專題3.3函數的奇偶性、周期性與對稱性

【題型目錄】

題型一判斷函數的奇偶性

題型二利用奇偶性求函數值或參數值

題型三利用奇偶性求解析式

題型四函數周期性的應用

題型五函數對稱性的應用

題型六單調性與奇偶性的綜合問題

題型七對稱性、周期性與奇偶性的綜合問題

【典型例題】

題型一判斷函數的奇偶性

例1.(2023?北京房山?統考二模)下列函數中，是偶函數且有最小值的是()

A.f(x)=x2-2xB./(x)=|ln.x|

C.f(x)=xsinxD,〃x)=2'+2T

例2.(2023?山東青島?統考二模)已知函數/(x)=x,g(x)=2、2、則大致圖象

如圖的函數可能是()

A.〃x)+g(x)B./㈤-g(x)C./(x)g(x)D.44

舉一反三

練習1.(2023春?北京?高三北京師大附中?？计谥?下列函數是奇函數的是()

A./(X)=1+COSA-B./(x)=x+sinx

C./(x)=x+cosxD./(.v)=l+sinx

練習2.(2023?上海?高三專題練習)函數y=lg(lr)+lg(l+%)是()

A.奇函數B.偶函數C.奇函數也是偶函數D.非奇非偶函

數

練習3.(2023?北京海淀?統考二模)下列函數中，既是奇函數又在區間(OJ)上單

調遞增的是()

2

A..y=lgxB.y=-C.>'=2|r|D.y=tanx

x

練習4.(2023春?上海松江?高一上海市松江二中?？计谥?下列函數在其定義域

內既是嚴格地函數，又是奇函數的是()

A.y=SinXB.y=log,x

C.y=x-cosxD.y=e-cx

練習5.(2()23?海南?校聯考模擬預測)函數/(同=就行

的大致圖象是()

”；；￥；

c卜DMl

題型二利用奇偶性求函數值或參數值

例3.(2023春?寧夏銀川?高二銀川一中?？计谥?若/3二防丁二+小+〃-1為奇

函數，則〃=()

A.In2B.2C.IngD.1+In1

例4.(2023春?河北保定?高三保定一中?？计谥?已知函數f(x)=e+/短+3且

“2023)=16,則/(-2023)的值為

里?反三

練習6(2022秋?高三課時練習)/(力為奇函數,g(x)為偶函數,且

/(-l)+g⑴=4,/⑴+飄-1)=2則g6=()

A.3B.-1C.1D.-3

練習7.(2023?遼寧?校聯考二模)城=1”是“函數/(x)=lg(6+,7)是奇函數”

的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

練習8.(2022秋?江蘇南通?高一江蘇省通州高級中學?？茧A段練習)若函數

14

/(x)=a'+"(a＞。，。＞。，“工1，》工1)是偶函數，則一+二的最小值為()

ab

A.4B.2C.2V2D.2g

練習9.（2023?廣西玉林?統考三模）函數=版-tanx+2,若/（2=1,則

“f）=?

練習10.（2023?上海金山?統考二模）已知＞=/（"是定義域為R的奇函數，當20

時，/（X）=2F+2*-1,則2）=.

題型三利用奇偶性求解析式

小—3Txv0

例5.（2023?全國?高一專題練習）已知奇函數/（“）=「、」二則

g|x）+l,x＞0,

g（x）=.

例6.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？计谥校┮阎嵌x域為

R的奇函數，當工＞0時，/⑴印―2%,則當xvo時，尸”r）的表達式為.

圜二反三

練習II.（2023?安徽馬鞍山?統考三模）函數/*）的定義域為R,y=/（x）+2e,是偶

函數，），=/。）-3^是奇函數，則Ax）的最小值為（）

A.eB.6C.2x/2D.2后

練習12.（2023?全國?模擬預測）已知函數”X）是奇函數,函數g（x）是偶函數.若

f（x）-g（x）=xsinxt則（）

&202371n202371〃八一

A.——B.——--C.0D.-1

22

練習13.（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（刈是定義在R上的奇函數，當

2

x>0時，/(X)=-A-+4X-3,則函數的解析式為.

練習14.(2023秋?安徽蕪湖?高三統考期末)函數)，=〃力為偶函數，當x>0時,

f(x)=hvc+x-\,貝lJx<0時，f(x)=.

練習15.(2022秋安徽馬鞍山.高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校考期中)已

知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，/(x)=3-2.

⑴求/("的解析式；

(2)若方程/(X)=。有兩個實數解，求，”的取值范圍.

題型四函數周期性的應用

例7.(2()23?山西運城?統考三模)已知定義在R上的函數“力滿足

/(x+3)=-/W，g(x)=〃x)-2為奇函數,則，(198)=()

A.0B.1C.2D.3

例8.(2023?陜西商洛?統考三模)定義在R上的奇函數/⑴滿足V"R,

2023

/(x)+/(4-x)=0,且當0vx<2時，/(X)=X2-2\則Z|f(i)|=.

舉一反三

練習16.(2023春?江西?高三江西師大附中校考階段練習)已知定義在R上的函

數f(x)滿足〃xT)+〃x+l)=0,且當xe[0,2)時,/(x)=log2(x+l),則“2025)的

值為()

A.-3B.3C.-1D.1

4’￥<0

練習17.(2023?全國?模擬預測)已知函數/。)=/~.、，則

27(x-ln)-2/(x-2),x>0n

7(2023)的值為()

A.2MoB.2",,,C.2,0,0D.22022

練習18.(2023?全國?高三專題練習)若函數/(*)滿足f(x+2)=-f(x),且當xe[0,l]

時，/(x)=—則/(23)=()

4-2x

A.-IB.-；C.0D.g

練習19.(2023?廣東?高三專題練習)已知WxwR,函數/(“都滿足

〃工)./"(*14)=1，又/1)=2,則/(")=.

練習20.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中?？计谀?已知定義在R上的

奇函數/(x)滿足〃x+4)="x)恒成立，且/⑴=1,則〃2)+〃3)+〃4)的值為

題型五函數對稱性的應用

例9.(2023?湖北?統考二模)已知函數〃?+方)圖象的對稱軸為x=J則/(X)圖

象的對稱軸為()

A.x=ab+cB.x=ab-c

C.x=ac+bD.x=ac-b

例10.(2023?浙江?高三專題練習)定義在R上的非常數函數“力滿足:

“r)=/(x),且/(2-x)+/(x)=0.請寫出符合條件的一個函數的解析式

/(-'?)=______

舉一反三

練習21.(2023?山西晉中統考二模)已知函數/(“1，-孰⑺，則/⑴的圖

象()

A.關于直線x=2對稱B.關于點(2⑼對稱C.關于直線x=0對

稱D.關于原點對稱

練習22.(2023?陜西安康?統考二模)已知定義在R上的奇函數/")滿足

/(x+l)=/(1-x),則“2022)=()

A.-IB.0C.1D.2.

練習23.(2023秋?河北承德?高三統考期末)已知函數/(x)"eR)滿足

/(x)=/(4-x),若y=|x-2|與y=/(x)圖象的交點為(8,乂象叫必)，(為必)，(冷切)，

則±+±+工3+%=()

A.-4B.0C.4D.8

練習24.(2021春?陜西漢中?高三統考期中)已知二次函數/(x)=ad+瓜+。，滿

足/(3+x)=/(3-x),且f(4卜〃5),則不等式的解集為______.

練習25.(2023秋?江蘇蘇州?高三統考開學考試)寫出一個非常數函數同時滿足

條件:0/(x+2)=/(x),②H1—X)="1+x).則/。)=.

題型六單調性與奇偶性的綜合問題

例11.（2022秋.新疆烏魯木齊.高三烏魯木齊市第四中學?？计谀┮阎瘮?/p>

/（尤+1）是偶函數，當1<為<七時，［/&）-/（毛）］&-毛）>。恒成立，設a=

〃=/（2）,c=/（3）,則0b,c的大小關系為（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

例12.（2022秋?廣東佛山?高三佛山市榮山中學?？计谥校┤艉瘮等肆κ嵌x在

（T1）上的奇函數，當xw（-L0）時，"%）=寸-1,則當％w（0,l）時，函數/"）的解

析式為;若函數“X）是定義在上的偶函數，且在上為增函

數.則不等式/—的解集為

里?反三

練習26.（2023?廣西?校聯考模擬預測）下列函數既是奇函數又在（-11）上是增函

數的是（）

A.y=sinA-

C.y=-x3

練習27.（2023?全國?高三專題練習）已知函數〃同=喧（看+1）+。

+3,則不

等式41閔>3的解集為（）

C.（1,1。）

練習28.（2023秋?浙江杭州?高三杭州市長河高級中學校考期末）若“X）是奇函

數，且在（0，+8）上是增函數，又/（-3）=0,則加力＜0的解是（）

A.（-3,0）J（l,+oo）B.（F,-3）5（）,3）C.（^O-3）J（3,+OO）D.（-3,0）U（0,3）

練習29.（2023春?河北保定?高三保定一中校考期中）已知函數/"）是定義在

2

卜3,3］上的奇函數，當0＜”3時，f（x）=^x+x+\.

（1）求函數/"）的解析式.

（2）若/（。+1）+/（竊-1）＞0,求實數。的取值范圍.

練習30.（2023春?陜西咸陽?高三?？茧A段練習）已知函數””=晦（歷W+同

是奇函數.

⑴求，的值.

⑵若〃＞0時，/（”是R上的增函數，且/何―3）+/（2加）＞0,求，”的取值范圍.

題型七對稱性、周期性與奇偶性的綜合問題

例13.（2023?新疆喀什?統考模擬預測）已知函數”A的定義域為R,滿足/（x+1）

為奇函數且"6-x）=〃x）,當x€［l,3］時，/（x）=2'-2x\則”2023）=（）

A.-10B.7C.0D.10

例14.（山東省煙臺市2023屆高考適應性練習（一）數學試題）（多選）定義在

R上的函數/⑴滿足〃2+2x）是偶函數，/⑴=1,則（）

A./。）是奇函數B.”2023）=7

100

C./（X）的圖象關于直線/=1對稱D.ZV（2AT=T0（）

R=1

舉一反三

練習31.(2023?貴州畢節?統考模擬預測)已知函數/⑴的定義域為R,〃x+3)為

偶函數，/(3x+*為奇函數,則()

A./(-7)=0B./(-^)=0C./(3)=0D./⑹=。

42

練習32.(2023?河南?校聯考模擬預測)已知將函數的圖像向左平移1個單

位后關于，軸對稱，若/(1+3)+/(-K-2)=0,且“2023)=2,則/(2)=()

A.2B.-2C.1D.-1

練習33.(2023春?安徽合肥?高三合肥市第八中學?？计谥?若函數/(')的定義

域為R,/⑵n)是偶函數，且/(2r)+/(2+x)=6.則下列說法正確的個數為()

①/")的一個周期為2；

②"22)=3；

③/(X)的一條對稱軸為x=5；

@/(1)+/(2)+.+/(19)=57.

A.1B.2C.3D.4

練習34.(2023?山東荷澤?山東省東明縣第一中學校聯考模擬預測)(多選)已知

函數/(x)的定義域為R,/(4+1)為奇函數，且對出eR,〃x+4)=/(-x)恒成立,

則()

A.f(x)為奇函數B./(3)=0c.嗎卜-《|)D.7(2023)=0

練習35.(2023?重慶?校聯考模擬預測)(多選)已知R卜的偶函數.v=f(x)在區

間［TO］上單調遞增，且恒有〃l-x)+/(l+x)=O成立，則下列說法正確的是()

A./W在［1閨上是增函數B.的圖象關于點(L0)對稱

C.函數/(x)在x=2處取得最小值D.函數)，=/(.。沒有最大值

參考答案與試題解析

專題3.3函數的奇偶性、周期性與對稱性

【題型目錄】

題型一判斷函數的奇偶性

題型二利用奇偶性求函數值或參數值

題型三利用奇偶性求解析式

題型四函數周期性的應用

題型五函數對稱性的應用

題型六單調性與奇偶性的綜合問題

題型七對稱性、周期性與奇偶性的綜合問題

【典型例題】

題型一判斷函數的奇偶性

例1.(2023?北京房山?統考二模)下列函數中，是偶函數且有最小值的是()

A.f(x)=x2-2xB./(-v)=|lnAi

C./(x)=xsin.￥D./(x)=2*+2T

【答案】D

【分析】判斷二次函數的對稱軸，可得函數，(x)=x2-2x不是偶函數，判斷選項

A,根據函數/(x)=lhd的定義域判斷選項B,判斷得/(r)=/(“)，從而得函數

f(x)=xsinx為偶函數，結合三角函數的性質可判斷得該函數不具有最小值，從而

判斷選項C,根據f(T)=f(x),得函數=2T為偶函數，再利用基本不等式

求解出最小值，即可判斷選項D.

【詳解】對A,二次函數八勸=-一次的對稱軸為x=l,

不是偶函數，故A錯誤；

對B,函數/(尤)=1W的定義域為(Q+8),

定義域不關于原點對稱，所以不是偶函數，故B錯誤；

對C,f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x)f

定義域為R,所以函數/(J)=xsinx是偶函數，

結合三角函數的性質易判斷函數/Q)=xsinx無最小值，故C錯誤；

對D,"7)=2-*+2、/(X),定義域為R,

所以函數〃乃=2，+27是偶函數,因為2，>0,2T>0,

所以2*+2T之h=2,當且僅當2,=2，即％=0時取等號,

所以函數f(x)=2、27有最小值2,故D正確.

故選：D

例2.(2023?山東青島?統考二模)已知函數/(x)=x,g(x)=2,+2'則大致圖象

如圖的函數可能是()

A./(”+g(x)B./(x)-g(x)C./(x)g(x)D.刀

【答案】D

【分析】由函數的奇偶性及選項逐項排除即可得到答案.

【詳解】f(x),g(x)的定義域均為R,且/(-x)=T=-〃x),g(T)=2r+2*=g(x),

所以f(x)為奇函數，g(x)為偶函數.

由圖易知其為奇函數，而f(6+g(x)與/W-g(x)為非奇非偶函數,故排除AB.

當上一內時，〃x)g(X)f+0O,排除C.

故選:D.

舉一反三

練習1.(2023春?北京?高三北京師大附中?？计谥?下列函數是奇函數的是()

A./(x)=l+cos.vB./(.v)=A+sinx

C.f(x)=x+coaxD./(x)=l+sinx

【答案】B

【分析】利用奇偶性定義判斷各項函數的奇偶性.

【詳解】顯然各項函數的定義域均為R,

./'(-X)=1+cos(-x)=1+COSA=/(A),偶函數，A不符合；

〃一x)=-x+sin(-r)=-x-sinx=~(x+sinA)=-/(x),奇函數，B符合；

f(--V)=-x+cos(-v)=-x+cosx*±/(x),非奇非偶函數，C不符合；

f(-x)=\+sin(-A)=1-sinx±/(x),非奇非偶函數,D不符合.

故選：B

練習2.(2023?上海?高三專題練習)函數y=lg(lr)+lg(l+%)是()

A.奇函數B.偶函數C,奇函數也是偶函數D.非奇非偶函

數

【答案】B

【分析】求出定義域，根據函數奇偶性的定義判斷即可.

【詳解】由函數y=ig(i-x)+ig(i+x)可知,定義域為(-U)關于原點對稱,又

/(-x)=lg(1+A-)+lg(1-x)=/(x),故函數為(T.1)內的偶函數.

故選：B

練習3.(2()23?北京海淀?統考二模)下列函數中，既是奇函數又在區間(0,1)上單

調遞增的是()

2

A.y=lgxB.y=-C.y=2|r|D.y=tanx

x

【答案】D

【分析】根據函數的奇偶性以及單調性，結合基本初等函數的性質，即可由選項

逐一判斷.

【詳解】對于A,y=kr的定義域為(0,+8),定義域不關于原點對稱.所以為非

奇非偶函數，故A錯誤，

對于B,〃力=2的定義域為(e,0)U(0,m)，定義域關于原點對稱，又

f(-x)=-x-=-f(x)t所以/■")為奇函數，但在(0,1)單調遞減，故B錯誤，

對于。山)=2兇的定義域為R,關于原點對稱，又3句(x),故小)為

偶函數，故C錯誤，

對于D,f(x)=tanx,由正切函數的性質可知/(x)=tanx為奇函數，且在(0,1)單調

遞增，故D正確，

故選：D

練習4.(2023春?上海松江?高一上海市松江二中?？计谥?下列函數在其定義域

內既是嚴格增函數，又是奇函數的是()

A.y=s\nxB.y=log,x

C.J=X-COSJVD.尸e'-e-x

【答案】D

【分析】根據初等函數的單調性和奇偶性的判定方法，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，函數y=sinx在定義域R上不是嚴格的單調函數，不符合題

意；

對于B中，函數丁=1理21的定義域為3+8),所以為非奇非偶函數，不符合題意；

對于C中，函數/(x)=X-COSX,可得f(-x)=-x-cos(-M=-x-cosxw/(x),

所以函數/(力不是奇函數.不符合題意；

對于D中，函數/(x)=eJeT=e，-C，在定義域R上嚴格的單調遞增函數，

e

且〃r)=eT_e，=-(e，-e7)=-f(x),所以函數/(x)為奇函數，符合題意.

故選：D.

e'+e'x

練習5.(2023?海南?校聯考模擬預測)函數/(耳=麗刁的大致圖象是()

【答案】D

【分析】根據函數的奇偶性證明函數/（X）為偶函數；分別求出八；）＜0，/（2）＞0,

利用排除法，結合選項即可求解.

【詳解】函數/V）的定義域為{MXH±1},關于原點對稱，

e-A+

f（-x）=—-----=f（X）,

則函數f（x）為偶函數，圖象關于），軸對稱，故排除C;

1I

.2~22-2

又/弓）=寧^＜0，八2）=三*＞。，故排除AB,D符合題意.

2

故選：D.

題型二利用奇偶性求函數值或參數值

例3.（2023春?寧夏銀川?高二銀川一中?？计谥校┤?x）=lnQ+/〃+〃-1為奇

函數，則〃=（）

A.In2B.2C.l-ln1D.1+ln—

22

【答案】C

【分析】利用奇函數的定義，對，”分類討論即可得解.

【詳解】因為函數/(X)為奇函數，所以/(X)的定義域關于原點對稱.

若…，則/⑺的定義域"以不關于原點對稱，

所以/〃，OJ(x)的定義域為＜且X。；-/},

所以：-白=-1，解得m=

22m22

所以/(x)=ln；+定義域為/.

ZZX—12

令/(o)=。，得ln；+〃-l=O,故〃=l-ln；,

此時經檢驗，/("為奇函數.

故選：C

例4.(2023春?河北保定?高三保定一中校考期中)已知函數=a/+加+3且

/(2023)=16,則〃-2023)的值為

【答案】-10

【分析】由函數/("的解析式發現，它是由一個奇函數加一個常數的形式，再注

意到已知的函數值和要求的函數值，它們的自變量互為相反數，所以可以直接代

入利用奇函數的性質求解.

【詳解】因為加+3,所以/(2023)=ax2023'+力x2023'+3=16,

5

所以ax2023+〃x20233=n?

所以〃-2023)=ax(-2023)5+/?x(-2O23)3+3

=-(^X20235+/?X20233)+3=-I3+3=-10,

故答案為；-io.

舉一反三

練習6.(2022秋?高三課時練習)/("為奇函數，g(x)為偶函數，且

/(-I)+^(1)=4,/(I)+^(-1)=2l11ljg(l)=()

A.3B.-1C.1D.-3

【答案】A

【分析】根據函數奇偶性可知/(7)=7D，g(-D=g⑴，解方程組即可求得g(l)=3.

【詳解】因為/(X)為奇函數，g")為偶函數，

貝丫(-1)=-/(1)，或-1)=以1)

所以-/(1)+以1)=4,/(D+g⑴=2

兩式相加可得2g(1)=6,即g(l)=3

故選：A.

練習7.(2023?遼寧?校聯考二模)?=1”是"函數/")=愴(廬7-x)是奇函數”

的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】函數/(x)=lg(JJ+a-x)為奇函數,解得。=±1，判斷。=±1與〃=1的互

推關系，即可得到答案.

【詳解】當函數+a2-x)為奇函數，

則/(力+/(-力=吆(必+a2-x卜愴田+〃2+3)=愴/=0,

解得4=±1.

所以"。=1''是"函數/3=檐(>/?彳7)為奇函數”的充分不必要條件.

故選：A.

練習8.(2022秋?江蘇南通?高一江蘇省通州高級中學?？茧A段練習〉若函數

f(x)=a'bl(a>0,b>0,“工1,〃工1)是偶函數，則+：的最小值為()

+ab

A.4B.2C.2V2D.2x/3

【答案】A

【分析】根據/（X）為偶函數求出曲=1，再利用基本不等式求解.

【詳解】由“力為偶函數可得〃T）=/（X）,即=+1=加+〃，

ab

所以（"+"）[?好T]=0.

因為X￡R,且“>（）,所以a*+Rx>0,

所以=1,

則J_+:22、陌=4,當且僅當，=。，即〃=3力=2時，取最小值4.

ah\abab2ab

故選：A

練習9.（2023?廣西玉林?統考三模）函數/（”=?--辰-tanx+2,若=則

/（一帆）=?

【答案】3

【分析】根據題意可得an^-bm-Vdnin=-1?結合=-bm-tan〃?）+2計算

即可求解.

【詳解】由題得I（6）=-加-tanm+2=l,

:.cun'-bm-tanw=-l,

所以/（一7〃）=一卬〃3+bm+tan，〃+2=-^anr-bm-tan/〃）+2=14-2=3.

故答案為：3.

練習10.（2023?上海金山?統考二模）已知產/（“是定義域為R的奇函數，當北0

時，〃X）=2F+2-1,則六―2）=.

【答案】79

【分析】根據奇函數性質求解即可.

【詳解】因為函數/（刈是定義域為R的奇困數，

所以八-2）=-/⑵=-（2x2；+22-l）=-19,

故答案為：-19.

題型三利用奇偶性求解析式

例5.(2023?全國?高一專題練習)已知奇函數；則

g(x)=.

【答案】-丁+3，_]

【分析】根據奇函數的定義，先求當%>0時，-x<0,=再進一步

求解g(x).

【詳解】當x>0時，-x<0,/(x)=(x)+1=-f(-x)=-[(-x)2-3^]=-x2+31,

則履力=—/+3'—1.

故答案為：

例6.(2023春?上海寶山?島三上海交大附中?？计谥?已知了=/(用是定義域為

R的奇函數，當x>0時.，/W=l-2x,則當XV0時，y=/(x)的表達式為.

【答案】-l-2x/-2X-1

【分析】根據給定條件，利用奇函數的定義求出xv()時的解析式作答.

【詳解】y=/(”)是定義域為R的奇函數,當犬>0時，/U)=1-2x,

則當xv()時，-x>0,/(x)==H1-2(-x)]=-1-2x,

所以當x<0時，)，=fM的表達式為/*)=-i-2x.

故答案為：-l-2x

圜二反三

練習II.(2023?安徽馬鞍山?統考三模)函數"0的定義域為R,y=/(x)+2/是偶

函數，y=/(x)-3e，是奇函數，則/(X)的最小值為()

A.eB.75C.2&D.26

【答案】B

【分析】根據奇偶函數的定義可得/(?=更手再利用基本不等式求最小值.

f/(x)+2ex=/(-A-)+20戶、但，

【詳解】由題意可得〃、&,匕,、&-〃，解得

[/(x)-3ex="|_/(-x)-3eJ2

因為〃幻=已￡，延芋=0，當且僅當e'5eT,即“fn5時，等號成立,

所以/(?的最小值為加.

故選:B.

練習12.(2023?全國?模擬預測)已知函數/(*)是奇函數,函數g(x)是偶函數.若

/(x)-^(x)=xsin.v,則〒六()

A202371n202371

A.---B.-------D.-1

22

【答案】C

【分析】根據函數的奇偶性結合已知等式可得gW=xsin(x),聯立可得

/W=o,即得答案.

【詳解】由函數f(x)是奇函數,函數g(1是偶函數，/(X)-g(x)=%sinx,

故/(r)-g(-%)=-xsin(T),即一/(x)-g(x)=xsin(x),

將該式和/W-g(x)=心由x相減可得/(x)=0,

則/(竽)=0，

故選：C

練習13.(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(4)是定義在R上的奇函數，當

2

"0時，/(X)=-A-+4X-3,則函數/(X)的解析式為.

.V2+4.r+3,.x<0

【答案】/(x)=0,x=0

-x2+4x-3,.r>0

【分析】利用函數的奇偶性求解即可.

【詳解】由于函數/(X)是R上的奇函數，則/(())=().

當x>0時，/(X)=-X2+4X-3,

iSA-<0,則-x>0,則=-4工一3=-/(不)，

所以f(x)=『+4x+3.

A2+4X43,A<0

綜上所述，/(x)=<(U=O

-x2+4A-3,x>0

A*2+4x+3,x<0

故答案為：/(x)Jo,：=。

-x2+4A-3,x>0

【點睛】方法點睛：根據函數奇偶性求解析式的步驟：

(1)設：要求哪個區間的解析式，”就設在哪個區間；

(2)代：利用已知區間的解析式代入進行推導；

(3)轉：根據〃幻的奇偶性，把/(t)寫成-/(*)或/⑶,從而解出了⑴.

練習14.(2023秋?安徽蕪湖?高三統考期末)函數丁=〃》)為偶函數，當x>0時,

f(x)=\nx+x-\,貝l」xvO時，/(x)=.

【答案】ln(-x)-x-l

【分析】由偶函數的定義求解.

【詳解】xvO時，-x>0,/⑶是偶函數，

:.f(x)=/(-x)=ln(-x)-x-l,

故答案為：W-%)-x-1.

練習15.(2022秋?安徽馬鞍山?高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校考期中)已

知/(力是定義在R上的奇函數，當“〉0時，〃司=3'-2.

(1)求/("的解析式；

(2)若方程/(力-6=0有兩個實數解，求，〃的取值范圍.

-3-*+2,x<0

【答案】(1)/3=0

3'-2,x>0

⑵(T0)U(0,l)

【分析】(1)設尤<0,則一>。，/(-x)=3-*-2,然后由函數是定義在R上的

奇函數求解/("的解析式.

(2)在同一坐標系中作出函數)，=/(。)，=〃?的圖象，根據方程〃x)=，〃有兩個解,

轉化為函數)，=/(切。=〃?的圖象有兩個交點求解.

【詳解】(1)設K<0,則-x>0,

所以/(-力=31-2,

因為函數/(力是定義在R上的奇函數，

所以/?=—〃T)=_(3--2)=-3-+2,/(0)=0

-3-*+2,工<0

所以〃力=0;

3*-2,%>0

(2)在同一坐標系中作出函數y=/(X),y=〃?的圖象，

因為方程/")=機有兩個解，

所以函數，=/(x),y=〃?的圖象有兩個交點,

由圖象知：0<加象或TvmvO,

所以，〃的取值范圍是(TO)U(O,1).

題型四函數周期性的應用

例7.(2023?山西運城?統考二槿)已知定義在R卜的函數“X)滿足

/(x+3)=-/W，g(x)=〃x)-2為奇函數,則〃198)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由題意推出函數f(x)的周期以及滿足等式/(X)+〃T)=4,賦值求得

"0)=2,利用函數的周期性即可求得答案.

【詳解】因為〃x+3)=-/(x),所以/(x+6)=-/(x+3)=/(x),所以/(%)的周期

為6,

又g(x)=〃x)-2為奇函數，所以〃x)-2+/(-x)-2=。，所以/(X)+〃T)=4,

令x=0,得2/(0)=4,所以"0)=2,

所以〃198)=/(O+6x33)=f(O)=2,

故選：C.

例8.(2023?陜西商洛?統考三模)定義在R上的奇函數/⑴滿足依wR,

2023

/(x)+/(4-x)=0,且當0cx<2時，/(x)=x2-2\貝lJZ|f(i)|=.

【答案】1012

【分析】根據函數的奇偶性、周期性求解即可.

【詳解】因為〃勸是奇函數,且洋勸+〃4-%)=0,

所以f(x)=-/(4-x)=/(A-4),

故”0是周期為4的周期函數.

/(D+/(3)=/(1)+/(-I)=0,所以/(3)=-/(1)=1,

令*=2,可得f(2)+f(2)=0,所以八2)=0,

因為函數為奇函數且周期為4,所以/(4)=八0)=0,

則1/⑴1+"(2)|+"⑶|+|/(4)|=2"⑴|=2,

20234

則Z/⑴1=506-Zlf⑴I-I八4)1=506x2-0=1012.

i=1i=l

故答案為:1012.

反三

練習16.(2023春?江西?高三江西師大附中?？茧A段練習)已知定義在R上的函

數/(x)滿足“X—l)+/(x+l)=0,且當代［0,2)時，/(x)=log2(x+l),則“2025)的

值為()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】D

【分析】根據〃x-l)+/G+l)=O,可得〃x+2)=-/(x),從而可得函數的周期，

再根據函數的周期性計算即可.

【詳解】因為/——1)+/。+1)=(),所以/(x+l)=—

則f(x+2)=-f(x),所以〃x+4)=-/(x+2)=,

所以函數/(“是以4為周期的周期函數，

則/(2。25)=/(1)=10&2=1.

故選：D.

練習17.(2023?全國?模擬預測)已知函數n；7,、八，則

/(2023)的值為()

A.22020B.2,0,,C.2m。D.22022

【答案】C

【分析】通過小)，f(x+D和〃x+2)的方程聯立,得到通=-4〃x),根據函

數的周期性賦值求解.

【詳解】當x>0時，由fa)=2〃x-l)-2/(x-2)①,

得/(A+1)=2/(A)-2/Q-1)②，

①②聯立，可得/("+1)=2/(x-I)-4/(x-2),

得/(A+2)=2/(X)—”(x-1)③

把①代入③可得/(x+2)=-4/(A-2),即/(x+4)=-4/(x),

故/(2023)=/(4x506-l)=(-4)306/(-1)=4^=2,0,°,

故選：C.

練習18.(2023?全國?高三專題練習)若函數/⑶滿足會+2)=-小),且當XU[O,1]

時，/(x)=—則/(23)=()

4-2x

A.-1B.C.0D.y

【答案】B

【分析】先利用f(x+2)=-/(x)求出函數的周期，利用周期性轉化/(23)代入

/(》)=￡-即可求解.

4-2x

【詳解】依題意，

因為/(x+2)=-/(A),所以〃％+4)=-/(%+2),

所以/(x)=/(x+4),所以丞(數/(x)的周期為4,

所以”23)="4x5+3)=/⑶.

乂因為〃x+2)=-/(.r),所以/(3)=-/(1),

當xe［O,l］時，.f(x)=#］，所以

4-2x4-2x12

所以〃3)=-/。)=彳.

故選：R

練習19.(2023?廣東?高三專題練習)已知WxwR,函數〃力都滿足

/(x)/(x+4)=l,X/(-l)=2,則f(19)=.

【答案】1/0.5

【分析】首先確定函數的周期，再根據條件和函數的后期，求函數值.

【詳解】根據題意,/(x)/(x+4)=I,顯然

所以小+4)=看，

所以/(?8)=品可=/(6，

所以函數仆)的周期為8,所以加9)=/(3)=志=；.

故答案為：y

練習20.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中?？计谀?已知定義在R上的

奇函數f(x)滿足〃x+4)=f(x)恒成立，且f⑴=1,則〃2)+/(3)+〃4)的值為

【答案】-I

【分析】由函數的奇偶性得到"0)=0,且/(T)=-/(X),結合函數的周期和

/1)=1,求出〃2)1(3)J(4),得到答案.

【詳解】因為/")是定義在R上的奇函數，

故/(0)=0,且/(T)=-/(X),

又f(X+4)=/(%),所以〃4)=/(0)=0,

且/(x+4)=/(x)=-/(-^)，

當x=—2時，〃2)=-*2),故"(2)=0,解得：〃2)=0,

〃T)=—〃力種，當x=l時，/(-l)=-/(l)=-h

又〃x+4)=/(%),所以/(3)=/(-1)=-1,

故/⑵+/(3)+/(4)=0T+0=-1.

故答案為：-I

題型五函數對稱性的應用

例9.(2023.湖北?統考二統)已知函數〃ar+北圖象的對稱軸為*則/(力圖

象的對稱軸為()

A.x=ab+cB.x=ab-c

C.x=ac+hD.x=ac-b

【答案】C

【分析】根據題設條件可得/(改+人詞=/3+〃+詞，故可得正確的選項.

【詳解】設g(x)=/(奴+b),則g(cr)=g(c+x),

故/[”(c-x)+/)]=/[a(c+x)+。],整理得至lj〃ac+力一以)=/(叱+力+ov),

所以/(X)圖象的對稱軸為x=ac+b.

故選：c.

例10.(2023?浙江?高三專題練習)定義在R上的非常數函數/(X)滿足：

〃T)=/(X),且〃2r)+/(M=0.請寫出符合條件的一個函數的解析式

〃加.

【答案】y=cos/x(答案不唯一)

【分析】根據已知"T)=f(",且f(2-%)+〃x)=0得出對稱軸和對稱中心,確

定一個具體函數即可.

【詳解】因為“2T)+/(.V)=0.得出對稱中心(1,0),且洋T)=〃X)得出對稱軸為

「軸，且周期為4的函數都可以.

故答案為：y=COSy,V

舉一反三

練習21.(2023?山西晉中?統考二模)己知函數/(尤)=2'-S%wR),則小)的圖

象()

A.關于直線1=2對稱B.關于點(2⑼對稱C.關于直線x=0對

稱D.關于原點對稱

【答案】B

【分析】利用函數的對稱性及奇偶性即可求解.

【詳解】對于A,由〃1)=21-9=吳2\小)，所以/⑴的圖象不關于

直線戶2對稱，故A錯誤；

對于B,由〃4-”=2i-募=竽-2，=-/(力，所以/⑴的圖象關于點(2,0)對

稱.故B正確；

對于C,由=所以/(x)不是偶函數，故/(x)的

圖象不關于直線x=0對稱，故C錯誤；

對于D,由/(-)=2。￥4-16、2\-/(力，所以/(x)不是奇函數，故/⑺的

圖象不關于原點對稱，故D錯誤；

故選：B.

練習22.(2023?陜西安康統考二模)已知定義在R上的奇函數/⑺滿足

/(x+l)=/(l-x),則“2022)=()

A.1B.0C.1D.2.

【答案】B

【分析】由奇偶性及對稱性得函數的周期性，由周期性計算函數值，

【詳解】由〃x+l)=/(lr)及/⑴是奇函數得/(2+x)=/(r)=-〃x),/(0)=0,

所以f(x+4)=-/(x+2)=f(x),所以,⑶是周期函數，周期為4,

/(2022)=/(2)=/(0)=0,

故選：B.

練習23.(2023秋?河北承德?高三統考期末)已知函數F(x)(xwR)滿足

/(x)=/(4-.v),若y=|x-2|與y=/(x)圖象的交點為(百,乂象/,必)，(外,%),6，%)，

貝|］玉+&+占+%=()

A.-4B.0C.4D.8

【答案】D

【分析】由)，=〃力和尸卜-2|的圖象都關于直線”=2對稱，利用對稱性求解.

【詳解】由〃x)=〃47)可知)，=/("的圖象關于直線戶2對稱，y=|x-Z的圖

象關于直線戈=2對稱，

所以升+占+占+兒=4x2=8.

故選：D

練習24.(2021春映西漢中?高三統考期中)已知二次函數/(司=加+區+c,滿

足/(3+x)=/(3-x),且〃4)＜/(5),則不等式的解集為______.

【答案】［十＜%＜。｝

【分析】根據二次函數的對稱性、單調性求得正確答案.

【詳解】由于，(3+X)=〃3T),所以二次函數的對稱軸為X=3,

由于〃4)V〃5),所以〃才)開口向上,

/(x)在(YO,3)上遞減；在(3,也)上遞增，

由/(1-A,)</(1)^|1-X-3|<|1-3|,

BP|x+2|<2,-2<x+2<2,-4<x<0,

所以不等式的解集為｛.r|Yc<。｝.

故答案為：｛x|-4<x<0｝

練習25.(2023秋?江蘇蘇州?高三統考開學考試)寫出一個非常數函數同時滿足

條件：①/(x+2)=/(x),②"1一x)=f(i+x).則/(x)=.

【答案】cos心?(形如acosm+b或asi嗤十8或a|sin兀1-|十6或acos?|十〃)

【分析】根據函數所滿足的周期性、對稱性寫出滿足條件的函數即可.

［詳解］因為“x+2)=fix),"1—x)="1+x),

所以函數周期7=2,函數對稱軸為4=1,

故可取函數/(X)=COS7LV,

故答案為：cos心(答案不唯一，形如acosm+Z?或&5訪彳+/)或4岡11心1+/2或

ITv

〃ms—+〃都可以)

題型六單調性與奇偶性的綜合問題

例11.(2022秋?新疆烏魯木齊?高三烏魯木齊市第四中學?？计谀?已知函數

/(1+1)是偶函數，當1<不<為時，［/'(4)-/(馬)］G-毛)>。恒成立，設〃=-g

。=/(2),c=/(3),則mb,c的大小關系為()

A.c<b<a