察4個等式左邊根號內分數的特點：

①整數部分與分數部分的分子相等，即2=2,3=3,4=4,5=5,

②整數部分與分數部分的分母有下列關系：7=23-1,26=33-1,63=43-1,124=53-1,

2、觀察四個等式右邊的立方根前的倍數正好是等式左邊被開方數的整數部分，立方根里的分數正好是左邊

被開方數的分數部分，所以其中的規律可以表示為步與二八3壬（〃為不小于2的整數）

故答案為：心目=n-缶鼻（〃為不小于2的整數）.

【點睛】本題考查了立方根的規律探究，分析被開方數的變換規律是解題關鍵.

【變式5-3］（2022?北京市十一學校二模）由IO?=100,1002=10000,我們可以確定是兩位數.根

據類似的想法，由于1225個位上的數是5,我們能確定丁生個位上的數是,如果只看1225的前兩

位12,而32=9,42=16,我們能確定依5十位上的數是.

【答案】53

【分析】根據題意，以題目給出的思路和方法進行推理得出答案，5的任何次方尾數均是5,則可求解①，

根據題意確定1225的平方根是兩位數，再根據3的平方和4的平方即可確定②.

【詳解】回5的任何次方尾數均是5,

01225的平方根的個位數是5,

032=9,42=16,9<12<16,

01225的平方根的十位數是3,

故答案為：5>3.

【點睛】考查了實數的意義，平方根的意義以及尾數的特征等知識，閱讀理解題目提供的解題方法是解答

本題的關鍵.

【考點6已知平方根、算術平方根或立方根，求該數】

【例6】（2022?山西臨汾?七年級期中）若正數a的兩個平方根分別是3+2和2%-5,則a的值為.

【答案】9

【分析】根據一個正數的兩個平方根互為相反數可得出工的值，再根據。=（%+2）2即可解題.

【詳解】團正數。的兩個平方根分別是x+2和2%-5

av+2+Zv-5=O,

解得：x=l.

0a=（x+2/=32=9

故答案為：9.

【點睛】本題考查了平方根的知識，屬于基礎題，注意掌握一個正數的兩個平方根互為相反數.

【變式6-1］（2022?福建?古田縣三田中學八年級階段練習）若一個數的平方根和立方根都是它的本身，則

這個數是（）

A.0B.1C.0或1D.。或±1

【答案】A

【分析】根據一個數的平方根是它的本身的數是0,一個數的立方根是它本身的數是-I或0或1,進行解

答即可.

【詳解】002=0,

團一個數的平方根是它的本身的數是0,

003=0,（-1）3=-1,13=1,

團一個數的立方根是它本身的數是-1或。或1,

同一個數的平方根和立方根都是它本身的數為0,

故選A.

【點睛】本題考杳平方根和立方根的性質，牢記一個數的平方根是它的本身的數是0,一個數的立方根是它

本身的數是?1或0或1,是解題的關鍵.

【變式6-2]（2022?江蘇?八年級專題練習）若。的算術平方根為17.25,b的立方根為-8.69：x的平方根為

±1.725,，的立方根為86.9,則（）

A，乂=總a，y=一1000匕B.x=^a,y=100b

C.x=100a,y=^aD.x=-^a,y=-100b

【答案】A

【分析】根據平方根、算術平方根和立方根的定義求出八〃、、的值，再找出關系即可.

x1y

【詳解】解：M的算術平方根為17.25,〃的立方根為應.69,

團。=297.5625,3656.234909.

取的平方根為±1.725,丁的立方根為86.9,

取=2.975625,"656234.909,

0%=擊a,y=-1000Z?.

故選：A.

【點睛】本題考查了對平方根、算術平方根和立方根的運用.解題的關鍵是掌握平方根、算術平方根和立

方根的定義.

【變式6-3]（2022?河南?平頂山市第三中學七年級期中）若4-2〃與%+1是同一個正數的兩個平方根.

⑴求。的值；

⑵求這個正數.

【答案】（1）?=-5；

⑵這個正數為196.

【分析】(1)根據一個正數的兩個平方根互為相反數解答即可：

(2)由。的值可求得這個正數.

(1)

解：由題意得:4-2a+3a+l=0,解得°=-5,

答：。=-5；

(2)

解：當a=-S,

04-2?=4-2x(-5)=14,

團這個正數為14?=196.

【點睛】本題考杳平方根，理解平方根的定義是正確解答的前提，掌握一個正數兩個平方根的特征是正確

解答的關鍵.

【考點7利用平方根、立方根解方程】

【例7】(2022?江蘇?八年級專題練習)求下列等式中的x；

(1)若％2=196,Mx=；(2)若/=?J,則％=.

(3)若/=(一5)2,則工=：(4)若(一%)2=1.21,則刀=.

【答案】±14±|±5±1.1

【分析】(1)根據平方根的定義，由(±14)2=196,可得％的值；

(2)根據平方根的定義，由(±目2=(|)2=￡可得%的值；

(3)根據平方根的定義，由(±5>=(-5)2=25,可得」的值:

(4)根據平方根的定義，由(±1.1)2=1.21,可得》的值.

【詳解】(1)0(±14)2=196

(Ux=±14

故答案為：±14

⑵％士?餒

以=±1

故答案為：±5

(3)0(±5)2=(一5產

0x=±5

故答案為：±5

(4)0(±1.1)2=1.21

團X=±1.1

故答案為：±1.1

【點睛】考核知識點：平方根.理解平方根的定義是關鍵.

【變式7-1](2022?黑龍江?拜泉縣第三中學七年級階段練習)用學過的知識解方程

(1)8(%+I)3=-125

(2)4(%-2)2-121=0

【答案】(1比=一(

(2)%=7，x2=

【分析】(1)采用開立方的方法即可求解；

(2)采用開平方的方法即可求解.

(1)

8(%+1)3=-125

-125

(x+I)3=

3

(x+I)3=

5

x+1=--

2

(2)

4("2尸-121=0

4a—2產=121

(x-2)2=—

4

(%-2)2=(y)

11

x-2=±—

11

x=2±-

乙

即均=7*%2=

即方程的解為:X]若,%2=l

【點睛】本題考查了利用開立方和開平方的方法求解方程，掌握開平方和開立方的知識是解答本題的關鍵.

【變式7-2】(2022?黑龍江鶴崗?七年級期末)5+V7TT=3.

【答案】-9

【分析】先將5移到等式右邊，與3合并，兩邊再立方，即可求出x的值.

【洋解】解：5+vm=3

y/x+1=-2

x+l=-8

x=-9

【點睛】本題考查了關于立方根的方程，熟練掌握立方根的性質是解決本題的關鍵.

【變式7-3](2022?湖北?監利市玉沙初級中學七年級階段練習)解方程：

(l)x3+27=0：

(2)16(%-2『-9=0.

【答案】⑴％=—3

⑵彳=芳或%=；

【分析】(1)根據求立方根的方法解方程即可;

(2)根據求平方根的方法解方程即可.

(1)

解：以3+27=0,

0X3=-27,

0%=—3；

(2)

解：016(%-2)2-9=0,

016(x-2)=9,

限-2)2=3

0x-2=±-4,

0X=?或X=

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【點睛】本題主要考查了利用求平方根、求立方根的方法解方程，熟知求平方根和立方根的方法是解題的

關鍵.

【考點8己知平方根、算術平方根、立方根求參數】

【例8】2022?吉林四平?七年級期中)已知2a-1的平方根是±3,a+3b-1的算術平方根是4.

(1)求人%的值；

⑵求ab+5的平方根.

【答案】(l)a=5,方=4；

(2)±5.

【分析】(1)根據平方根，算術平方根的定義，求解即可；

(2)根據平方根定義，求解即可.

⑴

解：回2a-1的平方根是±3,a+3b-1的算術平方根是4.

02a-1=9,a+3b-l=16,解得a=5,b=4.

(2)

解：當a=5,Q4時，"+5=25，而25的平方根為±而=二5,

即，必+5的平方根是±5.

【點睛】此題主要考查平方根和算術平方根，解題的關鍵是熟知平方根，算術平方根的定義.

【變式8-1](2022?福建廈門?七年級期中)已知Q2=81,VF=-2,則怎7.

【答案】1

【分析】利用平方根和立方根的意義求得a,b的值，將a,b的值代入利用算術平方根的意義計算即可.

【詳解】解:0a2=81,

團Q=±9,

回時=-2,

助=-8,

0b-a>0,

0a=-9,b=-8,

團辦一a=y/1=1.

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了平方根、立方根和算術平方根的意義，根據題意正確確定字母的值是解題的關鍵.

【變式8-2]（2022?四川?自貢市田家炳中學七年級期中）已知k2的平方根土3,Zr+"7的立方根是3,試

求7%-3y的立方根.

【答案】V31

【分析】首先根據平方根和立方根的定義求出-y的值，再把小y的值代入要求的式子，然后根據立方根

的定義即可得出答案.

【洋解】由題得：比二巴一

解蹴二

田y7工-3y=V7X7-3x6=V31

【點睛】此題主要考查了求一個數的立方根和平方根的定義，解題的關鍵是正確理解立方根和平方根的定

義.

【變式8-3]（2022?江西?上饒市廣信區第七中學七年級期中）已知2a-1的算術平方根是g,3Q+6-1的

立方根是3.

（1）求a,。的值；

（2）求a+b的平方根.

【答窠】（l）a=9,b=l

（2）±V10

【分析】（1）根據算術平方根和立方根的定義進行求解:

（2）由（1）將a,8的值代入求解即可.

(1)

解：回2a-1的算術平方根是g,3a+b-l的立方根是3,

02G-1=17,3Q+"1=27,

團a=9,b=l.

(2)

解：由(1)知a=9,b=l,

（3Q+6=9+1=10,

加+b的平方根是±6不.

【點睛】本題考查實數的應用，準確地理解算術平方根，立方根和平方根的定義是解決問題的關健.

【考點9平方根、算術平方根、立方根的實際應用】

【例9】（2022?山西呂梁?七年級期末）如圖，在數學活動課上，小穎制作了一個表面積為30cm2的無?蓋?正

方體紙盒，這個正方體紙盒的棱長是（）

C.VlOcmD.V30cm

【答案】B

【分析】根據題意得：這個正方體紙盒的每個面的面枳為30+5=6cm2,再根據算術平方根的性質，即可

求解.

【詳解】解：根據題意得：這個正方體紙盒的每個面的面積為30+5=6cm?,

回這個正方體紙盒的棱長是否cm.

故選：B

【點睛】本題主要考查了求一個數的算術平方根，熟練掌握算術平方根的性質是解題的關鍵.

【變式9-1］（2022?安徽?潛山市羅漢初級中學七年級階段練習）交通警察通常根據剎車時后車輪滑過的距

離住計車輛行駛的速度.在某高速公路上，常用的計算公式是廿=256?/+1）,其中v表示車速（單位；

km/h）,d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：m）,/表示摩擦系數，/=1.25.在調查這條高速公路的一

次交通事故中，測得d=19.2m,求肇事汽車的速度大約是多少.

【答案】肇事汽車的速度大約是80km/h

【分析】將d,/的值代入公式計算出戶的值，再根據算術平方根的定義可得答案.

【詳解】解：當f=L25,d=19.2時,

v2=256（df4-1）=256x（19.2x1.25+1）=6400,

0v=76400=80.

答：肇事汽車的速度大約是80km/h.

【點睛】本題考查了算術平方根，解題的關鍵是掌握算術平方根的定義.

【變式9-2］（2022?福建福州?七年級期末）某學校有一塊長、寬分別為38m和16m的長方形空地，計劃沿

邊建造一個長寬之比為5:3且面積為540m2的長方形標準籃球場，請判斷該學校能否用這塊長方形空地建造

符合要求的籃球場？并說明理由.

【答案】不能，理由見解析

【分析】通過用同一未知數表示由籃球場的長和寬，列方程進行求解.

【詳解】解：不能，理由如下：

設長方形標準籃球場的長為5皿〃.寬為3x〃i,

由題意得：5.VX3X=540,

解得：x=-6（舍去）或6,

即長方形標準籃球場的長為30,〃，寬為18”

012/〃>16/〃，

回該學校不能用這塊長方形空地建造符合要求的籃球場.

【點睛】此題主要考查了算術平方根，正確得出x的值是解題的關鍵.

【變式9-3］（2022?新疆?烏魯木齊市第九中學七年級階段練習）如圖，有一個長方體的水池長、寬、高之

比為2：2：4,其體積為160005）3.

⑴求長方體的水池長、寬、高為多少？

⑵當有?個半徑為，?的球放入注滿水的水池中，溢出水池外的水的體積為水池體積的白，求該小球的半徑為

60

多少（TX取3,結果精確到0.01cm）?

【答案】（1）長方體的水池長、寬、高為：20cm,20cm,40cm：

⑵該小球的半徑為4.05cm.

【分析】（1）設長方體的水池長、寬、高為2工，2x,4.v,根據長方體體積公式列方程，根據立方根定義即

可求解，問題得解；

（2）設該小球的半徑為rem,根據溢出水池外的水的體積為水池體積的之列方程，解方程即可求解.

60

（1）

解：回有一個長方體的水池長、寬、高之比為2：2：4,其體積為16000cm3,

回設長方體的水池長、寬、高為2心4X,

02A?2A?4.r=16000,

016.？=16000,

SAJ=1000,

解得：x=10,

回長方體的水池長、寬、高為：20cm,20cm,40cm；

（2）

解：設該小球的半徑為/rm,

由題意得-nr3=—xl6000,

360

0?=—xl6000x-,

604

加4.05,

答：該小球的半徑為4.05cm.

【點睛】本題考查了立方根的應用，熟知立方根的意義，根據題意列出方程是解題關鍵.

【考點9實數、無理數的概念】

【例9】（2022?山東青島?八年級期中）下列各數1.414,V36,20n,瓜8.181181118…按規律排列），

3.1415926中是無理數的有（）個.

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】分別根據無理數、有理數的定義逐個判定即可.

【詳解】解；1.414,3.141592G,是有限小數，屬于有理數；回=G,是整數，屬于有理數；

:是分數，屬于有理數；無理數有20兀，瓜8.181181118…按規律排列）共3個.

故選A.

【點睛】本題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數.

【變式9-1］（2022?福建?晉江市南僑中學八年級階段練習）關于“g〃，下列說法不正確的是（）

A.它是一個無理數B.它可以用數軸上的一個點表示

C.它可以表示面積為19的正方形的邊長D.它不是實數

【答案】D

【分析】分別根據無理數的定義、數軸的意義、正方形面積公式，實數的分類判斷即可.

【詳解】解：A、內是一個無理數，說法正確，故此選項不合題意；

B、g可以用數軸上的一個點來表示，說法正確，故此選項不合題意；

C、g可以表示面積為19的正方形的邊長，利用正方形的面積公式S=Q2可以驗證此說法正確，故選項c

不合題意；

D.同是一個無理數，自然也是實數，說法不正確，故此選項符合題意.

故選D.

【點睛】本題主要考查了無理數的定義、數軸的意義，正方形面積公式，實數的分類，掌握相關概念是解

題的關鍵.

【變式9-2］（2022?黑龍江齊齊哈爾?七年級期中）設〃?為大于1且小于100的整數，則〃?的平方根中，屬

于無理數的個數有（）

A.92個B.180個C.182個D.184個

【答案】B

【分析】1至100之間，除去完全平方數，余下的數字的平方根均為無理數.

【詳解】1至100之間（不含1和100）共計有98個數，完全平方數有4、9、16、25、36、49、64、81,

共計8個數，

則余下的數有98-8=90個數，

則m可以取的數有90個，

這90個數的平方根有180個，且都是無理數，

故選:B.

【點睛】本題考查了無理數以及平方根的知識.無限不循環的小數是無理數，找到〃?可以取值的個數是解

答本題的關鍵.

【變式9-3](2022?江蘇?泰州市姜堰區第四中學七年級)把下列各數分別填入相應的集合里.

-|-5|,|-||,0,-3.14,y,+1.99,-(-6),2TT,-12.101001…(每兩個1之間。的個數依次增加1)

⑴負數集合：｛...):

⑵非負整數集合：｛

⑶分數集合：｛...｝;

⑷無埋數集合：｛

【答案】⑴一|一5|,-3.14,-12.101001…(每兩個1之間。的個數依次增加1)

⑵0,-(-6)

(3)卜翡一3.143,1.99

⑷2%一12.101001…

【分析】根據實數的分類進行判斷即可，有理數包括：整數(正整數、。和負整數)和分數(正分數和負分

數)，無限不循環小數是無理數，即可求解.

(1)

解住-|-5|=-5,|-||=1,-(-6)=6,

負數集合：｛一|一5|,-3.14,-12.101001…(每兩個1之間0的個數依次增加1)...｝；

(2)

解31-|-5|=-5,|-||=|,-(-6)=6,

非負整數集合：{0,-(一6)...}

(3)

解泛-|-5|=-5,|-||=|,-(-6)=6,

分數集合:｛卜1-3.14,手,1.99...｝：

(4)

解我—|—5|=—5,—|=',-(-6)=6,

無理數集合：｛271,-12.101001-(每兩個1之間。的個數依次增加1)...)

【點睛】本題考查了實數的分類，認真掌握正數、負數、整數、分數、正有理數、負有理數、非負數的定

義與特點，注意整數和正數的區別，注意0是整數，但不是正數無限不循環小數是無理數是解題的關鍵.

【考點10實數的大小比較】

【例10]（2022?安徽合肥?七年級期末）下列四個數中最小的實數是（）

A.0B.—nC.-2D.-3

【答案】B

【分析】根據實數的大小比較法則：正數>0>負數；然后根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，即可

得到答案.

【詳解】解:團正數>0>負數，

回較小的三個數為：一兀、-2、-3,

（21|-2|<|-3|<|-7r|,

團最小的數是-7T.

故選：B.

【點睛】本題考查了實數的大小比較，屬于基礎題，掌握實數大小比較的法則是關鍵.

【變式10-1]（2022?福建福州?七年級期中）比較大小：V376.（用">"或連接）

【答案】>

【分析】根據6=V36<同進行判斷得到答案.

【詳解】06=^6<V37

（21V37>6

故答案為：>.

【點睛】本題考查實數大小的判斷，解題的關鍵是熟練掌握平方根的相關知識.

【變式10-2]（2022?湖北?測試?編輯教研五八年級階段練習）四個實數一2,0,1,企中最大的實數是（）

A.-2B.0C.1D.V2

【答案】D

【分析】根據正數大于0,0大于負數，再估算出企的值即可判斷出最大的實數.

【詳解】W：vl<2<4,

1<V2<2,

在四個實數一2,0,1,企中，

???V2>1>0>-2,

???最大的數是：V2,

故選:D.

【點睛】本題考查了實數大小比較，算術平方根，準確估算出血的值是解題的關鍵.

【變式10-3】（2022?遼寧阜新?八年級期末）比較大小：當_____”填">〃"V"或"=〃）.

24

【答案】V

【分析】將兩數分別平方后，再比較大小即可.

【洋解】解：畔>0,;>0,

嶗"合備d

釁）2<（滬

解V三.

24

故答案為：<.

【點睛】本題考查了算術平方根，實數的大小比較，熟練掌握平方運算比較大小是解題的關鍵.

【考點11實數與數軸】

【例II】（2022?廣東韶關實驗中學九年級期中）己知實數小匕在數軸上的位置如圖所示，下列結論中正

確的是（）

II??11A

-2-1（）b1

A.a>bB.\a\<\b\C.ab>0D.-a>b

【答案】D

【分析】由數軸上點的位置可知a<0<b,|a|>|b|,據此逐一判斷即可.

【詳解】解：由數軸上點的位置可知aVOVb，|a|>依，

0ab<0,-a>b,

（3四個選項中只有D選項正確，

故選D.

【點睛】本題主要考查了實數與數軸，正確根據數軸得到a<0<b,|a|>聞是解題的關鍵.

【變式11?1】（2022?內蒙古?烏海市第二中學七年級期中）如圖，在數軸上表示-1,-&的對應點為A,B,

若點A是線段3C的中點，則點C表示的數為.

【答案】夜-2##-2十y/2

【分析】設C表示的數是x,根據A是線段4c的中點，列出算式，求出x的值即可.

【詳解】解：設C表示的數是居

團4是8C中點，

MB=AC,

即《—（―1）=—1—（―V2）>

故答案為：V2-2.

【點睛】本題考查了實數與數軸、線段的中點.解題的關鍵是理解線段中點的含義.

【變式11-2】（2022?安徽?蕪湖市第二十九中學七年級期中）如圖，己知直徑為1個單位長度的圓形紙片上

的點A與數軸上表示.1的點重合，若將該圓形紙片沿數軸滾動一周（無滑動）后點A與數軸上的點4重合,

【答案】Tr-lnJc-n-1

【分析】計算圓的周長為m分4,在-1的左邊與右邊兩種情形討論即可求解.

【詳解】解：團圓的周長為7TXl=7r,

根據題意，點H表示的數為一1+n■或一1一小

故答案為：-1+萬或一1一萬.

【點睛】本題考查了實數與數軸，理解題意，分類討論是解題的關鍵.

【變式11-3】（2022?湖南?八年級單元測試）若實數a的位置如圖所示，則a、-a、工、a2,的大小關系是

a------

（用〈號連接）

■■■1?

-1a01

【答案】VQ2<-Q

【分析】根據實數a在數軸上的位置將-a，二小表示在數軸上，比較大小即可.

a

【詳解】解：???一1VQV0

0<-a<1

又,QHO兩邊同時乘以-Q

???a2<-a

va>—1,a主0兩邊同時除以-Q

1

???-1>-

a

綜上所述：-<a<a2<-a

a

故答案為：-<a<a2<-a.

a

【點睛】本題考查了求一個實數的相反數，倒數，實數大小的比較，數形結合是解題的關鍵.

【考點12程序框圖中的實數運算】

【例12】（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖是?個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖下面說法

正確的是（）

A.輸入值”為16時，輸出y值為4

B.輸入任意整數，都能輸出一個無理數

C.輸出值y為百時，輸入值》為9

D.存在正整數，輸入x后該生成器一直運行，但始終不能輸出y值

【答案】D

【分析】根據運算規則即可求解.

【詳解】解回A.輸入值x為16時，亞％=4,V4=2,即盧VL故A錯誤；

B.當工=0,1時，始終輸不出），值.因為0,1的算術平方根是0，1,一定是有理數，故B錯誤;

C.x的值不唯一.m3或片9或81等，故C錯誤；

D.當x=l時，始終輸不出y值.因為1的算術平方根是1,一定是有理數：故D正確；

故選（3D.

【點睛】本題考查了算術平方根及無理數的概念，正確理解給出的運算方法是關鍵.

【變式12-1】（2022?福建廈門?七年級期中）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面

說法：

輸入x

取算術平方根

輸出y

①當輸出值），為或時，輸入值x為2或4；

②當輸入值x為9時，輸出值），為百；

③對于任意的正無理數y,都存在正整數x,使得輸入x后能夠輸出），；

④存在這樣的正整數-輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值.

其中正確的是.

【答案】②④##④②

【分析】根據流程圖逆向分析即可判斷①，把x=9代入流程圖判斷②；通過特殊值法排除③；當卡1時判

斷④.

【詳解】解：①?當》=16時，V16=4,"=2,2取算術平方根為a，輸出值y為a，則輸入值x為2

或4或16等，故①不符合題意；

②6=3,3取算術平方根為百，輸出值y為故②符合題意；

③如時，/是正無理數不是正整數，輸出值y為乃是正無理數，故③不符合題意；

④當