PAGEPAGE1第02講命題及其關系、邏輯聯結詞、充分條件與必要條件講1．理解原命題和原命題的逆命題、否命題、逆否命題的含義，及其相互之間的關系.2．了解邏輯聯結詞“且”、“或”、“非”的含義.3．理解命題的必要條件、充分條件、充要條件的意義，能推斷并證明命題成立的充分條件、必要條件、充要條件.4.高考預料：命題重點主要集中在以函數、方程、不等式、立體幾何線面關系、數列等為背景的充分條件和必要條件的判定．從近5年命題看，其在試卷中的位置基本穩定在選擇題第5、6小題..5.備考重點：（1）命題的真假的推斷；（2）充分條件、必要條件的推斷學問點1．命題及其關系（1）命題的概念在數學中把用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．其中推斷為真的語句叫真命題，推斷為假的語句叫假命題．（2）四種命題及相互關系（3）四種命題的真假關系=1\*GB3①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；=2\*GB3②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系．【典例1】【浙江省浙南名校聯盟2025屆高三上期末】設是方程的兩個不等實根，記.下列兩個命題：①數列的隨意一項都是正整數；②數列第5項為10.()A．①正確，②錯誤B．①錯誤，②正確C．①②都正確D．①②都錯誤【答案】A【解析】因為是方程的兩個不等實根，所以1，，因為，所以，即當時，數列中的任一項都等于其前兩項之和，又1，，所以，，，以此類推，即可知：數列的隨意一項都是正整數，故①正確；②錯誤；因此選A.【規律方法】1.正確的命題要有充分的依據，不肯定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數學思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進行推理論證更困難，二者同樣重要．2.推斷四種形式的命題真假的基本方法是先推斷原命題的真假，再推斷逆命題的真假，然后依據等價關系確定否命題和逆否命題的真假．假如原命題的真假不好推斷，那就首先推斷其逆否命題的真假．【變式1】【山東省棗莊市2025屆高三上期末】有如下命題：①函數，，，中有三個在上是減函數；②函數有兩個零點；③若，則其中真命題的個數為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題①函數，，，中，依據函數的單調性易知，，，三個函數在上是減函數，在R上遞增的，故①正確；②令函數=0化簡：=x+2，作出圖像有兩個交點，故由兩個零點；②正確；③若，因為為單調遞減函數，所以故③正確.故選D學問點2．邏輯聯結詞（1）用聯結詞“且”聯結命題p和命題q，記作____，讀作______”．（2）用聯結詞“或”聯結命題p和命題q，記作_____，讀作“____”．（3）對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作_____，讀作“_____”．（4）命題p且q、p或q、非p的真假推斷【典例2】【2024山東】已知命題p：;命題q：若,則a<b.下列命題為真命題的是（）A．B.C.D.【答案】B【解析】由時成立知p是真命題,由可知q是假命題,所以是真命題,故選B.【重點總結】1．邏輯聯結詞與集合的關系：“或、且、非”三個邏輯聯結詞，對應著集合運算中的“并、交、補”，因此，經常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、非”三個聯結詞構成的命題問題．2．“pq”“pq”“p”形式命題真假的推斷步驟：（1）確定命題的構成形式；（2）推斷其中命題p、q的真假；（3）確定“pq”“pq”“p”形式命題的真假．3．含邏輯聯結詞命題真假的等價關系（1）pq真?p,q至少一個真?(p)(q)假.（2）pq假?p,q均假?(p)(q)真.（3）pq真?p,q均真?(p)(q)假.（4）pq假?p,q至少一個假?(p)(q)真.（5）p真?p假;p假?p真.4．命題p且q、p或q、非p的真假推斷規律：pq中p、q有一假為假，pq有一真為真，p與非p必定是一真一假．【變式2】【新疆烏魯木齊市2025屆高三其次次質量監測】命題若，則，是的逆命題，則（）A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假【答案】C【解析】由題意，，所以，得，所以命題為假命題，又因為是的逆命題，所以命題：若，則為真命題，故選C.學問點3．充分條件與必要條件(1)假如p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)假如p?q，q?p，則p是q的充要條件．【典例3】【2024年高考浙江】若a>0，b>0，則“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿意，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選A.【規律方法】充要關系的幾種推斷方法(1)定義法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分而不必要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要而不充分條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要條件.(2)等價法：即利用與；與；與的等價關系，對于條件或結論是否定形式的命題，一般運用等價法．(3)集合關系法：從集合的觀點理解，即若滿意命題p的集合為M，滿意命題q的集合為N，則M是N的真子集等價于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價于p是q的必要不充分條件，M＝N等價于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關系等價于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件【變式3】【2024年高考天津理】設，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分條件，即“”是“”的必要而不充分條件.故選B.考點1四種命題的關系及真假推斷【典例4】【黑龍江省海林市朝鮮族中學2025屆復習】以下命題為假命題的是()A．“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實數根”的逆命題B．“面積相等的三角形全等”的否命題C．“若xy＝1，則x，y互為倒數”的逆命題D．“若A∪B＝B，則A?B”的逆否命題【答案】A【解析】A．“若m＞0，則方程x2+x-m=0有實數根”的逆命題是“若方程x2+x-m=0有實數根，則m＞0”，

由判別式△=1+4m≥0得，故A是假命題，

B．“面積相等的三角形全等”的逆命題是“全等的三角形面積相等”為真命題，依據逆命題和否命題為逆否命題，則命題“面積相等的三角形全等”的否命題是真命題，

C．“若xy=1，則x，y互為倒數”的逆命題是“若x，y互為倒數，則xy=1”為真命題．

D．“若A∪B=B，則A?B”為真命題，則“若A∪B=B，則A?B”的逆否命題為真命題．，

故選：A．【思路點撥】1.四種命題反映出命題之間的內在聯系，要留意結合實際問題，理解其關系（尤其是兩種等價關系）的產生過程，關于逆命題、否命題與逆否命題，也可以敘述為：（1）交換命題的條件和結論，所得的新命題就是原來命題的逆命題；（2）同時否定命題的條件和結論，所得的新命題就是原來的否命題；（3）交換命題的條件和結論，并且同時否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題.2.本題解答思路：A．求出命題的逆命題，進行推斷即可，

B．依據逆否命題的等價性推斷命題的逆命題

C．依據逆命題的定義進行推斷

D．依據逆否命題的等價性推斷原命題的真假即可．【變式4】【甘肅省酒泉市敦煌中學2025屆高三一診】在下列四個命題中,其中真命題是(

)①“若,則”的逆命題;②“若,則”的否命題;③“若,則方程有實根”的逆否命題;④“等邊三角形的三個內角均為”的逆命題.A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④【答案】B【解析】逐一考查所給命題的真假：①“若,則”的逆命題為“若，則”該命題為真命題;②“若,則”的否命題為“若,則不垂直”，由可得：，據此可知：不垂直”，該命題為真命題;③若,則方程的判別式，方程有實根為真命題，則其逆否命題為真命題;④“等邊三角形的三個內角均為”的逆命題為“三個內角均為的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題;綜上可得：真命題是①②③④.本題選擇B選項.考點2含有邏輯聯結詞的命題【典例5】【山東省2024年一般高校招生（春季）】設命題，命題，則下列命題中為真命題的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為命題為真，命題為真，所以為真，、為假，選A.【總結提高】若要推斷一個含有邏輯聯結詞的命題的真假，需先推斷構成這個命題的每個簡潔命題的真假，再依據“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出推斷即可.【變式5】【河北省唐山市2025屆三模】已知命題在中，若，則；命題，.則下列命題為真命題的是（）A.B.C.D.【答案】B命題，當時，不成立，故為假命題，故選B.考點3充分必要條件的判定【典例6】【2024年浙江卷】已知平面α，直線m，n滿意mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以依據線面平行的判定定理得.由不能得出與內任始終線平行，所以是的充分不必要條件，故選A.【思路點撥】一般地，充分、必要條件推斷方法有三種.本題難度較小，依據線面平行的判定定理可得充分性成立，而由無法得到m平行于平面內任始終線，即必要性不成立．【變式6】【2024年理數天津卷】設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不重復條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】肯定值不等式，由.據此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項.考點4充分條件與必要條件的應用【典例7】【江西省新八校2025屆高三其次次聯考】若“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，所以，故答案為.【規律方法】1.充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上．解題時需留意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后依據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．(2)要留意區間端點值的檢驗．2.把握探求某結論成立的充分、必要條件的3個方面(1)精確化簡條件，也就是求出每個條件對應的充要條件；(2)留意問題的形式，看清“p是q的……”還是“p的……是q”，假如是其次種形式，要先轉化為第一種形式，再推斷；(3)敏捷利用各種方法推斷兩個條件之間的