5道微分方程計算練習(xí)題及答案1.二階常微分方程350y''-266y'=0的通解主要內(nèi)容：本文通過一階微分方程分離變量法、一階齊次微分方程和二階常系數(shù)微分方程通解計算，介紹二階常微分方程350y''-266y'=0通解的計算步驟。主要步驟：※.分離變量法由350y''=266y'有：350d(y')=266y'dxeq\f(350d(y'),y')=266dx,兩邊同時積分有：350eq\i(,,\f(d(y'),y'))=266eq\s\up5(\i(,,))dx，即：350eq\s\up5(\i(,,))d(lny')=266eq\s\up5(\i(,,))dx，350lny'=266x+C0,對方程變形有：eq\f(dy,dx)=eeq\s\up12((eq\f(266x,350)+eq\f(C00,350)))=C1eeq\s\up10(eq\f(266x,350)),再次積分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C1eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(eq\f(266x,350))dx))，即：y=C1*eq\f(25,19)eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(eq\f(266x,350))deq\f(266x,350)))=C1eeq\s\up10(eq\f(266x,350))+C2。※.一階齊次微分方程求解因為350(y')'-266y'=0，即：(y')'-eq\f(266,350)y'=0，按照一階齊次微分方程公式有：y'=eeq\s\up12(eq\s\up5(\i(,,eq\f(19,25)dx)))*(eq\s\up5(\i(,,0*e-eq\s\up12(eq\s\up5(\i(,,eq\f(19,25)dx)))dx))+C0)，進(jìn)一步化簡有：y'=C0eeq\s\up10(eq\f(266x,350))，繼續(xù)對積分可有：eq\s\up5(\i(,,))dy=C0eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(eq\f(266x,350))dx))，即：y=C0*eq\f(25,19)*eq\s\up5(\i(,,eeq\s\up10(eq\f(266x,350))deq\f(266x,350)))=C1eeq\s\up10(eq\f(266x,350))+C2。※.二階常系數(shù)微分方程求解該微分方程的特征方程為350r2-266r=0，即：r(350r-266)=0，所以r1=eq\f(266,350)，r2=0。此時二階常系數(shù)微分方程的通解為：y=C1er1x+C2er2x=C1eeq\s\up10(eq\f(266x,350))+C2。2.微分方程y'=eq\f(6x-12y,12x+4y)的通解計算步驟主要內(nèi)容：本文通過換元法，介紹計算微分方程y'=eq\f(6x-12y,12x+4y)的通解的計算過程。主要過程：根據(jù)題意有：eq\f(dy,dx)=eq\f(6x-12y,12x+4y)，eq\f(dy,dx)=eq\f(6-12*eq\f(y,x),12+4*eq\f(y,x)).設(shè)eq\f(y,x)=u，即y=xu，求微分為dy=udx+xdu,有：eq\f(dy,dx)=u+xeq\f(du,dx)，代入微分方程有：u+xeq\f(du,dx)=eq\f(6-12u,12+4u),xeq\f(du,dx)=eq\f(6-12u,12+4u)-u,微分方程右邊通分得到：xeq\f(du,dx)=eq\f((6-12u)-u(12-4u),12+4u)，xeq\f(du,dx)=-eq\f(4u2+24u-6,12+4u)，eq\f((4u+12)du,4u2+24u-6)=-eq\f(dx,x),兩邊同時取積分得：eq\i(,,eq\f((4u+12)du,4u2+24u-6))=-eq\i(,,eq\f(dx,x)),eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f((2u+24)du,4u2+24u-6))=-eq\i(,,eq\f(dx,x))，eq\f(1,2)eq\i(,,eq\f(d(4u2+24u-6),4u2+24u-6))=-ln|x|，eq\f(1,2)ln|4u2+24u-6|+ln|x|=c1，xeq\r(4u2+24u-6)=ec1，x2(2u2+12u-3)=C，將u=eq\f(y,x)代入方程得微分方程的通解為：x2[2(eq\f(y,x))2+12eq\f(y,x)-3]=C,2y2+12xy-3x2=C。3.微分方程y''+y=7x+3sin2x通解的計算主要內(nèi)容：根據(jù)二階常系數(shù)非齊次線性方程的求解法則，介紹計算微分方程y''+y=7x+3sin2x通解的計算。解：微分方程y''+y=7x+3sin2x的特征方程為：r2+1=0，即：r=±i，則二階常系數(shù)齊次線性微分方程y''+y=0的通解y1為：y1=C1cosx+C2sinx.y''+y=7x+3sin2x設(shè)所求微分方程的特解y2=a3x+a4cos2x+a5sin2x,則：y′=a3-2a4sin2x+2a5y''=-4a4cos2x-4a代入微分方程得：-4a4cos2x-4a5sin2x+a3x+a4cos2x+a5sin2x=7x+a3x+(1-4)a4cos2x+(1-4)a5sin2x=7x+3sin2x，根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等，得：a3=7，a4=0，(1-4)a5=3,解出：a3=7，a4=0，a5=-1，所以微分方程的通解為：y=y1+y2=C1cosx+C2sinx+7x-sin2x。4.求微分方程(30x2+8y2)dx-17xydy=0的通解主要內(nèi)容：本題主要通過微分方程的齊次方程通解計算方法，以及換元、分離變量等知識，介紹計算微分方程(30x2+8y2)dx-17xydy=0的通解步驟。主要步驟：解：對微分方程進(jìn)行變形，同時除以xy有：(30*eq\f(x,y)+8*eq\f(y,x))-17dy=0，設(shè)eq\f(y,x)=u,則y=xu，求導(dǎo)有：dy=udx+xdu，代入方程有：(eq\f(30,u)+8u)dx-17dy=0，(eq\f(30,u)+8u)dx-17(udx+xdu)=0,(eq\f(30,u)-9u)dx=17xdu,進(jìn)一步對上述方程變形有：eq\f(17udu,9u2-30)=-eq\f(dx,x),兩邊同時積分有：eq\f(1,2)eq\i(,,\f(17du2,(9u2-30)))=-eq\i(,,\f(dx,x)),eq\f(17,18)eq\i(,,\f(d(9u2-30),(9u2-30)))=-ln|x|+C1,eq\f(17,18)ln(9u2-30)+ln|x|=C1,根據(jù)對數(shù)知識，上述函數(shù)化簡為：x18*(9u2-30)17=C,再將u=eq\f(y,x)代入有：(9y2-30x2)17=Cx16,即為本題微分方程的通解。5.微分方程y'=(13x8+3)y9的計算主要內(nèi)容：本文通過分離變量微分方程計算法，介紹微分方程y'=(13x8+3)y9的主要計算步驟。主要步驟：因為y'=(13x8+3)y9，所以eq\f(dy,dx)=(13x8+3)y9,由微分方程分離變量計算有：eq\f(dy,y9)=(13x8+3)dx,兩邊同時取積分，有：eq\i(,,eq\f(dy,y9))=eq\i(,,(13x8+3)dx)eq\i(,,