專題6.2立方根.重難點題型

【滬科版】

短*中一更三

【知識點1立方根的概念及性質】

（1）一般地，如果一個數的立方等于。，那么這個數叫做。的立方根或三次方根。即如果好=如那么X叫

做。的立方根，記作標。即1=加。

（2）正數的立方根是正數；負數的立方根是負數；0的立方根是0.

【題型1立方根的概念及性質】

【例1】（2021春?倉山區期中）如果-。是〃的立方根，那么二列結論正確的是（）

A.。是-〃的立方根B.“是〃的立方根

C.是的立方根D.±〃都是的立方根

（解題思路】根據立方根的定義推導即可得出結論.

【解答過程】解：根據題意得：（23=4

-a3=b,

/.a3=-b,

J。是-。的立方根，

故選：A.

【變式1-1]（2021春?海淀區校級月考）下列結論正確的是（）

A.64的立方根是土4B.-為沒有立方根

C.若G=訴，則〃=1D.>1^27=-V27

【解題思路】根據立方根的定義解答即可.

【解答過程】解：從正數的立方根只有一個，64的立方根是4,該選項錯誤，不符合題意;

B.負數也有立方根，該選項錯誤，不符合題意；

C.。也可以等于0,該選項錯誤，不符合題意：

D.=-3,-V27=-3,所以該選項正確，符合題意.

故選：D.

【變式1-2]（2021春?白云區期末）下列說法正確的是（：

A.64的立方根是土幅f=±F

B.是—4的立方根

ZO

c.7^=_舊

D.立方根等于它本身的數是0和1

【解題思路】根據立方根的定義分別對每一項進行分析即可得出答案.

【解答過程】解：A、64的立方根是4,故本選項錯誤；

B、-壞是一的立方根，故本選項錯誤；

LO

C、7^27=-3,-V27=-3,則不與7二一⑺正確；

D、立方根等于它本身的數是（）和±1,故本選項錯誤；

故選：C.

【變式1-3]（2020春?閩侯縣期中）若有正+正=0，則x和），的關系是（）

A.x=y=0B.x->'=0C.xy=]D.x+y=0

【解題思路】根據已知和立方根的性質得出x=-），，即可得出工與），的關系.

【解答過程】解：???班+方=0,

***Vx=-方，

?\x=-y>

Ax與y的關系是x+y=（）.

故選：

【知識點2開立方】

求一個數的立方根的運算，叫做開立方.

【題型2開立方的運算】

【例2】（2020秋?灤州市期中）有一個數值轉換器，原理如圖所示，當輸入的數x為-512時，輸出的數

y的值是（）

輸入x—取立方根——無無『數”輸出y

是有理數

A.-V2B.V2C.-2D.2

【解題思路】把-512按給出的程序逐步計算即可.

【解答過程】解：由題中所給的程序可知：把-512取立方根，結果為-8,

為為-8是有理數，所以再取立方根為?2,

-2是有理數，所以再取立方根為g=-V2,

因為一冠是無理數，所以輸出-尤，

故選：A.

【變式2-1]（2021春?雨花區校級月考）根據圖中呈現的運算關系，可知a=,b=.

【解題思路】利用立方根和平方根的定義及性質即可解決問題.

【解答過程】解：依據圖中呈現的運算關系，可知2020的立方根是“。的立方根是

.,./??3=2020?（-?n）3=小

：.a=-2020；

又?：n的平方根是2020和b,

：.b=-2020.

故答案為：-2020,-2020.

【變式2-2]（2021春?漢陽區期末）已知VT中二1一。2,則。=

【解題思路】根據立方根等于它本身的數有0，1，-1,列式分別進行計算即可求出。的值.

【解答過程】解：根據題意，一個數的立方根等于它本身，

【解答過程】解：:百叼.732,

/.V300?17.32,

VV1728=12,

.,.VL728=1.2.

故答案為：17.32,1.2.

【變式3-2］（2021春?天津期中）已知所/*1.038,V1L2?2.237,V112?4.820,則J1200*.

【解題思路】根據被開方數小數點移3位，開立方后的結果移一位進行計算.

【解答過程】解：???V1I至。2.237,

AV-11200?-22.37.

故答案為：?22.37.

【變式3-3］（2019春?海淀區校級月考）已知⑸5*1.463,V2L4M.626,V0214?0.5981,VZ14?.289,

若《"46.26,貝i］x=；若方=-5.981,則y=.

【解題思路】根據算術平方根的特點：算術平方根的小數點向右（或向左）移動一位，則被開方數的小

數點向右（或向左）移動2位，立方根的特點：立方根的小數點向右（或向左）移動一位，則被開方數

向右（或向左）移動3位，然后進行解答即可.

【解答過程】解：：歷N右4.626,4《46.26,

.*.x=2140,

VV0.214M）.5981,\jy?-5.981,

?力=-214,

故答案為:2140,-214.

【題型4利用開立方解方程】

【例4】（2021春?連山區月考）（1）已知9（x+1）2=4,求/的值；

（2）已知8（x-1）3=_萼，求x的值.

O

【解題思路】（1）方程整理后，利用平方根定義開方即可求出解；

（2）方程整理后，利用立方根定義開立方即可求出解.

【解答過程】解.：（1）方程整理得：（x+l）2=小

2

開方得：x+l=±-,

解得：XI=—i,x?=—名：

（2）方程整理得：（x-1）3=-若,

5

-

開上方得：X-1=4

解得：戶-*.

【變式4-1]（2021春?那西縣月考）求工的值:

（1）（X-1）2=4：

（2）9A3+V64=?-V（-19）2.

【解題思路】（1）根據平方根的定義解答；

（2）根據立方根的定義解答.

【解答過程】解：（1）（x-1）2=%

/.A--1=±2,

.*.A=3或-1：

（2）9『+連？=/一代西

【變式4-2]（2021春?江漢區期中）求下列各式中x的值:

（1）（X-I）2=4；

1a

（1）-（2x+3）3+2=0.

4

【解題思路】（1）根據平方根的意義計算；

（2）根據立方根的意義計算.

【解答過程】解：（1）x-1=2或-2,

.”=3或一1：

（2）-（2r+3>'）3=-2,

:.（2x+3）3=-8,

A2xi3=-2,

.5

??x二-2?

【變式4-3】（2021?天寧區校級模擬）質二I+卞衣”=0,則式的值是（）

1

A.-3B.-1C.-D.無選項

2

【解題思路】根據題意，對原方程變形為岳』二-運中，即可得到有2x-l=-5x-8,解方程即

可得出x的值.

【解答過程】解：氏=T+際鈿=0,

即儂-1=-V5x+8,

故有2x-1=-5x-8

解之得x=-1,

故選:B.

【題型5平方根與立方根綜合】

[例5]（2020春?合川區期末）已知M=\Sa+2匕是9的算術平方根，7〃+3沙-1的平方根為±4,N=

\J-2a-b,則M+2N的立方根為（）

A.-1B.1C.-2D.2

【解題思路】根據平方根、算術平方根、立方根的意義〃、人的值，再求出M、N的值，進而求出M+2N

的立方根即可.

【解答過程】解：I。的算術平方根是3.

/.M=J5a+2b=3,

，5a+2b=9,

又???7a+3〃-1的平方根為±4,

：.la+3b-1=16,

.（5a+2b=9

??（7a+3"l=16'

解得a=-7,0=22,

:,N=V_2a—b=V14-22=y/-8=-2,

???M+2N=3+2X（-2）=3-4=-1,

而-1的立方根為-1,

???M+2N的立方根為?1,

故選：A.

【變式5-1]（2020春?西華縣期口）已知實數。+9的一個平方根是-5,2〃-。的立方根是-2,求6+2日

為算術平方根.

【解題思路】利用平方根、立方根性質求出。與〃的值，代入原式計算即可求出所求.

【解答過程】解：由題可知〃+9=（-5）2,2b-a=（-2尸，

解得：a=16,b=4,

/.Va+2Vb=716+2A/4=4+4=8,8的算術平方根是2vL

則VH+2赤的算術平方根是2V2.

【變式5-2]（2021春?甘肅期末）如果4="2"病』為a+?b的算術平方根，B=2所"近中為

的立方根，求A+3的平方根.

【解題思路】根據算術平方根以及立方根的定義，A和3的根指數分別是2和3,即可得到一個關于。，

》的方程組求得。，〃的值，進而得到A、8的值，從而求解.

【解答過程】解：根據題意得：+

（2Q—b—1=3

解得：*

lb=2

則A=73+6=炳=3,B=V1—9=-2,

則A+B=I,

A+/3的平方根是：±1.

【變式5-3]（2021春?渝中區校級期中）己知：〃與2〃互為相反數.a的算術平方根是3；

（1）求a、b的值；

（.2）若|2a+d+Vb—d=0,求2+d-1的立方I艮.

3

【解題思路】（1）根據題意列出方程組可得答案；

（2）

【解答過程】解：（I）由題意得：

fa+2b=0

3-b=9'

解得：a=6,b=-3.

（2）由非負數的性質可得：

[2a4-c=0

tb-d=0'

a|t-3-d=O'

.*.<?=12,d=-3.

1=4-3-1=0,

3

???（+d-1的立方根是0.

【題型6立方根的應用】

【例6】（2021春?瑤海區校級期中）已知一個正方體的體積是729c〃巴現在要在它的8個角上分別截去8

個大小相同的小正方體，使得余下的體積是665c〃P,則截去的每個小正方體的棱長是（）

A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm

【解題思路】首先確定截去的小正方體的體枳，然后再設每個小正方體的楂長為xcrn,根據正方體的體

積公式可得方程，從而確定邊長.

【解答過程】解：截去的8個小正方體的總體積為729-665=64（cw3），則每個小正方體的體積為64

4-8=8（cw3）.

設每個小正方體的校長為xcn則/=8,

解得x=2.

【變式6-1］（2020秋?石阡縣期末）一個正方體木塊的體積是343a/,現將他鋸成8塊同樣大小的小正方

體木塊，則每個小正方體的木塊的表面積是.

【解題思路】要先根據正方體的體積求出正方體的校長，然后進行分割即可解決問題.

【解答過程】解：一個正方休木塊的休積是343cm3,則邊長為正力=7°”，

現將他鋸成8快同樣大小的正方體小木塊，則每個小正方體木塊的邊長3.5°〃，

每個正方體邊長為：3.5cm,其中一個