1/1117.2勾股定理的逆定理本節內容是在上節“勾股定理”之后，繼續學習的一個直角三角形的判定定理，它是前面知識的繼續和深化，勾股定理的逆定理是初中幾何學習中的重要內容之一，是今后判斷某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解題中，將有十分廣泛的應用，同時在應用中滲透了利用代數計算的方法來證明幾何問題的思想，為將來學習解析幾何埋下了伏筆．【情景導入】播放相聲《反正話》表演者：馬季、于世猷馬：你別吹，今天當著各位老師和同學的面我來考考你，咱們來一段反正話．于：什么叫做反正話呢？馬：就是我說一句話，你把這句話反過來再說一遍，能說上來就算你聰明！于：咱們可以試試．……馬：我腦門子．于：我門(沒)腦子！馬：我眼珠．于：我豬眼，不像話啊！……聽了上面這段相聲大家都非常開心，其實在我們數學上也有很多命題可以反過來說，這在數學上稱為逆命題，比如我們剛剛學過的勾股定理，如果把勾股定理反過來說，大家說它的逆命題還成立嗎？【說明與建議】說明：通過一篇引人發笑的經典相聲引入新課，活躍課堂氣氛，引導學生描述勾股定理的逆命題，激發學生探究勾股定理的逆定理的熱情．建議：讓同學們借鑒反正話的方式來描述勾股定理的逆命題，從而引出本節課所要討論的課題．【置疑導入】在美國哥倫比亞大學圖書館里收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，泥板上的一些神秘符號實際上是一些數組，這些數組揭示了一個什么奧秘呢？經過專家潛心研究，發現其中兩列數竟然是直角三角形的勾和弦，只要添加一列數(如下表所示左邊的一列)，那么每行的3個數就是一個直角三角形的三邊的長．你知道這三個數都滿足什么關系嗎？這三個數之間存在著怎樣的奧秘呢？學完這節課，同學們一定會有所收獲．12011916934563367482548004601664913500127091854172659736031948127002291354196079912496004817696480496181616045752400167929292401612892700177132299056106命題角度1勾股定理的逆定理1．下列各組數據中，不能作為直角三角形三邊長的是(C)A．9，12，15B．7，24，25C．eq\r(3)，2，eq\r(5)D．1，eq\r(2)，eq\r(3)2．如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE為AB邊上的高，DE＝12，S△ABE＝60，則AB＝10，∠C＝90°．3．如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.(1)求∠ADB的度數；(2)求CD的長．解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.(2)在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(172－82)＝15.命題角度2逆命題、逆定理4．“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”，這個定理的逆定理是到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．5．命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是等邊三角形的三個角都相等，該逆命題是真命題(填“真”或“假”).命題角度3勾股數6．下列各數組中，是勾股數的是(A)A．6，8，10B．2，2，2C．1，1，eq\r(2)D．0.4，0.3，0.57．觀察下列幾組勾股數，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，則第⑥組勾股數為16，63，65．命題角度4勾股定理的逆定理的應用8．木工師傅要做一張長方形的桌面．完成后，量得桌面的長為100cm，寬為80cm，對角線為130cm，則做出的這個桌面不合格．(填“合格”或“不合格”)9．如圖是一個零件的示意圖，測量AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm.若∠ABC＝90°，則∠ACD＝90°．課題17.2勾股定理的逆定理授課人素養目標1.了解互逆命題和互逆定理的概念．2．通過對勾股定理的逆定理的探索，經歷知識的產生、發展和形成的過程．3．會用三角形的三邊的數量關系來判斷三角形的形狀，體驗數形結合方法的應用．4．會認識并判別勾股數．教學重點勾股定理的逆定理及其應用．教學難點勾股定理的逆定理的證明．授課類型新授課課時教學活動教學步驟師生活動設計意圖回顧1.勾股定理的內容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知a＝2.5，b＝6，求c；(3)已知a＝4，b＝7.5，求c.3．思考：分別以上述a，b，c為邊的三角形的形狀是什么樣的？回顧舊知，為新課做鋪墊．活動一：創設情境、導入新課【課堂引入】古埃及人畫直角的方法：把一根長繩子打上等距離的13個結，然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，你認為這個三角形是直角三角形嗎？師生活動：學生利用準備好的繩子，以小組為單位動手操作，觀察，作出合理的推斷．教師深入小組當中，幫助并指導學生討論．利用古埃及人畫直角的方法，學生親自動手實踐，體驗從實際問題中發現數學，同時明確了本節課的研究問題．既進行了數學史的教育，又鍛煉了學生的動手實踐、觀察探究的能力．活動二：實踐探究、交流新知【探究新知】思考：(1)如果改變三條邊的結數，是否還能擺放出同樣形狀的三角形？(2)畫畫看，三角形的三邊長分別為2.5cm，6cm，6.5cm，觀察三角形的形狀，再換成4cm，7.5cm，8.5cm試試看．(3)三角形的三邊長具有怎樣的關系，才能得到上面同樣的結論？師生活動：學生分組活動，動手操作，并在組內進行交流、討論的基礎上，做出實踐性預測．教師深入小組參與活動，并幫助、指導部分學生完成任務，得出勾股定理的逆命題．命題2：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．問題：(1)命題1和命題2有怎樣的聯系？(2)你能舉出一些類似的例子嗎？提示：命題1和命題2的題設、結論分別是什么？如何證明命題2?如圖，若△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，試證明△ABC是直角三角形．分析：如圖，在△A′B′C′中，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(B′C′＝BC＝a，,A′C′＝AC＝b，,A′B′＝AB＝c，))∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．歸納：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形，這個定理稱為勾股定理的逆定理．問題：(1)如果原命題成立，那么逆命題也一定成立嗎？(2)你能舉出互為逆定理的例子嗎？師生活動：教師出示問題，學會分組探究，討論如何證明．教師深入各小組進行幫助和指導．教師匯總學生的討論結果，然后詳細講解分析此命題的證明過程．學生獨立完成證明過程，積極發言，教師細心地聽取學生的發言并鼓勵學生，最后點評．教師引導學生注意在比較中重新認識勾股定理和勾股定理的逆定理．為了分清勾股定理和勾股定理的逆定理，我們列表如下：定理勾股定理勾股定理的逆定理內容如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．題設直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c.三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2.結論a2＋b2＝c2這個三角形是直角三角形用途是直角三角形的一個性質判定直角三角形的一種方法由此我們可以知道，勾股定理的使用條件必須是直角三角形，并且要分清斜邊和直角邊，避免盲目代入等式而出現錯誤；勾股定理的逆定理中的條件中不能出現直角或斜邊的字眼．另外勾股定理的字母表達式可以變形運用．1.“命題＋證明＝定理”的推理模式為定理的發生、發展、形成的探究過程，把“構造直角三角形”這一方法的獲取過程交給學生，讓他們在不斷地嘗試、探究的過程中，親身體驗參與發現的愉悅，有效地突破本節的難點．2．通過比較勾股定理及其逆定理的題設和結論，引出互逆命題(定理)的概念，理解互逆命題(定理)的概念及互逆命題之間的關系．活動三：開放訓練、體現應用【典型例題】例1(教材第32頁例1)判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因為152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，這個三角形是直角三角形．(2)因為132＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，這個三角形不是直角三角形．例2(教材第33頁例2)如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？解：根據題意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°由“遠航”號沿東北方向航行可知，∠1＝45°，則∠2＝45°，即“海天”號沿西北方向航行．1.應用遷移、鞏固提高，培養學生解決問題的能力．2.進一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其運用，突出本節的教學重點．活動三：開放訓練、體現應用【變式訓練】一個零件的形狀如圖1所示，按規定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角．工人師傅量得這個零件各邊長如圖2所示．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))(1)你認為這個零件符合要求嗎？為什么？(2)求這個零件的面積．解：(1)∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2.∴△ABD和△BDC是直角三角形，且∠A＝90°，∠DBC＝90°.故這個零件符合要求．(2)S零件＝S△ABD＋S△BDC＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝36.答：這個零件的面積是36.師生活動：學生獨立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．3.從實際生活中所遇到的問題出發，以本節的知識為載體建立數學模型，利用數學模型(勾股定理的逆定理)去解決實際問題，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，有效地培養了學生的應用意識．活動四：課堂檢測【課堂檢測】1．以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是(C)A.5，6，7B．10，8，4C．7，25，24D．9，17，152．下列各命題的逆命題成立的是(B)A.對頂角相等B．兩直線平行，同位角相等C.若a＝b，則|a|＝|b|D．全等三角形的對應角相等3.如圖，正方形網格中有△ABC，若小正方形的面積為1，則△ABC的形狀為(A)A.直角三角形B．銳角三角形C.鈍角三角形D．無法判斷4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數．解：連接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝2eq\r(2)，∠BAC＝45°.∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.師生活動：