17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第2課時勾股定理的逆定理的應用講授新課當堂練習課堂小結新課導入目錄新課導入教學目標教學重點學習目標1.靈活應用勾股定理及其逆定理解決實際問題.（重點）2.將實際問題轉化成用勾股定理的逆定理解決的數學問題.（難點）新課導入問題

前面的學習讓我們對勾股定理及其逆定理的知識有了一定的認識，你能說出它們的內容嗎?回顧與思考a2+b2=c2(a,b為直角邊，c為斜邊)Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b為較短邊，c為最長邊）Rt△ABC，且∠C是直角.思考

前面我們已經學會了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理能解決哪些實際問題呢？你能舉舉例嗎？講授新課典例精講歸納總結講授新課一、勾股定理的逆定理的應用12例1

如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？NEP

QR問題1

認真審題，弄清已知是什么？要解決的問題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠航”號的航向、兩艘船的一個半小時后的航程及距離已知，如圖.問題2

由于我們現在所能得到的都是線段長，要求角，由此你聯想到了什么？實質是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理解：根據題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“遠航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.

NEP

QR12

解決實際問題的步驟：

構建幾何模型(從整體到局部)；

標注有用信息,明確已知和所求；

應用數學知識求解.歸納：例2

一個零件的形狀如圖

所示,按規定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖

所示,這個零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖

圖

在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312圖

例3

如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC，把四邊形分成兩個三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312二、勾股定理及其逆定理的綜合應用解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.歸納：四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉化成兩個三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經常配套使用.【變式題】

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設腰長AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想例4

如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習1.醫院、公園和超市的平面示意圖如圖所示，超市在醫院的南偏東25°的方向，且到醫院的距離為300m,公園到醫院的距離為400m.若公園到超市的距離為500m,則公園在醫院的北偏東

的方向.東醫院公園超市北65°2.如圖，某探險隊的A組由駐地O點出發，以12km/h的速度前進，同時，B組也由駐地O出發，以9km/h的速度向另一個方向前進，2h后同時停下來，這時A，B兩組相距30km．此時，A，B兩組行進的方向成直角嗎？請說明理由.解：∵出發2小時，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，又∵A，B兩組相距30km，且有242+182=302，∴A，B兩組行進的方向成直角．

3.如圖是一農民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發現AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農民挖的不合格．

4.如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA5.在尋找某墜毀飛機的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時的速度離開港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標A的前進，同時，另一艘搜救艇也從港口O出發，以12海里/時的速度向著目標B出發，1.5小時后，他們同時分別到達目標A、B．此時，他們相距30海里，請問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？解：根據題意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°.∵第