7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差填一填:(1)一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,Xx1x2…xnPp1p2…pn變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.(3)一般地,下面的結(jié)論成立:E(aX+b)=aE(X)+b.復(fù)習(xí)回顧做一做:(1)已知ξ的分布列為

X024P0.30.20.5A.16 B.11 C.2.2 D.2.3√√復(fù)習(xí)回顧思考：你還記得什么是一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差及其意義嗎？

期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢(shì)”；當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的期望相同時(shí)，那還能通過(guò)探究這組數(shù)據(jù)的什么數(shù)字特征呢？方差用于體現(xiàn)數(shù)據(jù)的兩極分化程度，即反映這組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均值的集中程度。還可以考察數(shù)據(jù)的方差

新知探究問(wèn)題1

從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通過(guò)計(jì)算可得，由于兩個(gè)均值相等，所以用均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.評(píng)價(jià)射擊水平，除了要了解擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.E(X)=8；E(Y)=8

新知探究問(wèn)題2

怎樣刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?（如何比較離散程度）為了能直觀分析甲乙兩名擊中環(huán)數(shù)的離散程度，下面我們分別作出X和Y的概率分布圖.O678109P0.10.20.30.4O678109P0.10.20.30.4

比較兩個(gè)圖形，可以發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績(jī)更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定.追問(wèn)：怎樣定量刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?新知探究我們知道，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過(guò)計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來(lái)實(shí)現(xiàn)的，所以我們能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來(lái)度量隨機(jī)變量的離散程度.

樣本的方差

：隨機(jī)變量的方差

新知探究一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.則稱(chēng)為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X)，并稱(chēng)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X).離散型隨機(jī)變量的方差：Xx1x2???xnPp1p2???pn隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.概念生成方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.分別計(jì)算兩位同學(xué)的方差?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03已知：E(X)=8；E(Y)=8∴隨機(jī)變量Y的取值相對(duì)更集中，即乙同學(xué)的射擊成績(jī)相對(duì)更穩(wěn)定.問(wèn)題1

從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表所示.新知應(yīng)用例1有甲、乙兩種水稻，測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，得樣本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估計(jì)（

）A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊

B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同

D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較B解：由題意得，D(X甲)＝11

>D(X乙)＝3.4，

所以乙的數(shù)據(jù)更集中，即水稻分蘗更整齊，故選B。新知應(yīng)用例2由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的得分情況為

現(xiàn)有一場(chǎng)比賽，應(yīng)派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好（

）A.甲

B.乙 C.甲、乙均可

D.無(wú)法確定解：∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，故派甲運(yùn)動(dòng)員參加較好，故選A.X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4A新知應(yīng)用例3已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示：則a＝____，D(X)＝_____？解:根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5，E(X)＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D(X)＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.1350.40.1a0.53.56新知應(yīng)用在方差的計(jì)算中，為了使運(yùn)算簡(jiǎn)化，還可以用下面的結(jié)論.證明：新知探究問(wèn)題3

離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)，方差會(huì)有怎樣的變化?離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)，方差又有怎樣的變化?它們和期望的性質(zhì)有什么不同?

新知探究方差的性質(zhì):1.若X，Y

是兩個(gè)隨機(jī)變量,且Y＝aX+b,則：D(Y)=D(aX＋b)=a2D(X

)特殊地：(1)當(dāng)a=0時(shí),D(b)=0(2)當(dāng)b=0時(shí),D(aX)=a2D(X)2.D(X

)=E(X2)－E(X)2新知探究例4

設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為（

）A.2 B.3 C.4 D.5C解：D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.故選C.例5

已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下表：設(shè)η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)？新知應(yīng)用例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差.解2：隨機(jī)變量X的分布列為新知應(yīng)用例2投資A，B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示.股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3投資哪種股票的期望收益大?(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高?

分析：如果隨機(jī)變量是風(fēng)險(xiǎn)投資的收益,那么方差的大小大小反映了投資風(fēng)險(xiǎn)的高低.新知應(yīng)用股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3∵E(X)>E(Y),∴投資股票A的期望收益較大.解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,

E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.因?yàn)镋(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以投資股票A比投資股票B的風(fēng)險(xiǎn)高.解:(2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6?1.12=1.29,

D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3?12=0.6.新知應(yīng)用解：1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).課本練習(xí)P70新知應(yīng)用3.甲、乙兩個(gè)班級(jí)同學(xué)分別目測(cè)數(shù)學(xué)教科書(shū)的長(zhǎng)度，其誤差X和Y(單位:cm)的分布列如下:甲班的目測(cè)誤差分布列X－2－