試驗一初步認識MATLAB和控制系統仿真

一、試驗目的

1.熟悉MATLAB桌面和命令窗口，掌握MATLAB仿真軟件的使用措施。

2.掌握控制系統數學模型的多種描述措施及其仿真實現和互相轉換。

3.熟悉控制系統仿真常用口勺MATLAB函數。

二、基礎知識及MATLAB函數

Matlab是一種功能強大的數值計算、符號運算工具。我們可以很以便地處理線性代

數中的矩陣計算，方程組的求解，微積分運算，多項式運算，偏微分方程求解，記錄與

優化等問題。

MATLAB語言以向量和矩陣為基本的數據單元，包括流程控制語句(次序、選擇、

循環、條件、轉移和暫停等)，大量的運算符，豐富的函數，多種數據構造，輸入輸出

以及面向對象編程。這些既可以滿足簡樸問題的計算，也適合于開發復雜的大型程序。

MATLAB不僅僅是一套打好包附函數庫，同步也是一種高級於J、面向對象的編程語言。

使用MATLAB可以卓有成效地開發自己FI勺程序，MATLAB自身H勺許多函數，實際上也

包括所有的J工具箱函數，都是用M文獻實現口勺。

1、啟動MATLAB命令窗口

計算機安裝好MATLAB之后,雙擊MATLAB圖標,就可以進入命令窗口(Command

Window),此時意味著系統處在準備接受命令的狀態，可以在命令窗口中直接輸入命令

語句。

MATLAB語句形式

＞變量=體現式;

通過等丁符號將體現式口勺值賦予變量。當鍵入回車鍵時，該語句被執行。語句執行

之后，窗口自動顯示出語句執行H勺成果。假如但愿成果不被顯示，則只要在語句之后加

上一種分號（；）即可。此時盡管成果沒有顯示，但它仍然被賦值并在MATLAB工作空

間中分派了內存。

2、常用函數

1）常用的數學運算符

+,—,*（乘），/（左除）,\（右除），A（第）

2）常用數學函數

abs,sin,cos,tan,asin,acos,atan,sqrt,exp.imag,real,signJog,leg10,conj（共扼復數）等

3）多項式處理函數

①在MATLAB中，多項式使用降幕系數的行向量表達，如：多項式

x4-12x3+0.r2+25x4-116

表達為：p=[l-12025116],使用函數roots可以求出多項式等于0的根,根用列向

量表達。若已知多項式等于。的根，函數poly可以求出對應多項式。

r=roots（p）

r=

11.7473

2.7028

-1.2251+1.4672i

-1.2251-1.4672i

p=poly（r）

P=

-12-025116

②多項式的運算

?相乘conv

a=(l23];b=|12]c=conv(a,b)=l476

conv指令可以嵌套使用，如conv(conv(a,b),c)

?相除deconv

Iq,r]=deconv(c,b)

q=l23%商多項式

r=000%余多項式

?求多項式H勺微分多項式polydcr

polyder(a)=22

?求多項式函數值polyval(p,n)：將值n代入多項式求解。

polyval(a,2)=l1

③多項式的擬合

?多項式擬合乂稱為曲線擬合，其目的就是在眾多口勺樣本點中進行擬合，找出滿足

樣本點分布口勺多項式。這在分析試驗數據，將試驗數據做解析描述時非常有用。

?命令格式：p=polyfit(x,y,n),其中x和y為樣本點向量，n為所求多項式的J階數,

p為求出的多項式。

④多項式插值

?多項式插值是指根據給定的有限個樣本點，產生此外的估計點以到達數據更為平

滑的效果。所用指令有一維的interpl、二維的Jinterp2、三維區Iinterp3o這些指

令分別有不一樣日勺措施(method),設計者可以根據需要選擇合適時措施，以滿

足系統屬性口勺規定。Helppolyfun可以得到更詳細口勺內容。

y=intcrpl(xs,ys,x,,method,)

?在有限樣本點向量xs與ys中，插值產生向量x和y,所用措施定義在method

中，有4種選擇：

?nearest：執行速度最快，輸出成果為直角轉折

?linear：默認值，在樣本點上斜率變化很大

?spline：最花時間，但輸出成果也最平滑

?cubic：最占內存，輸出成果與spline差不多

4)繪圖函數

plot(x1,y1,optionI,x2,y2,option2,??,)

xl,yl給出的數據分別為x,y軸坐標值，。ptionl為選項參數，以逐點連折線的方式

繪制I個二維圖形；同步類似地繪制第二個二維圖形，……等。

這是plot命令的完全格式，在實際應用中可以根據需要進行簡化。例如：

plot(y),以向量y日勺值為縱坐標，橫坐標從1開始自動賦值繪制一條平面曲線；

plot(x,y),x和y為長度相似的向量，以x的值為橫坐標和y的值為縱坐標繪制一

條平面曲線；

plot(x,y,s),這里s是作圖控制參數，用來控制線條的顏色、線型及標示符號等，

用一種單引號括起來的字符串表達，所繪制H勺曲線與第二種格式相似(控制參數字符請

參照Matlab的協助，這些參數可以組合使用)；

x=linspace(0,2*pi,100);%100個點H勺x座標

y=sin(x);%對應口勺y座標

plot(x,y);

這就畫出了正弦函數在［0,2打上口勺圖形

若要畫出多條曲線，只需將座標對依次放入plot函數即可：

plot（x,sin（x）,x,cos（x））；

該命令在同一坐標系中畫出了正弦和余弦函數的圖形。

gridon：在所畫出的圖形坐標中加入柵格

gridoff：除去圖形坐標中的柵格

holdon：把目前圖形保持在屏幕上不變，同步容許在這個坐標內繪制此外一種圖形。

holdoff：使新圖覆蓋舊口勺圖形

設定軸時范圍

axis（［xminxmaxyminymaxp

axis（4equal,）:將x坐標軸和y坐標軸肚J單位刻度大小調整為同樣。

文字標示

text（x,y/字符串'）

在圖形的指定坐標位置（x,y）處，標示單引號括起來日勺字符串。

gtext（'字符串'）

運用鼠標在圖形的某一位置標示字符串。

title（'字符串'）

在所畫圖形的最上端顯示闡明該圖形標題的字符串。

xlabel（，字符串'）,ylabel（，字符串'）

設置x,y坐標軸H勺名稱。

輸入特殊的文字需要用反斜杠（\）開頭。

legend（'字符串1','字符串2,，…，'字符串if）

在屏幕上啟動種小視窗，然后根據繪圖命令的先后次序，用對應的字符中辨別圖

形上H勺線。

subplot（mnk）：分割圖形顯示窗口

m:上下分割個數，n:左右分割個數，k:子圖編號

semilogx：繪制以x軸為對數坐標（以10為底），y軸為線性坐標的半對數坐標圖

形。

semilogy：繪制以y軸為對數坐標（以10為底），x軸為線性坐標的半對數坐標圖

形。

3、控制系統的模型

控制系統的I表達可用三種模型：傳遞函數、零極點增益、狀態空間。每一種模型又

有持續與離散之分。為分析系統以便有時需要在三種模型間轉換。MATLAB提供了多

種命令，使我們可以很以便的完畢這些工作，卜面以持續系統為例簡要闡明有關命令。

1）模型與表達式

①傳遞函數模型

G（S）=3+v、…

n

ans++…+4$+。0

在MATLAB中直接用矢量組表達傳遞函數的分子、分母多項式系數，即：

num=［bmbm-i...bo］；表達傳遞函數口勺分子多項式系數

den=lanan-i……ao］：表達傳遞函數的分母多項式系數

sys-tf（num,dcn）If命令將sys變量表達成傳遞函數模型0

②零極點增益模型

G(s)=k

(s-p1)(s-p2)...(s-

在MATLAB中用，、p、k矢量組分別表達系統的零點、極點和增益，即:

Z=[ZlZ2..........Zm]；

P=[PIP2……Pn]；

k=[k]；

sys=zpk(z,p,k)zpk命令將sys變量表達成零極點增益模型。

③狀態空間模型

x=ax+bu

y=ex+du

在MATLAB中用(a、b、c、d)矩陣組表達，然后

sys=ss(a,b,c,d)ss命令將sys變量表達成狀態空間模型。

2)模型間的轉換

在MATLAB中進行模型間轉換的命令有：

ss2tf>ss2zp>tf2ss>tf2zp、zp2tf>zp2ss

它們之間的作用可由下面日勺示意圖表達：

zp2ss

ss2zp

3)模型間的關系與系統建模

實際工作中常常需要由多種簡樸系統構成復雜系統，MATLAB中有下面幾種命令

可以處理兩個系統間的連接問題。

①系統的并聯

parallel命令可以實現兩個系統的并聯。命令格式：

[n,d]=parallel(m,di,nz,ch)

其中m、山和m、ch分別為gi(s)、g2(s)的傳遞函數分子、分母系數行矢量。

例將下面兩個系統并聯連接

/、3/、2s+4

&⑸二—rg2(s)=^~；--

5+4s+2s+3

執行下面程序：

m=[3]；

di=[14]；

n2=[24]；

d2=[123]；

[n,(J]=parallel(ni,di,(12)

運行成果：n=

05IX25

d=

161112

可得并聯后系統日勺傳遞函數為

,、5/+18S+25

g⑸7—+12

②系統的串聯

sciics命令實現兩個系統內串聯，命令格式：

[n,d]=series(m,di,02,d2)

③系統的反饋

feedback命令實現兩個系統f、J反饋連接，命令格式：

[n,d]=feedback(m,di,n??ch)

或：[n,d]=feedback(ni,di,na?(I2,sign)

其中sign是反饋符號,缺省時默認為負(即sign=-l)。

例設有下面兩個系統：

,、s+1,、1

s+2s+35+10

現要將它們負反饋連接，求傳遞函數

輸入：m=[1,1]；

di=[L2,3]；

n2=1;

d2=[L1()];

(n,d]=feedback(m,dun??d?)

運行成果：n=

01II10

d=

1122431

即所求系統為：g(s)=不

s+12s~+24s+31

三、試驗內容

1.已知6（s）=6、，G（s）=?言’分別求取0（s）和《（S）并聯、串聯以及

反饋連接時，系統的傳遞函數。

2.已知.⑸=,S+1,&（5）二三士1，分別求取6（s）和凡（S）并聯、

$2+2s+4-s+2

串聯以及反饋連接時，系統的傳遞函數。

3.將系統G（s）=2S2：8S：6；轉換為狀態空間形式。

s3+8.y24-1654-6

4.將卜列系統轉換為傳遞函數形式。

11

X=AX+BU,

A=-204,B=0,C=[010jD=0.

Y=CX+DU.

621。1M

四、試驗匯報

1.根據內容規定，寫出調試好於JMATLAB語言程序，及對應的JMATLAB運算成果。

2.用試驗成果闡明函數paral⑹與運算符“+”功能上的異同點。

3.寫出試驗的心得與體會。

五、預習規定

1.預習試驗中基礎知識，運行編制好的MATLAB語句，熟悉MATLAB指令及函

數。

2.結合試驗內容，提前編制對應的程序。

3.熟悉控制系統數學模型的體現及互相轉換。

試驗二經典環節的MATLAB仿真

一、試驗目的

1.熟悉MATLAB桌面和命令窗口，初步理解SIMULINK功能模塊口勺使用措施。

2.通過觀測經典環節在單位階躍信號作用下的動態特性，加深對各經典環節響應

曲線的理解。

3.定性理解各參數變化對經典環節動態特性的影響。

二、SIMULINK的使用

MATLAB中SIMULINK是一種用來對動態系統進行建模、仿真和分析的軟件包。

運用SIMULINK功能模塊可以迅速的建立控制系統口勺模型，進行仿真和調試。

1.運行MATLAB軟件，在命令窗口欄“2”提醒符下鍵入simulink命令，按Enter

鍵或在工具欄單擊警按鈕，即可進入如圖1-1所示的SIMULINK仿真環境下。

2.選擇File菜單下New下日勺Model命令，新建一種simulink仿真環境常規模板。

[jSiaulinkLibraryBrowserz區

Fil#WitH?lp

□GB；-Wfind-

0SinulinkA

1on11D?riv?tive

少Discontinuities

?Dizcr?taIntecrator

少Look-UpTabi。m

少X。W8u

HathOperationsy?Cx*PuSt“e-Spac。

「ModelVerification

力1

1Hodel-VideUtilitiesTransferFen

ZHPorts&Subsystemsri

》SignalAttributes

TransportDelay

ZHSi0ftlRouting囹

「Sinks

VariableTransport

少Sourcu囹D?l?y

「Vser-DefinedFunctions

01)

-0AerospaceBlocksetZero-Pole

??CDHAReferenceBlockzetV有

<'J>

函I_1CIMIIIINk佐百里而KI1.0至緯右拆區

3.在simulink仿真環境下，創立所需要H勺系統,

以圖1-2所示的系統為例，闡明基本設計環節如下:

1）進入線性系統模塊庫,構建傳遞函數。點擊simulink下歐J"Conlinuous”,再將

右邊窗口中“TransferFen"H勺圖標用左鍵拖至新建的J“unlillcd”窗口。

2）變化模塊參數。在simulink仿真環境uuntitled窗口中雙擊該圖標,即可變化

傳遞函數。其中方括號內的數字分別為傳遞函數的I分子、分母各次舞由高到低的系數，

數字之間用空格隔開；設置完畢后，選擇OK,即完畢該模塊口勺設置。

3）建立其他傳遞函數模塊。按照上述措施，在不一樣於Jsimulink的模塊庫中，建

立系統所需的傳遞函數模塊。例：比例環節用“Math”右邊窗口“Gain”的圖標。

4）選用階躍信號輸入函數。用鼠標點擊simulink下的'Source”,將右邊窗口中“Step”

圖標用左鍵拖至新建的“untitled”窗口，形成一種階躍函數輸入模塊。

5）選擇輸出方式。用鼠標點擊simulink下的J“Sinks”,就進入輸出方式模塊庫,一

般選用“Scope”的示波器圖標，將其用左鍵拖至新建的“unlilled”窗口。

6）選擇反饋形式。為了形成閉環反饋系統，需選擇“Math”模塊庫右邊窗口“Sum”

圖標，并用鼠標雙擊，將其設置為需要口勺反饋形式（變化正負號）。

7）連接各元件，用鼠標劃線，構成閉環傳遞函數。

8）運行并觀測響應曲線.用鼠標單擊工具欄中的“,”按鈕，便能自動運行仿真

環境下的系統框圖模型。運行完之后用鼠標雙擊"Scope”元件，即可看到響應曲線。

三、試驗原理

1.比例環節的傳遞函數為

7R

G(s)=--=--2-=-2R}=100K,R,=200A：

z\K\

其對應口勺模擬電路及SIMULINK圖形如圖1-3所示。

R2

rjnII?fv.lVT?-44-IdT7rmtr/

2.慣性環節的傳遞函數為

RJ

A《2

G($)=-/?,二100K,/?2=200K，G=Wf

z、RC+10.2s+1

其對應的模擬電路及SIMULINK圖形如圖1-4所示。

3.積分環節(I)的傳遞函數為

G(s)=-組=———=一一—R,=100K，G=\uf

11

2X/?,C,50.15

其對應的模擬電路及SIMULINK圖形如圖1-5所示。

4.微分環節(D)的傳遞函數為

7

G(s)=--^-=-RCs=-s凡=100K，G=104C?C=0.014

z1[[2X

其對應的模擬電路及SIMULINK圖形如圖1-6所示。

n>du/dt--1

StepDerivativeScope

5.比例+微分環節(PD)的傳遞函數為

7R

G(s)=----=----(R、C[S+1)=—(0.Is+1)

ziRi

/?!=/?,=100K，G=\0ufC2?G=0.01w/

其對應的模擬電路及SIMUL1NK圖形如圖1-7所示。

6.比例+積分環節(PI)的傳遞函數為

7凡+1

G(.y)=工=---------L-=-(l+-)/?,=R,=100K,G=10///

Z(A1s

StepDerivative

其對應的J模擬電路及SIMULINK圖形如圖1-8所示。

StepIntegrator

1771?clzZrM.±T1八fn。nrrvvR71TTZ

四、試驗內容

按下列各經典環節的傳遞函數，建立對應的SIMULINK仿真模型，觀測并記錄其

單位階躍響應波形。

①比例環節G1")=1和G|(s)=2；

②慣性環節Gl⑸=—ftG2(5)=一!一

s+10.5s+1

③積分環節5($)=%

④微分環節G[(s)=s

⑤比例+微分環節(PD)5(5)=$+2和62(5)=5+1

⑥比例+積分環節(PI)G(s)=1+幺和G？(s)=l+%?

五、試驗匯報

1.畫出各經典環節『'JSIMULINK仿真模型。

2.記錄各環節的I單位階躍響應波形，并分析參數對響應曲線的影響。

3.寫出試驗的I心得與體會。

六、預習規定

1.熟悉多種控制器的原理和構造，畫好將創立的SIMULINK圖形。

2.預習MATLAB中SIMULINK的基本使用措施。

試驗三線性系統時域響應分析

一、試驗目的

1.純熟掌握step()函數和impulse()函數H勺使用措施，研究線性系統在單位階

躍、單位脈沖及單位斜坡函數作用下的響應。

2.通過響應曲線觀測特性參量《和生對二階系統性能的影響。

3.純熟掌握系統的穩定性的判斷措施。

二、基礎知識及MATLAB函數

()基礎知識

時域分析法直接在時間域中對系統進行分析，可以提供系統時間響應的所有信息，

具有直觀、精確的特點。為了研究控制系統H勺時域特性，常常采用瞬態響應(如階躍響

應、脈沖響應和斜坡響應)。本次試驗從分析系統時性能指標出發，給出了在MATLAB環

境下獲取系統時域響應和分析系統的動態性能和穩態性能的措施。

用MATLAB求系統口勺瞬態響應時，將傳遞函數的分子、分母多項式口勺系數分別以s

內降累排列寫為兩個數組num、den。由于控制系統分子H勺階次m一般不不小于其分母的

階次n,因此num中H勺數組元素與分子多項式系數之間自右向左逐次對齊，局限性部分

用零補齊，缺項系數也用零補上。

1.用MATLAB求控制系統的瞬態響應

1)階躍響應

求系統階躍響應的指令有：

step(num,den)時間向量1的范圍由軟件自動設定，階躍響應曲線隨即繪出

step(num,den,t)時間向量t的范圍可以由人工給定(例如1=0:0.1:10)

[y?x]=s(cp(num,dcn)返回變量y為輸出I可量，x為狀態向量

在MATLAB程序中，先定義num,den數組，并調用上述指令，即可生成單位階躍輸

入信號卜甘J階躍響應曲線圖。

考慮下列系統：

C(s)二25

R(s)s2I45I25

該系統可以表達為兩個數組，每一種數組由對應口勺多項式系數構成，并且以s的降嘉排

列。則MATLAB的調用語句:

num=[()025];%定義分子多項式

den-[l425];先定義分母多項式

step(num,den)先調用階躍響應函數求取單位階躍響應曲線

grid%畫網格標度線

xlabcl('t/s'),y】abcl('at)')%給坐標軸加上闡明

title(4Unit-stepRespinseofG(s)=25/(sA2+4s+25)^)%給紹形加上標題名

則該單位階躍響應曲線如圖2-1所示:

為了在圖形屏幕上書寫文本，可以用toxt命令在圖上H勺任何位置加標注。例如:

text(3.4,-0.06,'Yf)和text(3.4,1.4,,Y2,)

第一種語句告訴計算機,在坐標點x=3.4,y=-0.06上書寫出'Y1'。類似地，第一

個語句告訴計算機，在坐標點x=3.4,y=1.4上書寫出‘Y2'。

若要繪制系統t在指定期間（OTOs）內的響應曲線，則用如下語句:

num=[0025J;

den=[l425];

t=0:0.1:10;

step(num,den,t)

即可得到系統口勺單位階躍響應曲線在0-10s間的部分，如圖2-2所示。

2）脈沖響應

①求系統脈沖響應的指令有:

impulse(num,den)時間向量i的范圍由軟件自動設定，階躍響應曲線隨即繪出

impulse(num,dcn,t)時間向量t的范圍可以由人工給定（例如t=0:0.1:10）

[y,x]=inipiilse(num,den)返回變量y為輸出向量，x為狀態向量

|y,x,t]=impulse(num,den,t)向量i表達脈沖響應進行計算的時間

例：試求下列系統的單位脈沖響應:

2G(s)=1

R(s)52+0.25+1

在MATLAB中可表達為

nuin=[00U；

dcn=[10.21]；

impulse(num.den)

grid

title(4Unit-impulseResponseofG(s)=1/(sA2+0.2s+1),)

由此得到日勺單位脈沖響應曲線如圖2-3所示:

②求脈沖響應的另一種措施

應當指;II,當時始條件為零時，G(s)口勺單位脈沖響應與sG(s)口勺單位階躍響應相似。

考慮在上例題中求系統的I單位脈沖響應，由于對于單位脈沖輸入量，R⑸=1因此

史2=c(.v)=G(s)=]

-i--------------------X—

A(s)52+0.2.v+1+0.2s+1s

因此，可以將G⑸的單位脈沖響應變換成sG(s)口勺單位階躍響應。

向MATLAB輸入下列nun和den?

給出階躍響應命令，可以得到系統的單

位脈沖響應曲線如圖2-4所示。

num=[O10];

den=[l0.21];

step(num,den)

圖2-4單位脈沖響應口勺另一種表達法

grid

title(4Unit-stepResponseof

sG(s)=s/(sA2+0.2s+l)')

3)斜坡響應

MATLAB沒有直接調用求系統斜坡響應的功能指令。在求取斜坡響應時，一般運

用階躍響應的指令。基于單位階躍信號的拉氏變換為1隔而單位斜坡信號的拉氏變換

為1人2。因此，當求系統G(s)H勺單位斜坡響應時，可以先用s除G(s),再運用階躍響應

命令，就能求出系統的斜坡響應。

例如，試求下列閉環系統的單位斜坡響應。

C(5)I

R(s)S2+5+1

對丁?單位斜坡輸入量，R(s)-l/s?,因此

~、1111

C")=-----------X—=------------x-

S~+5+1S~(5~+S+1)5S

在MATLAB中輸入如下命令，得到如圖2-5所示H勺響應件線：

num=[()001];

den=[l110|:

step(num,dcn)

title(4Unit-RampResponseCuveforSystemG(s)=l/(s”+s+l)')

I￥1O_XMWrntfnrt#

2.特性參量，和%對二階系統性能的影響

原則二階系統的閉環傳遞函數為：

C(s)二就

2

R(s)s+ns+co1

二階系統的單位階躍響應在不一樣的特性參量下有不一樣的響應曲線。

1)4對二階系統性能的影響

設定無阻尼自然振蕩頻率0“=Kruells),考慮5種不一樣日勺4值：，=0,0.25,0.5,1.0

和2.0,運用MATLAB對每一種《求取單位階躍響應曲線，分析參數4對系統的影響。

為便于觀測和比較，在一幅圖匕繪出5條響應曲線(采用“hold”命令實現)。

num-[O01J;denl-[l0IJ;den2-[l0.51J;

dcn3=[l11];dcn4=[121];den5=[l41];

t=():().1:1();step(num,denl,t)

grid

text(4,l.7,,Zeta=0,);hold

step(num,den2,t)

text(3.3,1.5,'0.25')

step(num,den3,t)

text(3.5,1.2/0.5,)

stcp(nuin,dcn4,t)

text(330.9,'1.()')

step(num,den5,t)

text(3.3,0.6,20')

title(4Step-ResponseCurvesfbrG(s)=1/[sA2+2(zeta)s+1]5)

由此得到的響應曲線如圖2-6所小：

IX/1nr《F…止NdrtJiR,小M

2）。“對二階系統性能的影響

同理，設定阻尼比4=0.25時，當叫分別取1,2,3時，運用MATLAB求取單位階躍

響應曲線，分析參數以對系統的影響。

numl=[()01];denl=[l().51];

t=0:0.1:10;step(numl,denl,t);

grid;holdon

text(3.1,1.4,,wn=r)

num2=[004];den2=[1141;

step(num2,den2,t);holdon

text(1.7,1.4,,wn=2,)

num3=[009];dcn3=[l1.59];

step(num3,den3,t);holdon

text(0.5,1.4,，wn=3,)

由此得到的響應曲線如圖2-7所示：

圖2-7q“不一樣步系統的響應曲

3.系統穩定性判斷

I)直接求根判穩roots()

控制系統穩定的充要條件是其特性方程H勺根均具有負實部。因此，為了鑒別系統的

穩定性，就規定出系統特性方程的根，并檢查它們與否都具有負實部。MATLAB中對

多項式求根的函數為roots()函數。

若求如下多項式於J根s'+10s'+35/+505+24,則所用口勺MATLAB指令為：

?roots([1,10,35,50,24])

ans=

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

特性方程日勺根都具有負實部，因而系統為穩定H勺。

2)勞斯穩定判據routh()

勞斯判據的I調用格式為：[r,info]=routh(den)

該函數的功能是構造系統的勞斯表。其中，den為系統的分母多項式系數向量，r

為返回日勺routh表矩陣，info為返回矽Jroulh表的附加信息。

以上述多項式為例，由routh判據鑒定系統的穩定性。

den=[l,10,35,50,24];

[r,info]=routh(den)

13524

10500

30240

4200

2400

info=

由系統返回的routh表可以看出，其第一列沒有符號的變化，系統是穩定的。

3)赫爾維茨判據hurwitz()

赫爾維茨的調用格式為：H二hunvilz(den)。該函數的功能是構造hurwitz矩陣。

其中，den為系統H勺分母多項式系數向量。

以上述多項式為例，由hurwitz判據鑒定系統的穩定性。

?den=[l,10,35,50,24];H=hurwitz(den)

H=

10500C

135240

01050C

013524

由系統返回的hurwitz矩陣uj以看出，系統是穩定的。與前面的分析成果完全一致。

注意:routh()和hurwitz()不是MATLAB中自帶的功能函數，須加載ctrllab3.1

文獻夾(自編)才能運行。

三、試驗內容

1.觀測函數step()和impulse()日勺調用格式，假設系統的傳遞函數模型為

?)=4寸叱7__

s+4s，+6s?+4s+1

可以用幾種措施繪制出系統的階躍響應曲線？試分別繪制。

2.對經典二階系統

G(s)=

s+2血s+%

1)分別繪出g,=2(rad/s),＜分別取0,0.25,0.5』.。和2.()時矽J單位階躍響應曲線,

分析參數4對系統的J影響，并計算《=0.25時口勺時域性能指標。/,,"冊,

2)繪制出當？=0.25,%分別取1,2,4,6時單位階躍響應曲線，分析參數以對系統

向影響。

3.系統的特性方程式為2/+1+352+55+10=(),試用三種判穩方式鑒別該系統

「勺穩定性。

4.單位負反饋系統的開環模型為

G(s)=

(s+2Xs+4)(/+6s+25)

試分別用勞斯穩定判據和赫爾維茨穩定判據判斷系統口勺穩定性，并求出使得閉環系統穩

定『'JK值范圍。

四、試驗匯報

1.根據內容規定，寫出調試好時MATLAB語言程序，及對應歐JMATLAB運算成果。

2.記錄多種輸出波形，根據'成驗成果分析參數變化對系統的影響。

3.總結判斷閉環系統穩定的措施，闡明增益K對系統穩定性的影響。

4.寫出試驗的I心得與體會。

五、預習規定

1.預習試驗中基礎知識，運行編制好口勺MATLAB語句，熟悉MATLAB指令及stepO

和impulse()函數。

2.結合試驗內容，提前編制對應H勺程序。

3.思索特性參量，和紜對二階系統性能口勺影響。

4.熟悉閉環系統穩定的充要條件及學過口勺穩定判據。

試驗四線性系統的根軌跡

一、試驗目的

1.熟悉MATLAB用于控制系統中的某些基本編程語句和格式。

2.運用MATLAB語句繪制系統的根軌跡。

3.掌握用根軌跡分析系統性能的圖解措施。

4.掌握系統參數變化對特性根位置的影響。

二、基礎知識及MATLAB函數

根軌跡是指系統的某一參數從零變到無窮大時，特性方程的根在s平面上的變化軌

跡。這個參數一般選為開環系統的增益K。書本中簡介的手工繪制根軌跡的措施，只能

繪制根軌跡草圖。而用MATLAB可以以便地繪制精確日勺根軌跡圖，并可觀測參數變化

對特性根位置的影響。

假設系統的對象模型可以表達為

G(s)=KGo(s)=K

系統的閉環特性方程可以寫成

l+Kq(s)=O

對每一種K的取值，我們可以得到一組系統H勺閉環極點。假如我們變化K的數值，則

可以得到一系列這樣的極點集合。若將這些K的取值下得出口勺極點位置按照各個分支連

接起來，則可以得到某些描述系統閉環位置的曲線，這些曲線又稱為系統的根軌跡。

1)繪制系統的根軌跡rlocus()

MATLAB中繪制根軌跡的函數調用格式為：

rlocus(num,den)開環增益k的范圍自動設定。

rlocus(num,den,k)開環增益k的范圍人工設定。

rlocus(p,z)根據開環零極點繪制根軌跡。

r=rlocus(num.den)不作圖，返回閉環根矩陣。

|r,k|=rlocus(num,den)不作圖，返回閉環根矩陣r和對應日勺開環增益向量k?

其中，num,den分別為系統開環傳遞函數的分子、分母多項式系數，按s的I降幕排

列。K為根軌跡增益，可設定增益范圍。

例37：已知系統的開環傳遞函數G(s)=K*3(s+D——，繪制系統的根軌跡的

s'?+41+25+9

MATLAB的調用語句如卜：

num=(l1];與定義分子多項式

dcn=[l4291;%定義分母多項式

rlocus(num,den)%繪制系統的根軌跡

grid%畫網格標度線

xlabel(*RealAxis'),ylabclCImaginaryAxis')先給坐標軸加上闡明

title(4RootLocus')先給圖形加.上標題名

則該系統的根軌跡如圖3-1所示:

圖3-1系統H勺完整根軌跡圖形圖3-2特定增益范圍內H勺根軌跡圖形

若上例要繪制K在(1,10)H勺根軌跡圖，則此時的MATLABH勺調用格式如下，對

應日勺根軌跡如圖3-2所示。

num=[11];

den=[l429];

k=l:0.5:10;

rlocus(num,den,k)

2)確定閉環根位置對應增益值K日勺函數rlocfind()

在MATLAB'I',提供了rlocfind函數獲取與特定H勺復根對應的增益K的值。在求

出的根軌跡圖上，可確定選定點的增益值K和閉環根r(向量)口勺值。該函數的J調用格

式為：

[k,r]=rlocfind(num,den)

執行前，先執行繪制根軌跡命令rlocus(num,den),作出根軌跡圖。執行rlocfind

命令時，出現提醒語句“Selectapointinthegraphicswindow即規定在根軌跡

圖上選定閉環極點。將鼠標移至根軌跡圖選定的位置，單擊左鍵確定，根軌跡圖上出現

“+”標識，即得到了該點的增益K和閉環根r日勺返回變量值。

例3-2：系統的開環傳遞函數為G(s)=K*+6,試求：(口系統的根

Z+8s~+35+25

軌跡；(2)系統穩定的K口勺范圍；(3)K=1時閉環系統階躍響應曲線。則此時口勺MATLAB

的調用格式為：

G=tf([1,5,6],[1,8,3,25]);

rlocus(G);%繪制系統的根軌跡

[k,r]=rlocfind(G)先確定臨界穩定期的增益值k和對應的極點r

G_c=feedback(G1);%形成單位負反饋閉環系統

step(G_c)先繪制閉環系統的階躍響應曲線

則系統口勺根軌跡圖和閉環系統階躍響應曲線如圖3-2所示。

其中，調用rlocfind()函數，求出系統與虛軸交點F、JK值，可得與虛軸交點『、JK

值為0.0264,故系統穩定的K的范圍為KG(0.0264產)。

(a)根跳跡圖形(b)K=l時H勺階躍響應曲線

3)繪制阻尼比，和無阻尼自然頻率叫H勺柵格線sgrid()

當對系統的阻尼比《和無阻尼自然頻率?有規定期，就但愿在根軌跡圖上作等，

或等。“線。MATLAB中實現這一規定的函數為sgrid(),該函數的調用格式為：

sgrid(，，q)己知〈和以口勺數值，作出等于已知參數的等值線。

sgrid('new')作出等間隔分布的等？和網格線。

例3-3：系統的開環傳遞函數為G(s)=-----------------,由rlocfind函數找出能產生

s(s+1)(5+2)

主導極點阻尼7=0.707的合適增益，如圖3-3(a)所示。

G=tf(L[conv([l,l],[l,2]),0]);

zet=[0.1:0.2:l];wn=[l:!()];

sgrid(zet,wn):holdon;rlocus(G)

[k,r]=rlocfind(G)

Selectapointinthegraphicswindow

seiectcd_point=

-0.3791+0.3602i

k=

0.6233

r=

-2.2279

-0.3861+0.3616i

-0.3861-0.3616i

同步我們還可以繪制出該增益下閉環系統的階躍響應，如圖3-3(b)所示。實際上,

等4或等叫線在設計系賠償器中是相稱實用U勺，這樣設計出II勺增益仁0.6233將使得整

個系統的阻尼比靠近0.707。由下面的MATLAB語句可以求出主導極點,即r(2.3)點/J

阻尼比和自然頻率為

G_c=feedback(G,1);

siep(G_c)

dd0=poly(r(2:3,:));

wn-sqil(dd0(3));zcl-dd()(2)/(2+wn);[zcl,wii]

0.72990.5290

我們可以由圖3-3(a)中看出，主導極點時成果與實際系統時閉環響應非常靠近,

設計H勺效果是令人滿意的I。

(a)根軌跡上點口勺選擇(b)閉環系統階躍響應

4)基于根軌跡的I系統設計及校正工具rltool

MATLAB中提供了一種系統根軌跡分析的圖形界面，在此界面可以可視地在整個

前向通路中添加零極點(亦即設計控制器)，從而使得系統的性能得到改善。實現這一

規定口勺工具為rltool,其調用格式為:

rltool或rltool(G)

例3-4：單位負反饋系統的開環傳遞函數

5+0.125

G(s)=

52(5+5)(5+20)(5+50)

輸入系統日勺數學模型，并對此對象進行設訂。

dcn=[conv([1,5],conv([1,20],[1,50])),0,0];

num=[1,0.125];

G-tf(iiuin,den);

rltool(G)

該命令將打開rltool工具口勺界面，顯示原開環模型的根軌跡圖，如圖3-4(a)所

示。單擊該圖形菜單命令Analysis中H勺ResponsetoStepCommand復選框，則將打開

一種新的I窗口，繪制系統的閉環階躍響應曲線，如圖3-4(b)所示。可見這樣直接得出

內系統有很強的振蕩，就需要給這個對象模型設計一種控制器來改善系統的閉環性能。

a)原對象模型的根軌流(b)閉環系統階躍響應

單擊界而上的零點和極點添加的按鈕，可以給系統添加一對共扼復極點，兩個穩定

零點，調整它們的位置，并調整增益的值，通過觀測系統的閉環階躍響應效果，則可以

試湊地設計出一種控制器

(54-38.31X^+10-