HbacBAC一、直線與平面平行平行關系1.幾何條件：若一直線與平面上任一直線平行，則此直線與該平面互相平行。EFDdfeaefe'f'd'c'b'dcbXOa投影圖EF∥△ABC面上AD線則EF∥△ABC二、平面與平面平行1.幾何條件：若一平面上的兩條相交直線對應平行于另一平面上的兩條相交直線，則該兩平面互相平行。g'e'f'a'b'c'abcefgm'n'mnXOHPRMNBFGE△ABC∥△EFGn1例已知：MN、PQ決定的平面與平面ABC平行，試補全三角形ABC的正面投影。q'p'n'm'qpnma'cba~1'b'~2c'1~XO~

做圖步驟：作n1//bc

n2//bab'2′n'a'//1'b'n'c'//2'一般位置平面與特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

VHMmnlPBCacbPHkfFKNL一平面有積聚投影ABCQ過MN作平面Q垂直于V投影面MN以正垂面為輔助平面求線面交點示意圖一般位置直線與一般位置平面相交無積聚投影CAB過MN作平面P垂直于H投影面NMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點示意圖f

e

efba

acb

c

1

2

以正垂面為輔助平面求線面交點QV21kk

步驟：1、過EF作正垂平面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點K。兩一般位置平面相交判別可見性fedcbac'b'a'd'f'e'QHRHnmn'm'1'(2')213'3(4)4'方法1：輔助平面法HRABCabcEDedJLmMRH定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

直角定理定理2（逆）：a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEH若直線的正面投影垂直于平面上的正平線的正面投影直線的水平投影垂直于平面上的水平線的水平投影。則直線垂直平面（根據直角定理）g

例題平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgl'直線、平面的相互關系綜合題過K點作一直線KL與平面ABC平行與直線EF相交efkbace'f'k'b'c'a'lmnm'n'////////d'dpp'方法1過K點作一平面KDP與平面ABC平行。求平面KDP與直線EF交點L，連KLPh直線、平面的相互關系綜合題

過K點作一直線KL與平面ABC平行與直線EF相交。efkbace'f'k'b'c'a'll'X1c1(b1)a1k1e1f1方法二用換面法求解l1例題試過定點A作直線與已知直線EF正交。a

efaf

e

EQ分析

過已知點A作平面與已知直線EF垂直交于點K，連接AK，AK即為所求。FAK作圖過程2

1a

efaf

e

1

22

1PVa

efaf

e

1

2k

kaaXcbbcOwb

a

c

bca

a

b

bacc

a

b

b

baa

αβcc

c

一框兩線平行面，線框顯實形,直線豎或橫。兩框一線垂直面，兩框類似形,斜線積聚成。三框無線一般面，位置最分明。特點記憶取屬于平面的點取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線ABCDEa

b

c

abcd

de

e取屬于平面的直線取屬于平面的線，要先取自屬于該平面的已知點ABCEDa

b

c

abcd

de

eFff

例題：已知四邊形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H面投影。解1OXaa'bb'cc'd'de'eOXaa'bb'cc'd'解2e'ed例題已知直線EF在平面ABC上，求其未知投影。caba,b,k,ess,c,fe,kf,16投影變換綜合作圖問題距離投影面垂直線如何求點到直線的距離呢？用變換投影面法，簡單！將直線變換為投影面垂直線。XOVHk1

b1

a1

aa

b

bkk

O1V1HX1X2H2V1O2k2a2(b2)(t2)t1

tt

距離H2a2(b2)k2KBAT(t2)距離求K點到直線AB之距離及投影。例題如何求兩平面的夾角兩平面的交線將兩平面的交線變換成投影面垂直線

HDBACdac(b)求具有公共邊BC的△ABC和△BCD的夾角

。

XOa

d

c

b

cdbaO1X1X2a2d2c2(b2)a1

d1

c1

b1

例題a

aXb

bcdc

d

思考題如何求兩直線AB與CD間的距離？X2H2V1a

aXVHb

ba2(b2)X1HV1a1

b1

V提示例題:已知直線AB和CD,其距離為20mm,求CD的V面投影。X1a1(b1)c1(d1)c

d

XOa

b

abcd

四棱柱體表面定線byyb(a)cdac()dcdab定線先定點特殊點:利用從屬性一般點:利用積聚性BACD2、三棱錐體表面上取點a'a"b'b"c'(c'')abcSS'S"k'kk"1'1一般位置表面上的點采用輔助線的方法作圖。但要判斷可見性。SABCKE(N)特殊位置表面上的點利用平面的積聚性三棱錐體的特殊位置表面上點的求法特殊位置表面上的點利用表面的積聚性作圖。。SABC(N)sbsaacb（n）scacb()y1nny1abybcy

圓柱體表面定線1a(c)(1)bac1定線先定點特殊點:利用從屬性一般點:利用積聚性圓錐體表面定線yy1

a

c

b

a

b

（1）（c）ab1c解題時注意曲線AB的性質定線先定點特殊點:利用從屬性一般點:作輔助素線或輔助維圓例：作四棱柱被截切后的投影。a'(b')baa"b"分析：四棱柱的上部被一個正垂面和一個側平面所截切，因四棱柱的四個棱面均垂直于水平面，截平面與棱線的交點均在棱面的投影上。此題還應作出兩截平面的交線AB的投影。??BA完成后的投影圖例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●3●★投影分析★求截交線★分析棱線的投影★檢查

例：已知圓柱截斷體的正面和側面投影，求水平投影。分析：圓柱的軸線是側垂線，截斷體分別由側平面、正垂面、水平面截切圓柱體而成的。側平面與圓柱軸線垂直，截交線為圓弧，其正面投影為直線，側面投影為圓弧。正垂面與圓柱軸線傾斜，截交線為部分橢圓，正面投影為直線，側面投影與圓重合。水平面與圓柱軸線平行截交線為矩形，正面、側面投影均直線。1'

·

?1?2"?

2(3')

?

2'?33"

?4'?(5')

?4?

(4")(5")

?5?6'(7')?7"6"6

?7?

8'

?

(9')?8"9"

??89?10'?(11')?10"11"??1011?1"

·aba"b"a'(b')完成后的投影圖平面與圓錐相交alkcda'k'(l')c'(d')l"a"k"c"（1）先求特殊點。（2）再求一般點。（3）依次光滑連接各點。d"ACDKL具體步驟如下：圓錐被水平面截切，求出截交線的另外兩個投影。

兩圓柱相交例：求兩圓柱正交的相貫線分析相貫線的三面投影求正交兩圓柱的相貫線

1"(2")?。

例：求兩圓柱正交的相貫線。a'

?

b'?a?

b??c"d"??c'

(d')?cd?1??2?1'?2'

作圖步驟：（1）求特殊點：最左點A和最右點B;最前點C和最后點D。

（2）求一般點：任取兩點1、2,求側面投影1″、2″，然后作出正面投影1′、2′。(3)光滑連相貫線a"(b“)?完成后的投影圖相貫線的簡化畫法兩圓柱體直徑相等且軸線垂直相交相貫線為兩個相同的橢圓，橢圓平面垂直于兩軸線所決定的平面。兩正交圓柱相貫線的變化趨勢例：求圓柱和圓錐相貫線的投影。作圖：1、求特殊點A、B、C、D點.2、求一般點作輔助水平面。3、連相貫線，判別可見性。

a'

?

?b'

a"

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a

?