第16頁（共16頁）2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之同角三角函數的基本關系一．選擇題（共5小題）1．（2025?官渡區校級開學）在平面直角坐標系中，若角α的終邊經過點P(sin5πA．-3 B．-33 C．332．（2025?鎮雄縣校級開學）已知tan(π2A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．53．（2025?小店區校級開學）已知θ∈（0，π），sinθ+A．θ∈(π2，C．cosθ=-354．（2024秋?定州市期末）已知sinα+cosαsinα-cosα=3，則A．55 B．25 C．34 5．（2024秋?丹陽市期末）設tanα=-1A．-35 B．35 C．﹣1 二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?張家口開學）已知θ∈A．θ∈(π2，C．tanθ=-158（多選）7．（2025?鎮雄縣校級開學）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，下列正確的選項為（）A．若角α的終邊在第一象限，則角α為銳角 B．若cosα=45C．若角α的終邊過點P（﹣3，﹣4），則tanα=D．若角α是三角形中一個內角且滿足tanα＝﹣2，則cosα（多選）8．（2024秋?建華區校級期末）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=1A．θ∈（0，π2） B．cosθ=C．tanθ=-34 D．sinθ﹣三．填空題（共4小題）9．（2024秋?長寧區校級期末）已知α是第二象限角，且sinα=45，則cosα＝10．（2025?榮縣校級開學）已知cosx=35，則sinxsin2x11．（2025?儋州校級開學）已知α是第三象限的角，tan（π+α）＝2，則sinα＝，2sinα-cosαsinα12．（2025?河南模擬）已知tanα＝3，則sinα-2cosα2四．解答題（共3小題）13．（2024秋?黑龍江期末）已知α是第二象限角．（1）化簡1+sinα（2）若2sinα+cosα14．（2024秋?貴港校級月考）已知角θ為第二象限的角，且tanθ=（1）求三角函數sinθ，cosθ的值；（2）求sin(-15．（2024秋?成都期末）（1）若角α滿足0＜α＜π，且sinα+cosα=15，求sinαcosα，sin（2）若集合A＝{x|a+1＜x＜3a﹣2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且A?B，求實數a的取值范圍．

2024-2025學年上學期高一數學北師大版（2019）期中必刷常考題之同角三角函數的基本關系參考答案與試題解析題號12345答案BCBBA一．選擇題（共5小題）1．（2025?官渡區校級開學）在平面直角坐標系中，若角α的終邊經過點P(sin5πA．-3 B．-33 C．33【考點】同角正弦、余弦的商為正切；任意角的三角函數的定義．【專題】整體思想；定義法；三角函數的求值；運算求解．【答案】B【分析】由已知結合三角函數的定義即可求解．【解答】解：若角α的終邊經過點P(則tanα=cos故選：B．【點評】本題主要考查了三角函數定義的應用，屬于基礎題．2．（2025?鎮雄縣校級開學）已知tan(π2A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【考點】同角三角函數間的基本關系；三角函數的恒等變換及化簡求值．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】C【分析】利用誘導公式化簡，再結合同角三角函數之間的基本關系由弦化切計算可得結果．【解答】解：由已知可得-1tanα=-13，則所以sinα+2故選：C．【點評】本題考查了同角三角函數的基本關系式以及誘導公式的應用，屬于基礎題．3．（2025?小店區校級開學）已知θ∈（0，π），sinθ+A．θ∈(π2，C．cosθ=-35【考點】同角三角函數間的基本關系．【專題】計算題；方程思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】B【分析】利用平方的方法，結合同角三角函數的基本關系式來求得正確答案．【解答】解：將已知等式兩邊平方得1+2sinθcosθ又θ∈（0，π），可得sinθ＞0，cosθ＜0，可得θ∈則sinθ﹣cosθ＞0，可得(sinθ所以sinθ-由于sinθ+cosθ=所以tanθ=所以ACD選項正確，B選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查了同角三角函數基本關系式在三角函數求值中的應用，考查了方程思想，屬于基礎題．4．（2024秋?定州市期末）已知sinα+cosαsinα-cosα=3A．55 B．25 C．34 【考點】同角正弦、余弦的商為正切．【專題】轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】B【分析】根據已知條件，推得tanα＝2，再根據三角函數的同角公式，將弦化切，即可求解．【解答】解：sinα+則sinα+cosα＝3sinα﹣3cosα，解得tanα＝2，故cosα?sinα=cosα故選：B．【點評】本題主要考查弦化切求三角函數值，屬于基礎題．5．（2024秋?丹陽市期末）設tanα=-1A．-35 B．35 C．﹣1 【考點】同角三角函數間的基本關系．【專題】計算題；轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】A【分析】由題意利用同角三角函數基本關系式即可求解．【解答】解：因為tanα=所以sin故選：A．【點評】本題考查了同角三角函數基本關系式在三角函數求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?張家口開學）已知θ∈A．θ∈(π2，C．tanθ=-158【考點】同角三角函數間的基本關系．【專題】方程思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】ABC【分析】由sinθ+cosθ=717，平方可得2sinθcosθ=-240【解答】解：θ∈則(sinθ所以2sinθcosθ又因為θ∈（0，π），則sinθ＞0，cosθ＜0，所以θ∈(π又sinθ﹣cosθ＞0，(sinθ所以sinθ-cosθ=對B：聯立sinθ+cosθ=717sinθ-cosθ=2317故選：ABC．【點評】本題考查同角三角函數的基本關系三角函數求值，為中檔題．（多選）7．（2025?鎮雄縣校級開學）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，下列正確的選項為（）A．若角α的終邊在第一象限，則角α為銳角 B．若cosα=45C．若角α的終邊過點P（﹣3，﹣4），則tanα=D．若角α是三角形中一個內角且滿足tanα＝﹣2，則cosα【考點】同角三角函數間的基本關系；任意角的三角函數的定義．【專題】對應思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】BD【分析】對于A，舉例判斷，對于B，由同角三角函數的關系求解判斷，對于C，由任意角的三角函數的定義分析判斷，對于D，由同角三角函數的關系列方程組求解判斷．【解答】解：A：當α=7πB：因為sin2α+cos2α＝1，cosα=45，所以sinαC：因為角α的終邊過點P（﹣3，﹣4），所以tanα=-4D：由tanα＝﹣2，則α為鈍角，于是cosα＜0，由sinαcosα=-2sin2α+cos2α=1，得故選：BD．【點評】本題考查了同角三角函數的基本關系式以及任意角的三角函數的定義的應用，屬于基礎題．（多選）8．（2024秋?建華區校級期末）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ=1A．θ∈（0，π2） B．cosθ=C．tanθ=-34 D．sinθ﹣【考點】同角三角函數間的基本關系．【專題】計算題；轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】BD【分析】先對sinθ+cosθ=15兩邊平方求出sinθcosθ的值，即可判斷出θ所在的象限，再求出（sinθ﹣cosθ）2的值，從而求出sinθ，cosθ，tan【解答】解：∵sinθ+cosθ=1∴兩邊平方得：1+2sinθcosθ=1∴sinθcosθ=-∴sinθ與cosθ異號，又∵θ∈（0，π），∴θ∈（π2，π），故A∴sinθ＞cosθ，∴（sinθ﹣cosθ）2＝1﹣2sinθcosθ=49∴sinθ﹣cosθ=75，故又∵sinθ+cosθ=1∴sinθ=45，cosθ=-35，tanθ=故選：BD．【點評】本題主要考查了同角的三角函數關系在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?長寧區校級期末）已知α是第二象限角，且sinα=45，則cosα＝【考點】同角三角函數間的基本關系．【專題】方程思想；定義法；三角函數的求值；運算求解．【答案】-3【分析】根據同角三角函數間的基本關系即可求解．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=∴由同角三角函數間的基本關系得：cosα=故答案為：-3【點評】本題考查同角三角函數間的基本關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10．（2025?榮縣校級開學）已知cosx=35，則sinxsin2x【考點】同角三角函數間的基本關系；二倍角的三角函數．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】35【分析】根據題意，利用倍角公式，進行化簡，即可求解．【解答】解：因為cosx=35故答案為：35【點評】本題考查了二倍角的正余弦公式，是基礎題．11．（2025?儋州校級開學）已知α是第三象限的角，tan（π+α）＝2，則sinα＝-255，2sinα【考點】同角三角函數間的基本關系；運用誘導公式化簡求值．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】-2【分析】根據同角三角函數的基本關系及tanα＝2，以及α是第三象限角即可求出sinα的值，并得出2sinα【解答】解：∵α是第三象限角，tanα＝2，∴cosα=sinα2∴sinα=-2故答案為：-2【點評】本題考查了同角三角函數的基本關系，正切函數的誘導公式，是基礎題．12．（2025?河南模擬）已知tanα＝3，則sinα-2cosα2【考點】同角三角函數間的基本關系．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的求值；邏輯思維；運算求解．【答案】17【分析】由tanα＝3得sinα＝3cosα，代入所求式子可得答案．【解答】解：若tanα=sinαcosα=3，則sinα所以sinα-故答案為：17【點評】本題考查的知識點：三角函數的化簡問題，同角三角函數的關系式的變換，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?黑龍江期末）已知α是第二象限角．（1）化簡1+sinα（2）若2sinα+cosα【考點】同角三角函數間的基本關系．【專題】轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】（1）﹣2tanα；（2）2625【分析】（1）先根據平方關系化簡，再根據角α的象限確定開方符號，最后化簡得結果；（2）先根據條件解得tanα，再將待求式化成關于sinα、cosα的齊次分式，并利用弦化切求結果．【解答】解：（1）因為α為第二象限角，所以cosα＜0，所以1+=1+sinα|（2）由2sinα+cosαsinα-2cosα=12，得所以12sin2α﹣3sinαcosα﹣2cos2α==1=1=26【點評】本題考查了三角函數求值運算問題，是基礎題．14．（2024秋?貴港校級月考）已知角θ為第二象限的角，且tanθ=（1）求三角函數sinθ，cosθ的值；（2）求sin(-【考點】同角三角函數間的基本關系；運用誘導公式化簡求值．【專題】方程思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】（1）sinθ=513（2）-17【分析】（1）利用同角三角函數的基本關系求sinθ和cosθ的值；（2）利用誘導公式化簡，由齊次式代入已知條件求值．【解答】解：（1）角θ為第二象限的角?sinθ＞0，cosθ＜0，又tanθ=-sin2θ+cos2θ＝1，②聯立①②，解得sinθ=513（2）sin=-【點評】本題考查同角三角函數的基本關系及誘導公式化簡求值，為基礎題．15．（2024秋?成都期末）（1）若角α滿足0＜α＜π，且sinα+cosα=15，求sinαcosα，sin（2）若集合A＝{x|a+1＜x＜3a﹣2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且A?B，求實數a的取值范圍．【考點】同角三角函數間的基本關系；集合的包含關系的應用．【專題】計算題；方程思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】（1）sinαcosα=-12（2）（﹣∞，53]【分析】（1）根據sinα+cosα與sinαcosα關系及已知求sinαcosα，進而可得sinα=45，cosα=-3（2）解一元二次不等式求集合B，討論A＝?、A≠?求參數范圍即可．【解答】解：（1）由（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα=1可得sinαcosα=又0＜α＜π，則sinα＞0＞cosα，可得sinα=所以sinα-（2）由題設A＝{x|a+1＜x＜3a﹣2}，B＝{x|0＜x＜3}，又A?B，當A＝?，則a+1≥3a﹣2，可得a≤當A≠?，則3a-2綜上，a≤53，即實數a的取值范圍為（﹣∞，【點評】本題考查了同角三角函數基本關系式在三角函數求值中的應用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題．

考點卡片1．集合的包含關系的應用【知識點的認識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質來判斷兩個集合之間的關系．4．有時借助數軸，平面直角坐標系，韋恩圖等數形結合等方法．【命題方向】設m為實數，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當m≥1時，可得-3≤m綜上所述，m≤32，即m故答案為：(-∞，2．任意角的三角函數的定義【知識點的認識】任意角的三角函數1定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα=y2．幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）．【解題方法點撥】利用三角函數的定義求三角函數值的方法利用三角函數的定義，求一個角的三角函數值，需確定三個量：（1）角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x；（2）縱坐標y；（3）該點到原點的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況（點所在象限不同）．【命題方向】已知角α的終邊經過點（﹣4，3），則cosα＝（）A．45B．35C．-35分析：由條件直接利用任意角的三角函數的定義求得cosα的值．解：∵角α的終邊經過點（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2∴cosα=x故選：D．點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，兩點間的距離公式的應用，屬于基礎題．3．運用誘導公式化簡求值【知識點的認識】利用誘導公式化簡求值的思路1．“負化正”，運用公式三將任意負角的三角函數化為任意正角的三角函數．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數化為0°到360°的三角函數，利用公式二將大于180°的角的三角函數化為0°到180°的三角函數．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計算器求得．4．同角三角函數間的基本關系【知識點的認識】1．同角三角函數的基本關系（1）平方關系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數關系：sinαcosα=tan2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2【解題方法點撥】誘導公式記憶口訣：對于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函數記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數時，函數名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數值前面加上當α5．同角正弦、余弦的商為正切【知識點的認識】同角三角函數的基本關系（2）商數關系：sinαcosα=tan同角正弦和余弦的商為正切．【解題方法點撥】﹣利用關系式tanθ=﹣結合具體問題，應用關系式簡化三角函數表達式．﹣驗證計算結果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用關系式簡化三角函數表達式，結合具體問題應用關系式求解．已知tanα＝﹣3，求下列各式的值：（1）sinα-（2）1si解：tanα＝﹣3，（1）sinα-cosα（2）1si6．二倍角的三角函數【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數和差化積