專題26分而治之

——分類討論

閱讀與思考

在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，需要將問(wèn)題所涉及的所有對(duì)象按一定的標(biāo)準(zhǔn)，分成若干類，然后逐類

討論，才能得出正確的解答，這種解題方法稱為分類討論法．

運(yùn)用分類討論法解題的關(guān)鍵是如何正確進(jìn)行分類．正確分類的標(biāo)準(zhǔn)是：對(duì)所討論的全體分類要“既

不重復(fù)，又不遺漏”；在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；對(duì)于多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行．

初中數(shù)學(xué)分類討論問(wèn)題的常見(jiàn)形式有：

1．一些定義、定理、公式和法則有范圍或條件的限制，在使用過(guò)程中必須討論；

2．題設(shè)條件中含有變量或參數(shù)時(shí)，必須根據(jù)變量或參數(shù)的不同取值進(jìn)行討論；

3．一些問(wèn)題的圖形位置或形狀不確定時(shí)，只有通過(guò)討論，才能保證結(jié)論的完整性；

4．一些問(wèn)題的條件沒(méi)有明確給出或結(jié)論不唯一時(shí)，只有通過(guò)討論，才能保證解答的嚴(yán)密性；

5．對(duì)于自然數(shù)問(wèn)題，有時(shí)須按剩余類分類討論．

例題與求解

【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜

邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的取值范圍是．（北京市宣武區(qū)中考試題）

解題思路：圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓與斜邊相切或圓與斜邊相交．

【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．

解題思路：解絕對(duì)值方程的關(guān)鍵是去方程左邊的絕對(duì)值符號(hào)，這就要對(duì)x的取值范圍進(jìn)行分類討

論．需分下列三種情況：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．

【例3】若關(guān)于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)k的

值有___________．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

解題思路：用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方

程兩種情形討論，這樣確定k的值才能全面而準(zhǔn)確．

【例4】如圖，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上（與點(diǎn)A，C不重合），

Q在BC上．

(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(3)試問(wèn)：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

若存在，請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng)．（福州市中考試題）

解題思路：對(duì)于(3)，使△PQM為等腰直角三角形有兩種情況：一是以PQ為直角邊，二是以PQ

為斜邊．

【例5】證明：每個(gè)大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)

聯(lián)賽試題）

解題思路：由于自然數(shù)可分為奇數(shù)、偶數(shù)兩大類，因此，很容易考慮到按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論．

【例6】設(shè)a和b是相異實(shí)數(shù)，證明：存在整數(shù)m和n，使得ambn0，bman0．（加

拿大中學(xué)生競(jìng)賽試題）

解題思路：a，b為相異實(shí)數(shù)，則必有a－b>0或a－b<0兩種情況．

能力訓(xùn)練

ba

1．已知a+b=－8，ab=8，化簡(jiǎn)ba=．（內(nèi)江市中考試題）

ab

ba

2．已知實(shí)數(shù)a，b滿足以a2－7a+2=0，a2－7b+2=0，則的值為．（淮陰市中考

ab

試題）

3．在△ABC中過(guò)A作△ABC的高，垂足為D．若∠BAD=55°，∠CAD=25°，則∠BAC=．

4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2，2)，B（2，－3），點(diǎn)P在y軸上，且△APB為直角三角形，

則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為．（河南省競(jìng)賽誠(chéng)題）

5．平面上A，B兩點(diǎn)到直線l的距離分別是2－3與2+3，則線段中點(diǎn)C到直線l的距離

是．

6．以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓圓周上的一點(diǎn)，且OC2=AC·BC，則

∠CAB=．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7．如圖，在兩直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．當(dāng)AB=時(shí)，這兩個(gè)

直角三角形相似．

第7題圖第10題圖第11題圖

8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是S，則S的取值范圍

是．（天津市中考試題）

9．關(guān)于x的方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則m

的取值范圍是()

3131

A．－＜m＜－B．m≤－或m≥－

2424

1131

C．－＜m＜D．m≤－或m≥

4222

（四川省選拔賽試題）

10．如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫縱方向相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都是1個(gè)單

位．定義：由點(diǎn)陣中4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫陣點(diǎn)平行四邊形，圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為2的

陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為()

A．3個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．9個(gè)

（武漢市四月調(diào)考試題）

11．如圖，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的點(diǎn)，使以F，A，D為頂點(diǎn)的

三角形和以F，B，E為頂點(diǎn)的三角形相似，則這樣的點(diǎn)F有()（紹興市競(jìng)賽試題）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

12．下面是某同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中解答的填空題：

①若x2=a2，則x=a．

②方程2x(x－1)=x－1的解為x=0．

③若直角三角形有兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)為5．

其中答題完全正確的題目個(gè)數(shù)為()

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

（重慶市中考試題）

13．在半徑為5cm的圓內(nèi)有長(zhǎng)為53cm的弦，則此弦所對(duì)的圓周角為()

A．60°或120°B．30°或120°C．60°D．120°

14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P，A，D為

頂點(diǎn)的三角形和以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

第14題圖第15題圖

15．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且AO，BO的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程

x2+(2m－1)x+m2+3=0的根，則m的值為()

A．－3B．5或－3C．5D．－5或3

（吉林省中考試題）

1

16．已知：關(guān)于x的函數(shù)ya23a2x2a1x的圖象與x軸總有交點(diǎn)，求a的取值范

4

圍．

（十堰市中考試題）

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y

k

軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，反比例函數(shù)y（x>0，k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)線段BC的中點(diǎn)D．

x

(1)求k的值；

(2)若點(diǎn)P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，作PQ⊥BC

所在直線于點(diǎn)Q，記四邊形COPR的面積為S，求S關(guān)于x的解析式并寫出x的取值范圍．

18．已知△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿

CA，AB運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)．

(1)設(shè)P從C開始運(yùn)動(dòng)的距離為xcm，△BCP的面積為ycm2，把y表示成x的函數(shù)；

1

(2)從C出發(fā)幾秒時(shí)，S△BCP=S△ABC?（荊州市中考試題）

4

19．如圖，已知⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)O，以直線O1O2為x軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

直線AB切⊙O1于點(diǎn)B，切⊙O2于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C(0，2)，交x軸于點(diǎn)M；BO的延長(zhǎng)線交⊙O2于點(diǎn)

D，且OB：OD=1：3．

(1)求⊙O2的半徑長(zhǎng)；

(2)求直線AB的解析式；

(3)在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使△MO2P與△MOB相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，

說(shuō)明理由．

（吉林省中考試題）

22

20．已知拋物線l1：y=ax－2amx+am+2m+1(a>0，m>0)的頂點(diǎn)為A，拋物線l2的頂點(diǎn)B在y軸上，

且拋物線l1和拋物線l2關(guān)于點(diǎn)P(1，3)成中心對(duì)稱．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求l2的解析式和m的值；

(2)設(shè)l2與x軸正半軸的交點(diǎn)是C，當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，求a的值．

（浙江省競(jìng)賽試題）

21．已知定理：“若三個(gè)大于3的質(zhì)數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式2a+5b=c，則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù)，”

試問(wèn)：上述定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少？并證明你的結(jié)論．

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

22．如果對(duì)一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方），證明：

(1)2a，2b都是整數(shù)；

(2)a，b，c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)．

反過(guò)來(lái)，如果(2)成立，是否對(duì)一切x的整數(shù)值，ax2+bx+c的值都是平方數(shù)？

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

23．2007個(gè)質(zhì)點(diǎn)均勻分布在半徑為R的圓周上，依次記為P1，P2，P3，…，P2007．小明用紅色按

如下規(guī)則去涂這些點(diǎn)：設(shè)某次涂第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則下次就涂第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)后面的第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)．按此規(guī)則，小

明能否將所有的質(zhì)點(diǎn)均涂成紅色？若能，請(qǐng)給出一種涂色方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，、

（浙江省競(jìng)賽試題）

24．甲、乙、丙三支乒乓球隊(duì)，人數(shù)都不相同，每隊(duì)不少于2人，甲隊(duì)最少，丙隊(duì)最多．同一球隊(duì)

的隊(duì)員互相不比賽，不同球隊(duì)的隊(duì)員之間都要比賽一場(chǎng)．統(tǒng)計(jì)員作了記錄：參加比賽的共有13人，進(jìn)

行的比賽共有54場(chǎng)．求甲、乙、丙三支球隊(duì)的隊(duì)員數(shù)，并說(shuō)明理由．（江蘇省競(jìng)賽試題）

專題26分而治之

——分類討論

例1R＝2.4cm或3cm＜R≤4cm

例2分三種情況討論：

1111

①當(dāng)x≤－3時(shí)，方程為－2x－1＝x＋10解得x，符合x≤－3，故x是一解；②當(dāng)－3＜x≤2

33

時(shí)，方程為5＝x＋10解得x＝－5，不符合－3＜x≤2，故舍去；

③當(dāng)x＞2時(shí)，方程為2x＋1＝x＋10解得x＝9，符合x＞2，故x＝9也是一解．

11

綜合①②③可得原方程的解為x或x＝9．

3

例3當(dāng)k＝6時(shí)，得x＝2；當(dāng)k＝9時(shí)，得x＝－3；

96

當(dāng)k≠6且k≠9時(shí)，解得x，x；

16k29k

當(dāng)6－k＝±1，±3，±9時(shí)，x1是整數(shù)，這時(shí)k＝7，5，3，－3，15；

當(dāng)9－k＝±1，±2，±3，±6時(shí)，x2是整數(shù)，這時(shí)k＝10，8，11，7，12，15，3．

綜上所述，k＝3，6，7，9，15時(shí)，原方程的解是整數(shù)．

24

例4（1）CP22；（2）CP；

7

（3）①如圖1所示，設(shè)PM⊥PQ且PM＝PQ，點(diǎn)M在AB上，令

12

x

x60

PQ＝x，∵△CPQ∽△CAB，∴5，解得x．②

51237

5

如圖2所示，當(dāng)∠PMQ＝90°，且PM＝MQ，點(diǎn)M在AB上，令PQ＝y(tǒng)，

121

y

y120

∵△CPQ∽△CAB，∴52，解得y．

51249

5

例5①若n為奇數(shù)，設(shè)n＝2k＋1，k為大于2的整數(shù)，則可寫成n＝k＋(k＋1)，顯然符合要求．②若n

為偶數(shù)，則可設(shè)n＝4k，或n＝4k＋2，k為大于1的自然數(shù)．當(dāng)n＝4k時(shí)，n＝(2k－1)＋(2k＋1)，且易知

2k－1與2k＋1互質(zhì)，假如它們有公因子d≥2，則d＝2，但2k－1，2k＋1均為奇數(shù)，此為不可能；當(dāng)n

＝4k＋2時(shí)，n＝(2k－1)＋(2k＋3)，且易知2k－1與2k＋3互質(zhì)，事實(shí)上假如它們有公因子d≥2，設(shè)2k

－1＝nd，2k＋3＝md，m，n均為自然數(shù)，則有(m－n)d＝4，可見(jiàn)d＝4，矛盾．

例6當(dāng)a－b＞0時(shí)，取m＝1，n＝－1，則am＋bn＝a－b＞0成立，bm＋an＝b－a＜0成立，驗(yàn)證知

滿足所給不等式．當(dāng)a－b＜0時(shí)，取m＝－1，n＝1，則am＋bn＝－a＋b＞0成立，bm＋an＝－b＋a＜

0成立，也驗(yàn)證知滿足所給不等式．

能力訓(xùn)練1.1222.2或22.53.80°或30°提示：分高AD在△ABC內(nèi)部或外

部?jī)煞N情況．4.4個(gè)提示：先在坐標(biāo)平面內(nèi)描出A，B兩點(diǎn)，連接AB，因題設(shè)中未指明△PAB

的哪個(gè)角是直角，故應(yīng)分別就∠A，∠B，∠P是直角來(lái)討論．設(shè)點(diǎn)P(0，x)，運(yùn)用幾何知識(shí)建立x的方

2222

程．若∠A＝90°，則P1(0，2)；若∠B＝90°，則P2(0，－3)；若∠P＝90°，則PA＋PB＝AB，而PA

＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴x＝1或x＝－2，

即P3(0，1)或(0，－2)．

5.2或3提示：分A,B位于l同側(cè)或異側(cè)兩種情況討論．

6.75°或15°提示：運(yùn)用圓的對(duì)稱性．7.3或32．

33

8.S≤－且S≠－3提示：S＝2m－3，≥0，m≤且m≠0．

24

9.B．10.D．提示：以A,B為頂點(diǎn)的平行四邊形可以分為兩類：①以AB為邊的，且面積為2

的平行四邊形共6個(gè)；②以AB為對(duì)角線，且面積為2的平行四邊形共3個(gè).故滿足條件的陣點(diǎn)平行四邊

形的個(gè)數(shù)為9個(gè).11.C12.A13.A14.C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP兩種情況討論.15.A

16.提示：當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)，即且時(shí)，圖像與x軸有交點(diǎn)；當(dāng)

22

且時(shí)，圖像與x軸有交?點(diǎn)+，3?綜+上2知=0a的?取+值1≠范0圍為a<-1.17.(1)在正方形?O+A3B?C+中2，≠

C0B=?OC≥=0OA=AB=2，又點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴CD=1，即D（1,2）.而點(diǎn)D（1,2）在上，∴.

??

?1

∴k=2.（2）（?）當(dāng)0<x<1時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸交CB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)?E=，過(guò)點(diǎn)P2作=PR

⊥y軸于點(diǎn)R.∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），且由（1）題知，點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上.∵PR=OE=x，

2

?=??>0

PE=RO=y=.∴PQ=PE-EQ=.∵S=PRPQ=.綜上，當(dāng)0<x<1時(shí)，S=2-2x；當(dāng)x>1時(shí)，

222

?2????2??=2??2

S=2x-2.18.提示：（1）當(dāng)P在CA邊上時(shí)，x=2，即從點(diǎn)C出發(fā)2秒時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)

1

△BCP=4△ABC

動(dòng)在AB邊上時(shí)，x=15.5，即從點(diǎn)C出發(fā)15.5秒時(shí)，.19（.1）（2）M（，），

1

△BCP=4△ABC23?230

直線AB解析式為.（3）△MOB是等腰三角形，且頂角∠MBO=120°.假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P

3

存在，只需∠?==1230°?+，2得P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）.20.（1）當(dāng)a=1時(shí)，

??2?.∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，32m6+1）.∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3），折直線AB的解析式是

2

y?==kx+?b?，把?點(diǎn)+A2，?P+的1坐標(biāo)代入，得①-②得2m-3=(m-1)k.∵(若m=1，則A，

2?+1=??+?①

?≠1

B，P三點(diǎn)重合，不合題意)，∴k=2，b=13.∴=直?線+A?②B的解析式是y=2x+1，得的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,1）.

2

∵與關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，∴拋物線的開口大小相同，方向相反，得的?解析式是.∵點(diǎn)

2

A，?2B關(guān)?1于點(diǎn)P（1,3）成中心對(duì)稱，如圖1所示，作PE⊥y軸于點(diǎn)E，作?2AF⊥y軸于點(diǎn)?=F，?則?△+B1PE∽

△BAF，∴AF=2PE，即m=2.（2）在Rt△ABF中，∵AB=，∴當(dāng)△ABC為等腰三

22

角形時(shí)，只有以下兩種情況：①如圖2所示，若BC=AB=22，+則4OC==25<5=，得C點(diǎn)坐標(biāo)

22

為（，）.∵C（，）在，∴a=.②如5圖3所示，若??AC?=B?C?，設(shè)1點(diǎn)9C坐標(biāo)為（x，

21

19

0），作1A9D⊥0x軸于點(diǎn)D1.9在R0t△OByC=中?，??+1.在Rt△ADC中，，由

22222

，得x=7，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為?（?7,=0）?，∵+C1（7,0）在??=上?，?2∴a=+2.綜5上，?滿+足1使=

221

??2+25y=???+149

△ABC是等腰三角形的a值有兩個(gè)：，.

11

?1=19?2=49

21.a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)，∴a+b+c是3的倍數(shù).設(shè)a，b被3除后的余數(shù)分別為和，則，

，則，或者，.此時(shí)2a+5b必為3的倍數(shù)，即c為合數(shù)，矛盾.故，

??????≠0

則，或者，此時(shí)a+2b必為3的倍數(shù)，從而a+b+C是9的倍數(shù).∵2×11+5×5=47

??≠0