專題8.3乘法公式【九大題型】

【滬科版】

型

題

?乘法公式的基本運(yùn)算】..................................................................1

型

題

2利用完全平方式確定系數(shù)1.........................................................................................................................2

型

題

3乘法公式的運(yùn)算】......................................................................4

型

題

4利用乘法公式求值】....................................................................5

型

題

5利用面積法驗(yàn)證乘法公式】..............................................................6

型

題

6乘法公式的應(yīng)用】......................................................................8

型

題

7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】................................................11

型

題

整式乘法中的新定義問題】.............................................................

型

題816

9整式乘法中的規(guī)律探究】..............................................................18

【知識點(diǎn)1乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2?b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

這個(gè)公式叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)z=a2+2ab+b2,(a?b)2=a2?2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們

的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。

【題型1乘法公式的基本運(yùn)算】

【例1】(2022春?青川縣期末)下列各式中計(jì)算正確的是()

A.(a+2b)(A-2/?)=a2-2b2

B.(-a+2b)Ca-2b)=(r-4b2

C.(-a-2b)(?-2b)=-a2+4b2

D.(-a-2b)(a+2b)=cr-4h2

【分析】根據(jù)平方差公式對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：A、應(yīng)為(fl+2/?)(4-2Z?)=a2-(2b)2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

8、應(yīng)為(-a+2Z?)(a-2Z?)=-a2+4ab-4b2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、(-a-2b)(a-2b)=-a2+4h2,正確；

。、應(yīng)為(-a-2b);a+2b)=-a2-4ab-4b2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式1-1](2022春?六盤水期中)下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(-x+2y)(.X-2y)B.(3x-5y)(-3x-5v)

C.(1-5，〃)(5m-1)D.(“+〃)(b+a)

【分析】根據(jù)平方差公式的特征：(1)兩個(gè)兩項(xiàng)式相乘，(2)有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互

為相反數(shù)，對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：《不存在相同的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；

B、-5y是相同的項(xiàng)，互為相反項(xiàng)是3x與-3x,符合平方差公式的要求；

C、不存在相同的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；

。、不存在互為相反數(shù)的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；

故選：B.

【變式1-2](2022春?巴中期末)下列運(yùn)算正確的是()

A.(jr+y)(y-x)=JT-y2B.(-x+y)2=-jr+lxy^+y2

C.(-x-y)2=-x2-2xy-y1D.(x+y)(-y+x)-y2

【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A、結(jié)果是故本選項(xiàng)不符合題意；

8、結(jié)果是f-Zry+y2,故本選項(xiàng)不符合題意；

。、結(jié)果是PiZyyiy2,故本選項(xiàng)不符合題意；

。、結(jié)果是f-J?,故本選項(xiàng)符合題意.

【變式1-3](2022秋?天心區(qū)校級期中)下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是()

A.(a-b)(-b-a)B.(-ir-ni2)(m2+n2)

C.(-1+q)(q+1)D.(2i-3y)⑵+3y)

【分析】A、原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意；

從原式第一個(gè)因式提取-1變形后利用完全平方公式計(jì)算得到結(jié)果，符合題意；

C、原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意；

。、原式利用平方差公式化簡得到結(jié)果，不合題意.

【解答】解：A、原式=從―/,本選項(xiàng)不合題意；

B、原式=-("尸+〃2)2,本選項(xiàng)符合題意；

。、原式=/一]2,本選項(xiàng)不合題意；

。、原式=4.d-9)2,本選項(xiàng)不合題意，

故選：R.

【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】

【例2】(2022秋?望城區(qū)期末)若二項(xiàng)式/+4加上一個(gè)單項(xiàng)式后成為一個(gè)完全平方式，則

這樣的單項(xiàng)式共有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.5個(gè)

【分析】本題考杳運(yùn)用完全平方式進(jìn)行因式分解的能力，式子x2和4分別是x和2的平

方，可當(dāng)作首尾兩項(xiàng)，根據(jù)完全平方公式可得中間一項(xiàng)為加上或減去X和2的乘積的2

倍，即±4X，同時(shí)還應(yīng)看到.P+4加上-4或或三后也可分別構(gòu)成完全平方式，所以

1b

可加的單項(xiàng)式共有5個(gè).

【解答】解：可添加±4工，-4,或W等5個(gè).

16

故選：D.

【變式2-1](2022?南通模擬)如果多項(xiàng)式f+2x+上是完全平方式，則常數(shù)&的值為()

A.1B.-1C.4D.-4

【分析】根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)和已知平方項(xiàng)先確定出另一個(gè)數(shù)是1，平方即可.

【解答】解：??2=2X1?x,

：,k=\-=\,

故選A.

【變式2-2](2022秋?青縣期末)若9/-(K-1)x+l是關(guān)于x的完全平方式，則常數(shù)K

的值為()

A.0B.-5或7C.7D.9

【分析】根據(jù)完全平方式的定義解決此題.

【解答】解：9f-(K-1)x+l=(3x)2-CK-1)x+12.

(K?1)x+1是關(guān)于工的完全平方式，

???9f-(K-1)x+l=(3x)2±2*3X*1+12=(3X)2±6A+12.

???-(K-1)=±6.

當(dāng)?(K-1)=6時(shí),K=-5.

當(dāng)-(K-1)=-6時(shí)，K=7.

綜上：K=-5或7.

故選：B.

【變式2-3](2022秋?崇川區(qū)校級月考)(x+a)(x+〃)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)

是完全平方式，則a,b,c的關(guān)系可以寫成()

A.a<b<cB.(a-b)2+(b-c)2=0

C.c<a<bD.a=b"

【分析】先把原式展開，合并，由于它是完全平方式，故有3『十2"十必十反+C7C)

=[V3x+Y(。+〃+。)]2?化簡有ab+bc+ac=a2+h2+ci,那么就有(a?6)2+Ch-c)2+

(c-〃)2=0,三個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0,則每一個(gè)非負(fù)數(shù)等于0,故可求。=A=c.故選

答案

【解答】解：原式=3f+2(a+b+c)x+Ccib+bc+ac),

V(x+?)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，

?\3『+2(.a+b+c)x+(ab+bc+ac)=[V3x+—(a+b+c)]2,

§

【解答】解：(1)20I92-2018X2020

=20192-(2022-1)X(2022+1)

=20?-(20222-1)

=1;

(2)1P+13X66+392

=112+13X2X3X11+392

=ll2+2XUX39+392

=(11+39)2

=5O2

=2500.

【變式3-3](2022春?順德區(qū)校級月考)計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)???(2^+1)

【分析】原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)-(264+1)

224

=(2-I)(2H)C2?l)—(2M4-1)

=(24-1)(24+1)-(264+1)

=???

=C264-I)(264+l)

=2,28-1.

【題型4利用乘法公式求值】

【例4】(2022秋?九龍坡區(qū)校級期中)若[6,(〃+力)2=8,則時(shí)的值為()

A.一：B.：C.-6D.6

22

【分析】根據(jù)，-》2=16得到(。+力)2(4-8)2=256,再由(〃+力)2=8,求出(6,-b)

』32,

最后根據(jù)ab=婦安"處求出答案.

【解答】解：???。2■從=16,

(a+b)(a-b)=16?

:.(a+b)2(?-Z?)2=256,

,:(a+b)2=8,

:.(a-b)2=32,

?>(a+b)2—(a-b)28-32/

44

故選：C.

【變式4-1](2022春?姜堰區(qū)校級月考)已知4m+〃=9(J,2w-3n=10,求(〃?+2〃)2-(3〃?

-〃)2的值.

【分析】原式利用平方差公式分解，變形后將已知等式代入計(jì)算即可求出值.

【解答】解：V4m+n=90,2m-3n=10,

:.("1+2〃)2-(3m-n)2

=[(m+2n)+(3〃？-〃)][(m+2n)-(3m-n)]

=(4〃i+〃)(3n-2m)

=-900.

【變式(春?峰具期中)若、滿足求下列各式的值.

4-2]2022XSxy4xy=—Z

(1)(x+y)2

(2).?+/.

【分析】(I)原式利用完全平方公式化簡，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；

(2)原式利用完全平方公式變形，將各自的值代入計(jì)算即可求出值.

【解答】解：⑴???/+)，2=京工產(chǎn)一點(diǎn)

:.原式j(luò)F+V+Zyyu：-1=[；

2,2

(2)Vx+>=p4xy=—2

:.原式=Cj^+y1)2-2rV==1Z,

【變式4-3](2022春?包河區(qū)期中)己知(2022-m)(2022-m)=2021,那么(2022-

m)2+(2022-m)?的值為()

A.4046B.2023C.4042D.4043

【分析】利用完全平方公式變形即可.

222

【解答】解：*.*(。?解=a-2ab+bf

/.cT+lr=(a-b)2+2ab.

???(2022-/w)2+(2022-in)2

=[(2022-m)-(2022-m)]2+2X(2022-m)(2022~/n)

=4+2X2021

=4046.

故選:A.

【題型5利用面積法驗(yàn)證乘法公式】

【例5】(2022春?新泰市期末)將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)

兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是()

A.Ca~b)(a+b)=cr-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-IcMrD.(2a-b)2=4a2-4ab+lr

【分析】利用兩個(gè)圖形面積之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【解答】解：如圖，圖甲中①、②的總面積為(。+。)(a-b),

圖乙中①、②的總面積可以看作兩個(gè)正方形的面枳差，即

因此有(a+b)(a-b)=(r-b2,

故選：A.

【變式5-1](2022春?樂平市期末)如圖所示，兩次用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖的面積，可

驗(yàn)證整式乘法公式是()

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)(a+2b)=cr+3ab+2b2

C.(a+b)2=a2+2ab+b2

D.(a-b)2=a1-lab+b1

【分析】用代數(shù)式表示各個(gè)部分以及總面積即可得出答案.

【解答】解：大正方形的邊長為因此面積為(a+b)2,四個(gè)部分的面積分別為標(biāo)、

ab、absb1,

由面積之間的關(guān)系得，(a+〃)2=〃+2"+護(hù)，

故選：C.

【變式5?2】(2022春?錦州期末)如圖1,在邊長為。的大正方形中，剪去一個(gè)邊長為3

的小正方形，將氽卜的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形，根據(jù)兩個(gè)

圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗(yàn)證的等式為（）

圖1圖2

A.-3）三。2B.（a+3）2=/+64+9

C.a（。+3）=a2+3aD.（〃+3）（。?3）=標(biāo)?9

【分析】用代數(shù)式分別表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可.

【解答】解：圖I中，陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即,-32=〃

-9,

圖2是長為"3,寬為〃-3的長方形，因此面積為＜/+3）（d-3）,

所以有（〃+3）（a-3）=々2-9.

故選：D.

【變式5-3]（2022?耶都區(qū)模擬）如圖，在邊長為（x+a）的正方形中，剪去一個(gè)邊長為。

的小正方形，將余下部分對稱剪開，拼成一個(gè)平行四邊形，由左右兩個(gè)陰影部分面積，

C.（x+d）2-x1=a（a+2x）D.x2-a2=（x+a）（x-a）

【分析】根據(jù)陰影部分面積相等得到恒等式即可.

【解答】解：第一幅區(qū)陰影部分面積=（X+。）2?/,

第二幅圖陰影部分面機(jī)=（x+a+a）x=x（x+2〃），

:.（x+a）2-cr=x（x-2n）,

故選：A.

【題型6乘法公式的應(yīng)用】

[例6]（2022春?榆次區(qū)期中）如圖I,從邊長為（"5）cm的大正方形紙片中剪去一個(gè)

邊長為（a+2）a〃的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開，按圖3方式拼接成一個(gè)

長方形（無縫隙不重合）則該長方形的面積為（）

【分析】由圖形可知K方形的長為兩正方形的和，寬為兩K方形的差，據(jù)此可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，長方形的面積為[(〃+5)+(，廿2)][(。+5)-(〃+2)]=3(2a+7)

=(6a+21)cm,

故選：D.

【變式6-1](2022秋?西峰區(qū)期末)如圖，正方形ABCO和正方形和MFNP重疊，其重

疊部分是一個(gè)長方形，分別延長AZ)、CD,交NP和MP于H、Q兩點(diǎn),構(gòu)成的四邊形

NGOH和MEQQ都是正方形，四邊形PQQ”是長方形.若正方形48CO的邊長為x,AE

=10,CG=20,長方形EFGD的面積為200.求正方形MFNP的面積(結(jié)果必須是一個(gè)

具體數(shù)值).

【分析】設(shè)。E=a，DG=b,則a=x-10,b=x-20,a-b=\0,又由必=200,所以

正方形MFNP的面枳為(〃+/?)2=(a-b)2+4d/?=9(X).

【解答】解：)設(shè)DG=b,則a=x-10,b=x-20,a-b=\0,

又由ab=200,

22

???正方形MFNP的面積為：(a+b)2=(a-b)+4ab=10+4X200=900.

【變式6-2](2022春?湖州期末)如圖，把一塊面積為100的大長方形木板被分割成2個(gè)

大小一樣的大正方形①，1個(gè)小正方形②和2個(gè)大小一樣的長方形③后，如圖擺放，且每

個(gè)小長方形③的面積為16,則標(biāo)號為②的正方形的面積是()

②

①

A.16B.14C.12D.10

【分析】設(shè)標(biāo)號為①的正方形的邊長為x,標(biāo)號為②的正方形的邊長為y,根據(jù)圖形及己

知條件可將③長方形的長和寬表示出來，再根據(jù)每個(gè)小長方形的面積均為16及大長方形

的面積為100,得出『與V的數(shù)量關(guān)系，然后解得即可.

【解答】解：設(shè)標(biāo)號為①的正方形的邊長為x,標(biāo)號為②的正方形的邊長為戶則標(biāo)號為

③的長方形長為（x+y）,寬為（x-y）,

???每個(gè)小長方形③的面積均為16,

（x+y）（x-y）=16,

Ax2-）2=16,

Ax2=16+/

???大長方形的長等于標(biāo)號為③的小長方形的長與標(biāo)號為①的正方形的邊長的和，寬等于

標(biāo)號為③的小長方形的寬與標(biāo)號為①的正方形的邊長的和，

???大長方形的長為：［（工+y）+/］=2x+y,寬為：［（x-y）+x］=2x-y,

???大長方形的面積為100,

J（2x+y）（2v-y）=100,

???4f-產(chǎn)=100,

A4（16+）2）-/=100,

A/=12,

即標(biāo)號為②的正方形的面積為）2=12.

故選：C.

【變式6-3］（2022秋?杏坊區(qū)校級期中）如圖，我校一塊邊長為2x米的正方形空地是八年

級1-4班的衛(wèi)生區(qū)，學(xué)校把它分成大小不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖

是四個(gè)班級所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長為（x-2），）米的正方形,

其中0<2yVx.

（1）分別用x、），的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；

（2）求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比I班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？

【分析】（1）結(jié)合圖形、根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)圖形分別表示出2班的衛(wèi)生區(qū)的面積和1班的衛(wèi)生區(qū)，根據(jù)平方差公式和完全

平力公式化詢、求差即可.

【解答】解：(1)八年3班的衛(wèi)生區(qū)的面積=(x-2y)[2x-(x-2)，)]二1-4廣

八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積=(x-2y)[2x-(x?2y)]=f?4廣

(2)12x-(x-2y)J2-(x-2y)2=Sxy.

答：2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比I班的衛(wèi)生區(qū)的面積多8xv平方米.

【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】

【例7】(2008秋?上海校級期中)我們己經(jīng)知道利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些

數(shù)學(xué)公式，如圖一，我們可以得到兩數(shù)差的完全平方公式：(〃-方)三片_2帥+從

(1)請你在圖一中，標(biāo)上相應(yīng)的字母，使其能夠得到兩數(shù)和的完全平方公式2=

cr+lab+try

(2)圖三是邊長為。的正方形中剪去一個(gè)邊長為。的小正方形，剩下部分拼成圖四的形

狀，利用這兩幅圖形中面積的等量關(guān)系，能驗(yàn)證公式從=而+力)(a-b)；

(3)除了拼成圖四的圖形外還能拼成其他的圖形能驗(yàn)證公式成立，請?jiān)嚠嫵鲆粋€(gè)這樣的

圖形，并標(biāo)上相應(yīng)的字母.

【分析】(I)此題只需將大正方形的邊長表示為小小正方形的邊長表示為匕即可,

(2)此題只需將兩個(gè)圖形的面積表示出來寫成等式即可：

(3)此題還可以拼成一個(gè)矩形來驗(yàn)證公式的成立.

【解答】解：(1)

(2)根據(jù)兩圖形求得兩圖形的面積分別為：S產(chǎn)層.b2.s?=1(2。+2力)(a-b)=(a+〃)

(a-b)

(3)拼成的圖形如下圖所示：

【變式7-1](2022春?西城區(qū)校級期中)閱讀學(xué)習(xí)：

數(shù)學(xué)中有很多恒等式可以用圖形的面積來得到.

如圖I,可以求出陰影部分的面積是層-護(hù)；如圖2,若將陰影部分裁剪下來，重新拼成

一個(gè)矩形，它的長是"乩寬是比較圖1,圖2陰影部分的面積，可以得到恒等

式(a+Z>)(a-b)=a2-b2.

(A)觀察圖3.請你寫出(eb>2,(a-2,ah之間的一個(gè)恒等式(a-b)2=

2-4ab.

(2)觀察圖4,請寫出圖4所表示的代數(shù)恒等式：(2。+及(。+力)=2^+3他+廬

(3)現(xiàn)有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖5所示，請你用拼圖的方法推出一個(gè)恒等式

(〃+〃)2=/+2帥+乩仿照圖4畫出你的拼圖并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù).

圖4四5

【分析】(I)利用完全平方公式找出(”+力)入(a-b)2、帥之間的等量關(guān)系即可；

(2)根據(jù)面積的兩種麥達(dá)方式得到圖4所表示的代數(shù)恒等式；

(3)由已知的恒等式,畫出相應(yīng)的圖形即可.

【解答】解：(1)(肝為2,(4-m2,時(shí)之間的一個(gè)恒等式(〃_〃)2="+})2-

4ab.

(2)圖4所表示的代數(shù)恒等式：(2a+b)(a+b)=2a2+3alHb2.

(3)如圖所示:

故答案為：(a-b)2=(a+b)2-(2a+b)(a+b)=2cr+3ab+b2.

【變式7-2］(2022春?武侯區(qū)校級期中)［知識生成］通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖

形的面積，可以得到一個(gè)恒等式.

例如：如圖①是一個(gè)長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長方形，

然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形.請解答下列問題：

(1)觀察圖②，請你寫出(a+b)2、(a-b)2、必之間的等量關(guān)系是(a+b)2?(〃

-/?)2=4〃〃；

(2)根據(jù)(I)中的等量關(guān)系解決如下問題：若x+y=6,xy=y,求(x-y)2的值；［知

識遷移］類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式.

(3)根據(jù)圖⑤，寫出個(gè)代數(shù)恒等式：(a+b)R=;

(4)已知。+。=3,ab=1,利用上面的規(guī)律求直尹的值.

【分析】（1）觀察圖②大正方形面積減中間小正方形面積等于4個(gè)長方形面積;

（2）靈活利用上題得出的結(jié)論，靈活計(jì)算求解.

（3）利用兩種方式求解長方體的體積，得出關(guān)系式.

（4）利用上題得出得關(guān)系式，進(jìn)行變換，最終求出答案.

【解答】解：（1）用兩種方法表示出4個(gè)長方形的面積：即大正方形面積減中間小正方

形面積等于4個(gè)長方形面積，可得：（〃+8）2-（〃-%）2=4",

（2）由題（1）可知：（x+），）2-（x-j）2=的，，

:.-（.X-y）2=2-4.￥）,=36-4xy=14.

（3）利用兩種方式求解長方體得體積，即可得出關(guān)系式：（〃+〃尸=/+3a2H3加+〃.

（4）由（3）可知/+/=（a+b）3-3a2b-3ab2=（.a+b）3-3ab（a+b）,

把q+/?=3,帥=1代入得:

〃+〃=33?3X1X3=18.

【變式7-3］（2022春?賀蘭縣期中）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對同一面積的不同表達(dá)和

比較，利用圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式，不僅更清晰地“看到”

公式的結(jié)構(gòu)，同時(shí)感受到這樣的抽象代數(shù)運(yùn)算也有直觀的背景.這種利用面積關(guān)系解決

問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象

請你利用上述方法解決卜.列問題：

（1）請寫出圖（1）、圖（2）、圖（3）所表示的代數(shù)恒等式

XX

（1）（2）（3）

（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）（x+3y）=x2+4xy+3,y2

【拓展應(yīng)用】

提出問題：47X43,56X54,79X71,……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10

的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？

幾何建模：

用矩形的面枳表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47X43為例：

（1）畫長為47,寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47X43的矩形從右邊切下長40,寬3

的一條，拼接到原矩形的上面.

（2）分析：幾何建模步驟原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47X43的矩形面積或

（40+7+3）X40的矩形與右上角3X7的矩形面積之和，即47X43=（40+10）X40+3

X7=5X4X100+3X7=2021,用文字表述47X43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和

與4相乘，再乘以100,加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，溝成運(yùn)算結(jié)果.

請你參照上述幾何建模步驟，計(jì)算57X53.要求畫出示意圖，寫出幾何建模步驟（標(biāo)注

有關(guān)線段）

歸納提煉：

兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）：

十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100,加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果

證明上述速算方法的正確性.

【分析】（1）利用面枳法即可解決問題：

（2）模仿例題，構(gòu)建幾何模型，利用面積法計(jì)算即可；

拓展應(yīng)用：模仿例題計(jì)算57X53即可；

探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可：

【解答】解：（1）圖（I）所表示的代數(shù)恒等式：（.r+y）-2X=2『+2A》

圖（2）所表示的代數(shù)恒等式：（x+y）（2x+y）=21+3沖+,2

圖（3）所表示的代數(shù)恒等式：（x+2y）（2A-+J）=21+5入尹2廣

（2）幾何圖形如圖所示:

Xyy

拓展應(yīng)用：

（1）①幾何模型:

②用文字表述57X53的速算方法是：十位數(shù)字5加1的和與5相乘，再乘以100,加上

個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果；

即57X53=（50+10）X50+3X7=6X5X100+3X7=3021；

十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100,加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果；

故答案為十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100,加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成

運(yùn)算結(jié)果；

【題型8整式乘法中的新定義問題】

【例8】（2022春?嘉興期中）定義：對于三個(gè)不是同類項(xiàng)的單項(xiàng)式A,B,C,若A-B+C

可以寫成（a+b）2的形式，則稱這三項(xiàng)為“完全搭配項(xiàng)"，若單項(xiàng)式4和〃7是完全

搭配項(xiàng)，則加可能是4x或或m4.（寫出所有情況）

16

【分析】分為三種情況：①〃?為第二項(xiàng)時(shí)，②當(dāng)，〃為第一項(xiàng)時(shí)，根據(jù)完全平方式求出〃?

即可.

【解答］解：①f±4x+4,此時(shí)〃i=±4x,

②（；『）？+/+4,此時(shí)（-X2）2=七一,

4416

故答案為：4x或-4%或9a

16

【變式8-1］（2022春?成華區(qū)月考）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那

么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、

20都是這種“神秘?cái)?shù)”.

（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說明理由;

（2）試說明神秘?cái)?shù)能被4整除；

(3)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？試說明理曰.

【分析】(1)根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義，只需看能否把28和2012這兩個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)連續(xù)

偶數(shù)的平方差即可判斷；

(2)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可；

(3)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可.

【解答】解：(1)是，理由如下：

V28=82-62,2012=5042-5022,

???28是“神秘?cái)?shù)”；2012是“神秘?cái)?shù)”：

(2)“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù).理由如下：

(2A+2)2-(2&)2=(2-2+2&)C2k+2-2k)=2(4&+2)=4(2&+I),

???“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)；

(3)設(shè)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)為：2H1,2k-則

(2&+1)2-⑵-1)』8出,

而山(2)知“神秘?cái)?shù)”是4的奇數(shù)倍，不是偶數(shù)倍，但8不是4的偶數(shù)倍，

所以兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù).

【變式8-2](2022春?博山區(qū)期末)定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平

方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為：“奇異數(shù)”.如8,16,24都是“奇異數(shù)”.

(1)寫出兩個(gè)奇異數(shù)(8,16,24除外)；

(2)試問偶數(shù)6050是不是奇異數(shù)？為什么？

【分析】(I)根據(jù)奇異數(shù)的定義判斷即可；

(2)偶數(shù)6050不是奇異數(shù)，根據(jù)兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，即(〃+2)2-〃2=6050,求

出〃的值,判斷即可.

【解答】解:(1)奇異數(shù)可以為32,40；

(2)不是奇異數(shù)，理由為：

假設(shè)偶數(shù)6050為奇異數(shù)，即為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，

可設(shè)(〃+2)2-/=6()50,

分解因式得：2(2?+2)=6050,

解得：77=1511.5,

可得〃不是奇數(shù)，不符合題意，

則偶數(shù)605()不是奇異數(shù).

【變式8-3](2022?永川區(qū)模擬)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱

這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，否則稱這個(gè)正整數(shù)為“非智慧數(shù)”.例如：2??產(chǎn)=3；32?

22=5；32-12=8；42-32=7；42-22=12；42-12=15；…，等等.

因此3,5,8,…，都是“智慧數(shù)”；而1,2,4,…，都是“非智慧數(shù)”.

對于“智慧數(shù)”，有如下結(jié)論：

①設(shè)A為正整數(shù)(k22),則必?(h1)占2h1..??除1以外，所有的奇數(shù)都是“智

慧數(shù)”；

②設(shè)&為正整數(shù)(女23),則產(chǎn)--2)2=43:-1).???都是“智慧數(shù)”.

(1)補(bǔ)全結(jié)論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”：

(2)求出從I開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智急數(shù)”.

【分析】(1)由平方差公式即可得出答案，根據(jù)①?的結(jié)論除去奇數(shù)及4的正整數(shù)倍數(shù),

即可得所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；

(2)根據(jù)①②可判斷出在1,2,3,4四個(gè)數(shù)中，只有1個(gè)“智慧數(shù)”3；攵為正整數(shù)時(shí)，

則4%+1,4什3是奇數(shù),4/2,4a4是偶數(shù)，而是+2是“非智慧數(shù)”,4&+L4A+3,4k+4

是“智慧數(shù)”.從而根據(jù)循環(huán)規(guī)律判斷出結(jié)果.

【解答】解：(1)(攵?2)2=(k+k-2)Ck-k+2)=2(22-2)=4(A-1)；

智慧數(shù)是除4以外，所有4的正整數(shù)倍數(shù).

根據(jù)①，除去奇數(shù)；7,9,II,13,15,17,19；

根據(jù)②，除去4的正整數(shù)倍數(shù)：8,12,16.

則所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”有.：6,10,14,18.

(2)在I,2,3,4匹個(gè)數(shù)中，只有1個(gè)“智慧數(shù)”3.

當(dāng)左為正整數(shù)時(shí)，則4計(jì)1,4k+3是奇數(shù)，4A-+2,4k+4是偶數(shù)，而4好2是“非智慧數(shù)”，

4R1,42+3,4X4是“智慧數(shù)”.

???在從I開始的正整數(shù)中前4個(gè)正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后每連續(xù)4個(gè)數(shù)中有3

個(gè)“智慧數(shù)”.

7100=1+3X33,

A4X(33+1)=136.

又136后面的3個(gè)“智慧數(shù)”為137,139,140,

???從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”是140.

【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】

【例9】(2022春?江陰市期中)觀察下列各式(X-1)(x+l)=f-l,(x-1)(f+x+l)

=?-1,(x-1)(Jr2+x+l)=x4-1……根據(jù)規(guī)律計(jì)算：(?2)20,8+(-2)20,7+(-

2)劉6+…+(-2)3+(-2)2+(-2)'+1的值為()

A.22*1B.-22S9-1C.空士D.空也

33

【分析】先計(jì)算(-2-1)[(-2)238+(-2)237+(_2)2016+...+(-2)(-2)

2+(-2),+1]=(-2)2019-1,然后再計(jì)算所給式子.

3

【解答】解：V(-2-1)[(-2)2018+(-2)2017+(.2)2016+...+(-2)+(-2)

2i(-2)hl],

=(-2)20,9-1,

=-220,9-i,

/.(-2)2018+(-2)2017+(-2)2°i6+…+(-2)(-2)2+(-2),+1=空

3

故選：￡).

【變式9-1](2022?豐順縣校級開學(xué))解答下列問題.

(1)觀察下列各式并填空：32-12=8X1；52-32=8X2；①72-5?=8X3；②92?

72=8X4；⑤-92=8X5；@132-112=8X6；…

(2)通過觀察、歸納，請你用含字母〃(〃為正整數(shù))的等式表示上述各式所反映的規(guī)

律；

(3)你能運(yùn)用平方差公式來說明(2)中你所寫規(guī)律的正確性嗎？

【分析】(1)觀察算式，補(bǔ)全空白即可；

(2)觀察算式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫