2024屆新高三開學(xué)摸底考試卷（課標(biāo)全國專用）03理科數(shù)學(xué)·答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1．D2．C3．C4．A5．B6．D7．C8．C9．B10．A11．A12．B13．4014．或15．216．17．【詳解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，（3分）又∵，∴，（4分）∴易知數(shù)列中任意一項(xiàng)不為，∴，（5分）∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（6分）（2）由第（1）問，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，①得，②，（7分）①②得，，（9分）∴，（10分）∴.（11分）∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.（12分）18．【詳解】（1）由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為，則在抽取的人中，“足球迷”有人，所以列聯(lián)表如下（表格2分）非足球迷足球迷合計(jì)女70男40合計(jì)所以，（4分）所以有的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān).（5分）（2）由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為（6分）所以從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取人，其為“足球迷”的概率，所以，即的可能取值為、、、、，（7分）所以，，，，，（10分）所以隨機(jī)變量的分布列為（11分）所以.（12分）19．【詳解】（1）證明：連接OB，因?yàn)闉榈妊苯侨切危裕?分）因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，所以，在等邊三角形中，，因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，所以，（2分）則，（3分）又，所以，即，（4分）因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫?分）

（2）方法一：因?yàn)槭堑妊苯侨切危瑸檫呏悬c(diǎn)，所以，由（1）得平面，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，（建系正確給1分，7分）所以，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，（9分）易知平面的一個(gè)法向量為，（10分）設(shè)二面角的大小為θ，則，（11分）由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．（12分）20．【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓與圓相切的切點(diǎn)為，則，（2分）所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，所以，（3分）所以橢圓的方程為，即點(diǎn)的軌跡的方程為．（4分）

（2）由題意可知直線的斜率顯然不為0，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，消去整理得，（5分）所以，，（6分）因?yàn)椋c(diǎn)共線，所以，（7分）所以，（8分）即，所以，解得，（11分）故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．（12分）

21．【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?（1分）①當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增.（3分）②當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增.（5分）綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（5分）（2）證明：因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，，（6分）兩式相減，可得，即，，（7分）因此，，.（8分）令，則，（9分）令，則，（10分）所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（11分）即.因?yàn)椋裕实米C.（12分）【詳解】（1）由平方可得（1分）又因?yàn)椋裕?分）因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，（4分）所以C的普通方程為；（5分）（2）由直線l的極坐標(biāo)方程為可得直線l的直角坐標(biāo)方程為，（7分）代入C的普通方程可得，解得，（9分）因?yàn)椋陨崛ィ瑹o解，所以l與C沒有交點(diǎn)（10分）23．【詳解】（1）因?yàn)椋?分）所以等價(jià)于，或或，解得或或，（4分）即，即不等式的解集為（5分