《線性代數(shù)》第1章

行列式第2章

矩陣第3章

線性方程組第4章

方陣的特征值與特征向量第5章

二次型第6章

線性空間與線性變換第7章

線性代數(shù)的MATLAB計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件全套可編輯PPT課件

行列式第一章本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)二階與三階行列式第二節(jié)排列、逆序數(shù)與對(duì)換第三節(jié)n階行列式的定義目錄第四節(jié)行列式的性質(zhì)第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)二階與三階行列式本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第一節(jié)二階與三階行列式本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析行列式中的數(shù)a11，a12，a21，a22稱為行列式的元素.每個(gè)元素都帶兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)表示元素所在的行數(shù)，稱為行標(biāo)；第二個(gè)下標(biāo)表示元素所在的列數(shù)，稱為列標(biāo).在行列式中，從左上角元素到右下角元素的連線稱為主對(duì)角線，從右上角元素到左下角元素的連線稱為副對(duì)角線.二階行列式等于主對(duì)角線上兩個(gè)元素的乘積減去副對(duì)角線上兩個(gè)元素的乘積，可用對(duì)角線法則（見圖1-1）來記憶.

第一節(jié)二階與三階行列式本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二階與三階行列式

本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二階與三階行列式本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二階與三階行列式本課件是可編輯的正常PPT課件

圖（1-2）第一節(jié)二階與三階行列式本課件是可編輯的正常PPT課件

解：

按對(duì)角線法則，有D=1×2×（-2）+2×1×（-3）+4×2×4-4×2×（-3）-2×2×（-2）-1×1×4=50.第一節(jié)二階與三階行列式

本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二階與三階行列式

本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)排列、逆序數(shù)與對(duì)換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析對(duì)角線法則可用來計(jì)算二階和三階行列式，但對(duì)于四階及更高階的行列式卻不適用.為了計(jì)算更高階的行列式，本節(jié)引入排列和逆序數(shù)的概念.一、排列與逆序數(shù)定義1由自然數(shù)1，2，…，n組成的一個(gè)有序數(shù)組i1i2…in稱為一個(gè)n級(jí)排列.例如，1234和2431都是4級(jí)排列；25134是一個(gè)5級(jí)排列；由1，2，3這3個(gè)數(shù)組成的3級(jí)排列分別為123，132，

213，231，312，321，共有3!=6個(gè).n級(jí)排列中，數(shù)字由小到大的排列123…n稱為n級(jí)自然排列或標(biāo)準(zhǔn)排列.定義2在一個(gè)排列中，如果兩個(gè)數(shù)（稱為數(shù)對(duì)）的前后位置和大小順序相反，即排在前面的數(shù)大于排在后面的數(shù)，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).排列i1i2…in的逆序數(shù)一般記為τ（i1i2…in）.定義3逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列.第二節(jié)排列、逆序數(shù)與對(duì)換本課件是可編輯的正常PPT課件例1計(jì)算下列各排列的逆序數(shù)，并指出它們的奇偶性.（1）25134；

（2）n（n-1）…21.

第二節(jié)排列、逆序數(shù)與對(duì)換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析二、對(duì)換定義4把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)i與j的位置互換，其余的數(shù)位置不變，這種對(duì)排列的變換稱為對(duì)換，記為（i，j）.將相鄰兩數(shù)對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換.例如，將排列25134中的2與1對(duì)換，得到新的排列15234.容易計(jì)算，τ（25134）=4，τ（15234）=3.由此可見，偶排列25134經(jīng)過2與1的對(duì)換后，變成了奇排列15234.定理任意一個(gè)排列經(jīng)過一次對(duì)換后，其奇偶性改變.證分兩種情況考慮.（1）相鄰對(duì)換.設(shè)排列為AijB（其中A，B表示除i，j兩個(gè)數(shù)以外其余的數(shù)），經(jīng)過對(duì)換（i，j），變成新排列AjiB.比較這兩個(gè)排列中的逆序，顯然A，B中數(shù)的次序沒有改變，并且i，j與A，B中數(shù)的次序也沒有改變，僅僅改變了i與j的次序，因此新排列僅比原排列增加了一個(gè)逆序（當(dāng)i<j時(shí)）或減少了一個(gè)逆序（當(dāng)i>j時(shí)），所以它們的奇偶性改變.第二節(jié)排列、逆序數(shù)與對(duì)換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析（2）不相鄰對(duì)換.設(shè)原排列為Aik1k2…ksjB，經(jīng)過對(duì)換（i，j），變成新排列Ajk1k2…ksiB.在原排列中將數(shù)i依次與k1，k2，…，ks，j做s+1次相鄰對(duì)換，變成Ak1k2…ksjiB；再將j依次與ks，…，k2，k1做s次相鄰對(duì)換得到新排列，即新排列可以由原排列經(jīng)過2s+1次相鄰對(duì)換得到.由（1）的結(jié)論可知它改變了奇數(shù)次奇偶性，所以它與原排列的奇偶性改變.推論1n級(jí)排列（n≥2）共有n!個(gè)，其中奇偶排列各占一半.推論2任一n級(jí)排列可經(jīng)過有限次對(duì)換變成自然排列，并且所做對(duì)換次數(shù)的奇偶性與這個(gè)排列的奇偶性相同.第二節(jié)排列、逆序數(shù)與對(duì)換本課件是可編輯的正常PPT課件第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件

解

a14a23a31a42各元素的行標(biāo)都是按自然順序排列的，而列標(biāo)的排列為4312，其逆序數(shù)為τ（4312）=5，即4312為奇排列，故這一項(xiàng)應(yīng)取負(fù)號(hào).

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)n階行列式的定義本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)行列式的性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第四節(jié)行列式的性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)行列式的性質(zhì)

性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列），行列式變成相反數(shù).

本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)行列式的性質(zhì)

本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)行列式的性質(zhì)

推論

如果行列式中有兩行（列）完全相等，則行列式的值為零.

本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)行列式的性質(zhì)

推論1

如果行列式中某行（列）的所有元素都有公因子，則公因子可以提到行列式外面.推論2

如果行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值等于零.本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)行列式的性質(zhì)

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)行列式的性質(zhì)

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)行列式的性質(zhì)（1-10）本課件是可編輯的正常PPT課件在計(jì)算行列式時(shí)，為了便于檢查運(yùn)算的正確性，一般盡量注明每一步運(yùn)算的依據(jù).本書中，約定采用如下記號(hào)：第四節(jié)行列式的性質(zhì)（1）（2）（3）（4）

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)行列式的性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)行列式的性質(zhì)

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)行列式的性質(zhì)

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)行列式的性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)行列式的性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件方法二：

第四節(jié)行列式的性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析計(jì)算行列式時(shí)通過降階將高階行列式用低階行列式來表示可以簡(jiǎn)化計(jì)算本方法就是采用行列式的按行（列）展開定理，為此本節(jié)先引入余子式和代數(shù)余子式的概念.

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

（1-11）（1-12）

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

這個(gè)定理叫作行列式的按行（列）展開定理.

運(yùn)用此定理可以進(jìn)行行列式的降階運(yùn)算.

特別是行列式中某一行或某一列中有較多的零元素時(shí)，該定理會(huì)使計(jì)算變得簡(jiǎn)單.第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

（1-13）（1-14）

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件

（1-15）（1-16）第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件

解

（1）由式（1-16）可知

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算注意：此題所采用的是行列式計(jì)算中的一種升階方法——加邊法，本題解法眾多，也可利用行列式性質(zhì)化為爪型行列式再來計(jì)算.本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)行列式的計(jì)算

本課件是可編輯的正常PPT課件第五節(jié)行列式的計(jì)算

隨著科學(xué)計(jì)算軟件的流行，行列式還可以運(yùn)用MATLAB軟件來計(jì)算，詳見第七章第五節(jié).本課件是可編輯的正常PPT課件第六節(jié)克萊姆法則本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第六節(jié)克萊姆法則（1-17）

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

（1-18）第六節(jié)克萊姆法則本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第六節(jié)克萊姆法則本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第六節(jié)克萊姆法則本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第六節(jié)克萊姆法則本課件是可編輯的正常PPT課件

第六節(jié)克萊姆法則

本課件是可編輯的正常PPT課件第六節(jié)克萊姆法則

如果不考慮求解公式（1-18），則克萊姆法則可直接表述如下.

本課件是可編輯的正常PPT課件第六節(jié)克萊姆法則

（1-19）本課件是可編輯的正常PPT課件

第六節(jié)克萊姆法則

本課件是可編輯的正常PPT課件感謝觀看Thankyouforwatching本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣第二章本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)矩陣的概念第二節(jié)矩陣的運(yùn)算第三節(jié)矩陣的逆目錄第四節(jié)分塊矩陣第五節(jié)矩陣的初等變換第六節(jié)矩陣的秩第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)矩陣的概念本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析引例

假設(shè)貨物從甲、乙、丙三個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往銷售地A的里程（單位：km）分別為300，200，280；運(yùn)往銷售地B的里程分別為400，500，420；運(yùn)往銷售地C的里程分別為250，500，300.

若將貨物的銷售地看成矩形數(shù)表的列，貨物的產(chǎn)地看成矩形數(shù)表的行，則貨物的運(yùn)送里程情況可以表示為：第一節(jié)矩陣的概念

引例中的矩形數(shù)表統(tǒng)稱為矩陣，下面給出矩陣的定義.本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第一節(jié)矩陣的概念

本課件是可編輯的正常PPT課件1.零矩陣

第一節(jié)矩陣的概念

本課件是可編輯的正常PPT課件2.行矩陣第一節(jié)矩陣的概念

3.列矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件4.方陣第一節(jié)矩陣的概念

5.對(duì)角矩陣

注意：主對(duì)角線以外沒有標(biāo)注的元素均為零.本課件是可編輯的正常PPT課件6.單位矩陣第一節(jié)矩陣的概念7.數(shù)量矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件8.三角矩陣第一節(jié)矩陣的概念

本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)矩陣的運(yùn)算本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析一、矩陣的加法第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

注意：相加的矩陣必須分別有相同的行數(shù)與相同的列數(shù).本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析二、數(shù)與矩陣的乘法第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

（1）

（5）

（2）

（6）

（3）

（7）

（4）

（8）

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析三、矩陣的乘法第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

（2-1）本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

（2-3）（2-2）本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

（2-4）（2-5）本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)矩陣的運(yùn)算矩陣的乘法有以下性質(zhì)（假設(shè)下列運(yùn)算是可行的）：（1）

（2）

（3）

（4）

需指出的是，由于矩陣的乘法不滿足交換律，因此（1），（2）是兩個(gè)不同的性質(zhì)

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析四、矩陣的轉(zhuǎn)置第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)矩陣的運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置有以下性質(zhì)（假設(shè)下列運(yùn)算是可行的）：（1）

（2）

（3）

（4）

本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

（2-6）（2-7）本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析五、方陣的冪第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析六、方陣的行列式第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)矩陣的運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)矩陣的逆

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)矩陣的逆

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)矩陣的逆

（2-8）本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)矩陣的逆

（2-9）

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)矩陣的逆

本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆注意：這種求逆矩陣的方法的計(jì)算量一般都比較大，后面將給出一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法.本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆

本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件逆矩陣具有以下性質(zhì).第三節(jié)矩陣的逆（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)矩陣的逆本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)分塊矩陣本課件是可編輯的正常PPT課件在處理階數(shù)比較高的矩陣時(shí)，常將一個(gè)大矩陣看成由一些小矩陣組成，每個(gè)小矩陣稱為大矩陣的子塊.

第四節(jié)分塊矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件像這樣將一個(gè)矩陣分成若干塊（子塊或子矩陣），并以所分的子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.第四節(jié)分塊矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件一、分塊矩陣的運(yùn)算在進(jìn)行分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，要把子塊作為元素處理，與普通矩陣的運(yùn)算法則相似.第四節(jié)分塊矩陣1.

加減和數(shù)乘運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)分塊矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)分塊矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)分塊矩陣2.

乘法運(yùn)算

（2-10）（2-11）本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)分塊矩陣2.

乘法運(yùn)算

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)分塊矩陣本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)分塊矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)分塊矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件二、幾種特殊的重要的分塊矩陣

第四節(jié)分塊矩陣

同結(jié)構(gòu)的分塊對(duì)角矩陣的和、差、積、數(shù)乘及逆（若可逆）仍是分塊對(duì)角矩陣.易驗(yàn)證分塊對(duì)角矩陣有以下幾個(gè)重要性質(zhì).

本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)分塊矩陣

同結(jié)構(gòu)的分塊上（下）三角矩陣的和、差、積、數(shù)乘仍是同結(jié)構(gòu)的分塊上（下）三角矩陣.本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)分塊矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)分塊矩陣

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)分塊矩陣本課件是可編輯的正常PPT課件第五節(jié)矩陣的初等變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析這一節(jié)將討論初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系，并給出初等變換求逆矩陣的方法.對(duì)矩陣的行（列）進(jìn)行的初等變換稱為初等行（列）變換.第五節(jié)矩陣的初等變換（1）（2）（3）交換矩陣的兩行（列）；

定義1

對(duì)矩陣做以下3種變換，稱為矩陣的初等變換：本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

初等矩陣有以下3種.

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析利用矩陣乘法的定義,立即可以得到如下定理.

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)矩陣的初等變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析再由

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)矩陣的初等變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析定義3

滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：（1）零行（元素全為零的行）位于矩陣的下方；第五節(jié)矩陣的初等變換

（2）各非零行的首非零元所在的列位于前一行（如果有的話）首非零元的右邊.本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析定義4

滿足下列條件的行階梯形矩陣稱為行最簡(jiǎn)形矩陣：（1）各非零行的首非零元都是1；第五節(jié)矩陣的初等變換

（2）每個(gè)首非零元所在列的其余元素都是0.行最簡(jiǎn)形矩陣在后續(xù)章節(jié)中有非常重要的應(yīng)用.本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

不難證明，等價(jià)矩陣具有下列性質(zhì).第五節(jié)矩陣的初等變換

由于對(duì)矩陣做初等變換就相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣乘這個(gè)矩陣，因此有如下定理.（1）反身性：

（2）對(duì)稱性：

（3）傳遞性：

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件

這個(gè)已經(jīng)是行階梯形矩陣了，下面繼續(xù)做初等行變換.

這個(gè)已經(jīng)是行最簡(jiǎn)形矩陣了.第五節(jié)矩陣的初等變換本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件

（2）充分性.

由于初等矩陣可逆，因此充分性是顯然的.由此得出以下推論.推論

可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化為單位矩陣.以上的討論提供了一個(gè)求逆矩陣的方法.第五節(jié)矩陣的初等變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

（2-12）（2-13）

第五節(jié)矩陣的初等變換本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)矩陣的初等變換

（2-14）（2-15）本課件是可編輯的正常PPT課件第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)矩陣的初等變換

本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)矩陣的初等變換本課件是可編輯的正常PPT課件第六節(jié)矩陣的秩本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析矩陣的秩是矩陣的重要數(shù)字特征之一，在線性方程組解的討論中有重要作用，這一節(jié)我們將討論矩陣的秩.

第六節(jié)矩陣的秩

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第六節(jié)矩陣的秩

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第六節(jié)矩陣的秩

本課件是可編輯的正常PPT課件由矩陣秩的定義，易得矩陣秩具有下列性質(zhì).（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

第六節(jié)矩陣的秩本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析證

對(duì)于性質(zhì)（5），只證明初等行變換的情形，初等列變換的情形類似證明.

第六節(jié)矩陣的秩本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第六節(jié)矩陣的秩本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第六節(jié)矩陣的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

第六節(jié)矩陣的秩

本課件是可編輯的正常PPT課件

第六節(jié)矩陣的秩

本課件是可編輯的正常PPT課件

第六節(jié)矩陣的秩本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣的概念和運(yùn)算看起來有些抽象，但卻是研究數(shù)學(xué)科學(xué)和其他科學(xué)以及解決實(shí)際問題的有力工具.

本節(jié)主要介紹幾個(gè)矩陣在實(shí)際中的一些應(yīng)用，讓大家認(rèn)識(shí)到矩陣這個(gè)抽象概念的巨大作用.第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用一、企業(yè)投入產(chǎn)出分析模型某地區(qū)有3個(gè)重要的企業(yè)：煤礦廠、發(fā)電廠和一條地方鐵路.

開采1元的煤，煤礦廠必須支付0.3元的電費(fèi)及0.3元的運(yùn)輸費(fèi).生產(chǎn)1元的電力，發(fā)電廠需支付0.6元的煤費(fèi)、0.06元的電費(fèi)及0.06元的運(yùn)輸費(fèi).

創(chuàng)收1元的運(yùn)輸費(fèi)，地方鐵路要支付0.5元的煤費(fèi)及0.2元的電費(fèi).某一星期內(nèi)，煤礦廠從外面接到45000元煤的訂貨，發(fā)電廠從外面接到30000元電力的訂貨，外界對(duì)地方鐵路沒有需求.

問這三家企業(yè)在該星期的總產(chǎn)值各為多少時(shí)才能滿足自身及外界的需求？本課件是可編輯的正常PPT課件

第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用

（2-16）本課件是可編輯的正常PPT課件

第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用

（2-17）（2-18）本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用矩陣B稱為完全消耗矩陣，它與矩陣A一起在各個(gè)企業(yè)之間的投入產(chǎn)出中起平衡作用.

矩陣C可以稱為投入產(chǎn)出矩陣，它的元素表示煤礦廠、發(fā)電廠、地方鐵路之間的投入產(chǎn)出關(guān)系.

向量D稱為總投入向量，它的元素是矩陣C的對(duì)應(yīng)列元素之和，分別表示煤礦廠、發(fā)電廠、地方鐵路得到的總投入.

項(xiàng)目煤礦廠發(fā)電廠地方鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦廠發(fā)電廠地方鐵路總投入表

2-1本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用

項(xiàng)目煤礦廠發(fā)電廠地方鐵路外界需求總產(chǎn)出煤礦廠026519184164500062935發(fā)電廠18881265273663000044199地方鐵路1888126520036832總投入377623182325782表

2-2

單位：元本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用二、人口遷移的動(dòng)態(tài)分析對(duì)城鄉(xiāng)人口流動(dòng)做年度調(diào)查，發(fā)現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定朝向城鄉(xiāng)流動(dòng)的趨勢(shì)：每年農(nóng)村居民的2%移居城鎮(zhèn)，而城鎮(zhèn)居民的0.5%遷出.

現(xiàn)在總?cè)丝诘?5%居住在城鎮(zhèn).

假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔儯⑶胰丝诹鲃?dòng)的這種趨勢(shì)繼續(xù)保持下去，那么1年以后城鎮(zhèn)人口所占比例是多少？2年以后呢？10年以后呢？

本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用

本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用

本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用三、應(yīng)用矩陣編制希爾（Hill）密碼1929年，希爾通過矩陣?yán)碚搶?duì)傳輸信息進(jìn)行加密處理，提出了在密碼學(xué)史上有重要地位的希爾加密算法.

下面介紹這種算法的基本思想.

本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用

本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用

本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用通過反查字母與數(shù)字的映射，即可得到消息“attention”.在實(shí)際應(yīng)用中，既可以選擇不同的可逆矩陣、不同的映射關(guān)系，也可以通過把字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字進(jìn)行不同的排列得到不同的矩陣，這樣就有多種加密和解密的方式，從而保證傳遞信息的秘密性.

上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用，將線性代數(shù)與密碼學(xué)緊密結(jié)合起來，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)破譯密碼，進(jìn)而運(yùn)用到軍事等方面，可見矩陣的作用是很強(qiáng)大的.本課件是可編輯的正常PPT課件感謝觀看Thankyouforwatching本課件是可編輯的正常PPT課件線性方程組第三章本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)消元法解線性方程組第二節(jié)向量及向量組的線性組合第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性目錄第四節(jié)向量組的秩第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

（3-1）本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件在中學(xué)代數(shù)中，求解一些簡(jiǎn)單的線性方程組最常用的方法就是消元法，即對(duì)線性方程組實(shí)施三種變換：（1）交換兩個(gè)方程的位置；（2）某個(gè)方程乘以一個(gè)非零的數(shù)；（3）用一個(gè)非零數(shù)乘以某一個(gè)方程，然后再加到另一個(gè)方程中去.經(jīng)過以上三種變換，可以得到一個(gè)新的線性方程組，通過求解該線性方程組，得到原線性方程組的解.第一節(jié)消元法解線性方程組一、消元法本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組二、解的判別本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

（3-2）第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

（3-3）第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)消元法解線性方程組本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)向量及向量組的線性組合本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)向量及向量組的線性組合為了繼續(xù)深入了解線性方程組的解，本節(jié)將引入向量組的概念.由上節(jié)內(nèi)容，我們知道線性方程組的求解問題可以轉(zhuǎn)化為對(duì)其增廣矩陣的研究，而矩陣與向量組之間存在著一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以對(duì)線性方程組的求解問題又可以轉(zhuǎn)化為對(duì)向量組的研究.本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析一、向量的概念及運(yùn)算第二節(jié)向量及向量組的線性組合

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)向量及向量組的線性組合

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)向量及向量組的線性組合

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)向量及向量組的線性組合本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析二、向量組及其線性組合

第二節(jié)向量及向量組的線性組合本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)向量及向量組的線性組合

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)向量及向量組的線性組合

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)向量及向量組的線性組合

本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)向量及向量組的線性組合本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)向量及向量組的線性組合本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)向量及向量組的線性組合本課件是可編輯的正常PPT課件第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

注意：由定理2的推論1可得（1）部分向量組線性相關(guān)，則整體線性相關(guān).（2）整體線性無關(guān)，則任意部分組線性無關(guān).第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

注意：（1）兩個(gè)矩陣等價(jià)，它們的行或列向量組不一定等價(jià).（2）兩個(gè)向量組等價(jià)，由它們構(gòu)成的矩陣不一定等價(jià).第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)向量組的秩學(xué)的概念分析由上節(jié)內(nèi)容知道，矩陣和向量組之間可以建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.因此，對(duì)矩陣的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)向量組的研究，而矩陣的秩在矩陣研究中占有非常重要的地位.在本節(jié)中，我們將會(huì)在向量組中引入秩的概念.本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)向量組的秩

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件思考：是否還有其他極大無關(guān)組呢？有了極大無關(guān)組的定義，結(jié)合之前的分析，可知一個(gè)矩陣的列（行）向量組與它的一個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)，并且由第三節(jié)定理5的推論2知，不同的極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)是相同的，而這個(gè)數(shù)其實(shí)就是矩陣的秩.對(duì)于一個(gè)矩陣來說，它的秩是一定的，那么這個(gè)矩陣的行向量組的極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)就等于列向量組的極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù).由此可知，對(duì)于一個(gè)向量組來說，它的極大線性無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)是一個(gè)非常重要的量.第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件定理1

向量組與它的極大線性無關(guān)組是等價(jià)的.通過上面的分析，該定理一目了然.下面的證明過程是從等價(jià)定義的角度出發(fā)的.

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

注意：通常將定理2視為極大線性無關(guān)組的等價(jià)定義.第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

注意：定理3的逆命題是不正確的.秩相同的兩個(gè)向量組未必等價(jià).第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

定理4

矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩.

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)向量組的秩本課件是可編輯的正常PPT課件第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)學(xué)的概念分析本章第一節(jié)介紹了通過矩陣初等變換求解線性方程組的方法，并得到解的判別方法，但在有無窮多解的情形下，解到底是什么，以及解之間的關(guān)系，并不是很清楚.本節(jié)我們將用向量組的相關(guān)理論對(duì)線性方程組的求解問題進(jìn)行研究.本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件

第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)本課件是可編輯的正常PPT課件感謝觀看Thankyouforwatching本課件是可編輯的正常PPT課件方陣的特征值與特征向量第四章本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量目錄本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析工程技術(shù)中的振動(dòng)問題和穩(wěn)定性問題，常可歸結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問題.方陣的特征值和特征向量不僅在矩陣?yán)碚撝泻苤匾铱梢灾苯佑脕斫鉀Q實(shí)際問題.本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)一、方陣的特征值與特征向量的計(jì)算（4-1）（4-2）本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

二、矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)（4-4）（4-3）（4-5）本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量的計(jì)算及性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析一、相似矩陣及其性質(zhì)第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)相似矩陣與矩陣對(duì)角化本課件是可編輯的正常PPT課件第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和一些經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中經(jīng)常遇到實(shí)對(duì)稱矩陣.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量具有許多特殊的性質(zhì).第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量

一、向量?jī)?nèi)積本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量

二、正交向量組本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量

三、正交矩陣本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量

四、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析定理4

實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量是正交的.

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量本課件是可編輯的正常PPT課件感謝觀看Thankyouforwatching本課件是可編輯的正常PPT課件二次型第五章本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)二次型的概念第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第三節(jié)正定二次型目錄第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析二次型是線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一.二次型的理論起源于解析幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形問題的研究.本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)二次型的概念本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二次型的概念本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二次型的概念本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二次型的概念本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二次型的概念本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二次型的概念本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二次型的概念（5-1）本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二次型的概念

本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)二次型的概念本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析本節(jié)主要介紹化二次型的三種方法：配方法、正交變換法和初等變換法.第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析一、配方法第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

注意：定理1的證明過程給出了把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法——配方法，即利用代數(shù)公式將二次型通過配方化成標(biāo)準(zhǔn)形的方法.第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析二、正交變換法

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析三、初等變換法

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件

第二節(jié)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本課件是可編輯的正常PPT課件第三節(jié)正定二次型本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第三節(jié)正定二次型

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)正定二次型本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第三節(jié)正定二次型本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)正定二次型本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)正定二次型本課件是可編輯的正常PPT課件

第三節(jié)正定二次型本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用

本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件

第四節(jié)二次型的幾個(gè)應(yīng)用本課件是可編輯的正常PPT課件感謝觀看Thankyouforwatching本課件是可編輯的正常PPT課件線性空間與線性變換第六章本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)線性空間第二節(jié)線性變換目錄本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析線性空間是線性代數(shù)中最基本的概念之一.在這一章中,我們來介紹它的定義,并討論它的基本性質(zhì)以及線性空間中向量之間的聯(lián)系.本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)線性空間一、線性空間的定義與性質(zhì)1.線性空間的定義

本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)線性空間2.線性空間的性質(zhì)線性空間具有以下性質(zhì).性質(zhì)1

零元素是唯一的.

本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)線性空間二、基、維數(shù)與坐標(biāo)

本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)線性空間三、基變換與坐標(biāo)變換

（6-1）本課件是可編輯的正常PPT課件

（6-2）（6-3）（6-4）第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)線性空間本課件是可編輯的正常PPT課件第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析第二節(jié)線性變換

注意：變換的概念實(shí)際上是函數(shù)概念的推廣.

本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

一、線性變換的定義與性質(zhì)

1.線性變換的定義第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

2.線性變換的性質(zhì)第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

注意：線性變換不一定把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)的向量組（如零變換）.第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

二、線性變換的基本運(yùn)算第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

三、線性變換的矩陣表示（6-5）第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

注意：定理2說明一個(gè)線性變換完全由它在一個(gè)基上的作用決定.第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析

注意：定理3說明同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣相似，其中相似變換矩陣就是兩個(gè)基之間的過渡矩陣.第二節(jié)線性變換本課件是可編輯的正常PPT課件感謝觀看Thankyouforwatching本課件是可編輯的正常PPT課件線性代數(shù)的MATLAB計(jì)算第二章本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)MATLAB的基本操作第二節(jié)MATLAB中的圖形處理第三節(jié)MATLAB符號(hào)計(jì)算目錄第四節(jié)MATLAB程序設(shè)計(jì)與調(diào)試第五節(jié)用MATLAB計(jì)算行列式第六節(jié)用MATLAB計(jì)算矩陣本課件是可編輯的正常PPT課件第七節(jié)用MATLAB求解初等變換及線性方程組第八節(jié)用MATLAB求解向量與線性方程組第九節(jié)用MATLAB求解特征值與特征向量目錄本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析本章包括兩部分：第一部分（第一節(jié)~第四節(jié)）主要介紹MATLAB的基本操作、圖形處理、符號(hào)計(jì)算、程序設(shè)計(jì)與調(diào)試等；第二部分（第五節(jié)~第九節(jié)）圍繞矩陣展開，通過矩陣引入行列式、線性方程組、特征值與特征向量計(jì)算等實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，主要介紹線性代數(shù)的MATLAB計(jì)算.本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件第一節(jié)MATLAB的基本操作一、MATLAB的打開和關(guān)閉通常的MATLAB窗口是標(biāo)準(zhǔn)的Windows風(fēng)格，如圖7-1所示.可以按以下三種方式打開或設(shè)置MATLAB窗口.（1）找到桌面上的MATLAB圖標(biāo)，雙擊即可.（2）執(zhí)行“開始”→“所有程序”→MATLAB命令.（3）執(zhí)行Desktop→Desktoplayout→Default命令恢復(fù)至系統(tǒng)默認(rèn)設(shè)置.1.MATLAB的打開圖

7-1本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析MATLAB的關(guān)閉方式一般有以下三種.（1）執(zhí)行File→Exit

MATLAB命令，如圖7-2所示.（2）單擊窗口右上角的“關(guān)閉”按鈕.（3）在命令提示符“>>”的后面輸入quit，然后按Enter鍵.2.MATLAB的關(guān)閉圖

7-2第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件二、變量與表達(dá)式在命令提示符“>>”的后面輸入命令，然后按Enter鍵，就可以進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算.此外，還可以按Backspace鍵刪除修改指令或者按“↑”“↓”方向鍵調(diào)出前后運(yùn)行過的指令.

第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件表

7-1變量名意義ans最近答案eps浮點(diǎn)數(shù)相對(duì)精度pi3.141

592

653

589

7…i或j虛數(shù)單位變量名意義inf無窮大nan或NaN非數(shù)realmax機(jī)器最大浮點(diǎn)實(shí)數(shù)realmin機(jī)器最小浮點(diǎn)實(shí)數(shù)注意：分號(hào)一定是英文狀態(tài)下的.系統(tǒng)提供的特有的常數(shù)變量（見表7-1），最好不要隨意改變.第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件表

7-2函數(shù)名功能sin正弦sin(x)cos余弦cos(x)tan正切tan(x)cot余切cot(x)sec正割sec(x)csc余割csc(x)asin反正弦asin(x)acos反余弦acos(x)atan反正切atan(x)aqrt平方根sqrt(x)函數(shù)名功能exp以e為底的指數(shù)log自然對(duì)數(shù)log2以2為底的對(duì)數(shù)log10常用對(duì)數(shù)rem求余數(shù)fix向零方向取整round四舍五入到最鄰近整數(shù)sign符號(hào)函數(shù)abs取絕對(duì)值（模）abs(x)rand(0，1)之間的均勻隨機(jī)數(shù)MATLAB表達(dá)式的書寫必須遵照系統(tǒng)提供的基本數(shù)學(xué)函數(shù)規(guī)范，具體如表7-2所示.第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件

第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件

解

>>x=1+i;y=1-i;z=pi/12;>>w=(cos((x+y)*pi)-sin(2*z))/(abs(x)+1)+exp(-log(2)/2)-sqrt(2)w=-0.5000在MATLAB中，可以通過菜單對(duì)當(dāng)前工作窗口進(jìn)行有關(guān)操作，也可以通過鍵盤在命令窗口中輸入指令來進(jìn)行操作.通用指令如表7-3所示.第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件表

7-3指令作用quit關(guān)閉MATLABclea清除內(nèi)存中的變量clc清除MATLAB

命令窗口中所有的顯示內(nèi)容dir列出指定目錄下的文件和子目錄cd改變當(dāng)前工作目錄disp輸出運(yùn)行后的變量和字符內(nèi)容demo進(jìn)入MATLAB

演示系統(tǒng)help在線幫助,語句或數(shù)據(jù)之間的分隔%在命令行中用于注釋;置于語句末尾時(shí)，使結(jié)果不顯示；置于矩陣中時(shí)，使數(shù)據(jù)換行第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件三、MATLAB賦值語句和輸出格式MATLAB中最頻繁的操作是變量的賦值，其格式如下：變量=表達(dá)式這里的“=”號(hào)不能理解為相等，它是賦值符號(hào)，作用是將右邊表達(dá)式中的運(yùn)行結(jié)果傳遞給左邊變量對(duì)應(yīng)的內(nèi)存.MATLAB的運(yùn)算符可以分為以下三大類.第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件學(xué)的概念分析算術(shù)運(yùn)算符及其功能如表7-4所示.1.算術(shù)運(yùn)算符表

7-4變量名意義+相加-相減*相乘\左除/右除變量名意義^乘方.*數(shù)組相乘.^數(shù)組乘方.\數(shù)組左除./數(shù)組右除注意：（1）除法分為左除和右除，主要是因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律.（2）帶點(diǎn)運(yùn)算符是MATLAB最有創(chuàng)新和特色之處，其運(yùn)算在對(duì)應(yīng)元素之間進(jìn)行，可以大大提高計(jì)算效率，適應(yīng)于并行計(jì)算.第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件

解

指令如下：>>clear,%清除內(nèi)存原有變量值>>formatcompact%設(shè)置行緊縮輸出格式>>a=10;b=4;>>A=[456];B=[234];>>X1=a+b;X2=a-b;X3=a*b;X4=a/b;X5=a^b;>>Y1=A+B;Y2=A-B;Y3=A.*B;Y4=A./b;Y5=A.^2;Y6=b*A;>>X=[X1;X2;X3;X4;X5];Y=[Y1;Y2;Y3;Y4;Y5;Y6];>>X,Y第一節(jié)MATLAB的基本操作本課件是可編輯的正常PPT課件X=1.0e+04*0.00140.00060.00400.00031.0000Y=6.00008.000010.00002.00002.00002.00008.000015.000024.00001.00001.25001.500016.000025.000036.000016.000020.000024.0000如果在輸出結(jié)果指令前增加如下一條語句，將改變輸出數(shù)據(jù)的位數(shù)：>>formatlong

%設(shè)置按15位有效數(shù)字的科學(xué)計(jì)數(shù)形式輸出如果在輸出結(jié)果指令前增加如下一條語句，將改變輸出數(shù)據(jù)的形式：>>formatrat