2024屆新高三開學摸底考試卷（新高考專用）01數學·參考答案123456789101112ACDADCBDBCBCBDBCD13．3614．15．16．17．(1)(2).【詳解】（1）由正弦定理得，所以，得，因為，所以，得，又，所以．（2）由，得，由余弦定理，得，得，得，所以的周長為．18．(1)

略

(2)【解析】(1),為的中點,,

,,

四邊形為平行四邊形,.

,.

,,.

又平面平面,平面平面,

平面,.又,平面.

平面,平面平面.

(2)由(1)可知平面.如圖,以為原點,分別以,,所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,

則,,,,,

,,,,

.

設,則,且,得,

.

設平面的法向量為,

則,即,

令,則,,

平面的一個法向量為.

設平面的法向量為,

則,即

令,則,,

平面的一個法向量為.

平面與平面所成的銳二面角的大小為,

,

.

.

即當時,平面與平面所成的角大小為19．【答案】(1)a≤0時，f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，當a>0時，f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增(2)見解析【詳解】(1)解函數f(x)＝ex－ax－a的定義域為R，求導得f′(x)＝ex－a，當a≤0時，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，當a>0時，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>lna，令f′(x)<0，解得x<lna，即f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增，所以當a≤0時，f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，當a>0時，f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，在(lna，＋∞)上單調遞增．(2)證明當a＝1時，g(x)＝eq\f(2ex－x－1,x2)，當x>0時，eq\f(2ex－x－1,x2)>1?ex>1＋x＋eq\f(x2,2)?eq\f(\f(1,2)x2＋x＋1,ex)<1，令F(x)＝eq\f(\f(1,2)x2＋x＋1,ex)－1，x>0，F′(x)＝eq\f(－\f(1,2)x2,ex)<0恒成立，則F(x)在(0，＋∞)上單調遞減，F(x)<F(0)＝eq\f(1,e0)－1＝0，因此eq\f(\f(1,2)x2＋x＋1,ex)<1成立，所以當x>0時，g(x)>1，即原不等式得證．20．【答案】(1)(2)【詳解】（1））因為，所以，所以.所以.則數列的通項公式為.（2）因為數列是以首項為，公比為4等比數列.所以.因為數列是等差數列，所以.化簡得.因為，所以，即.所以.因為，所以數列是以為首項．4為公比的等比數列所以.所以.則數列的前n項和為：.21．【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）證明見解析，比賽局數越多，對實力較強者越有利【詳解】（1），即采用3局2勝制，所有可能取值為，，的分布列如下表：23所以的數學期望為.（2）采用3局2勝制：不妨設賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局數，則，甲最終獲勝的概率為：，采用5局3勝制：不妨設賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局數，則，甲最終獲勝的概率為：，，得.（ii）由（i）知.局比賽中恰好甲贏了局的概率為，局比賽中恰好甲贏了局的概率為，則局比賽中甲至少贏局的概率為.考慮局比賽的前局：如果這局比賽甲至少贏局，則無論后面結果如何都勝利，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為，如果這局比賽甲贏了局，則需要后兩場都贏，其概率為，因此局里甲最終獲勝的概率為：，因此，即數列單調遞增.該結論的實際意義是：比賽局數越多，對實力較強者越有利.22．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為線段的垂直平分線交半徑與點，所以，所以是定值，，所以點軌跡為橢圓，其長軸為4，焦距為2，所以的軌跡的方程.（2）解法一設.由已知得：直線的方程為；設，.由已知得：直線的方程為又因為AC、BD斜率之積為，所以，由得，即，所以，.故同理聯立BD與橢圓方程，可得，所以，故設分別為點到直線的距離，則.又在直線在異