27.2.1相似三角形的判定第二十七章

相

似第2課時

三邊成比例的兩個三角形相似

如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點，過點D作BC的平行線DE，交AC于點E.問題1

△ADE與△ABC的三個角分別相等嗎？問題2分別度量△ADE與△ABC的邊長，它們的邊

長是否對應成比例？BCADE相似三角形的引理三合作探究問題3

你認為△ADE與△ABC之間有什么關系？平行移動DE的位置，你的結論還成立嗎？BCADE通過度量，我們發現△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，這個結論恒成立.想一想：BCADE

我們通過度量三角形的邊長，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定義去證明它，我們需要證明什么？

由前面的結論，我們可以得到什么？還需證明什么？

，而除

DE外，其他的線段都在△ABC的邊上，要想利用前面學到的結論來證明三角形相似，需要怎樣做呢？BCADE

由前面的結論可得，需要證明的是可以將

DE

平移到BC

邊上去證明：在

△ADE與

△ABC中，∠A=∠A.∵

DE∥BC，∴

∠ADE=∠B，∠AED=∠C.如圖，過點

D

作

DF∥AC，交

BC

于點

F.CABDEF用相似的定義證明△ADE∽△ABC∵

DE∥BC，DF∥AC，∴∵

四邊形DFCE為平行四邊形，∴

DE=FC，∴△ADE∽△ABC.∴由此我們得到判定三角形相似的定理：

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，

所構成的三角形與原三角形相似.三角形相似的兩種常見類型：“A

”型

“X”型

DEABCABCDE1.

已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對相似

三角形.3練一練CDABEFO相似具有傳遞性2.

若

△ABC

與

△A′B′C′

相似，

一組對應邊的長為AB

=3

cm，

A′B′=4

cm，那么△A′B′C′與

△ABC

的相似比是_____.4︰33.

若

△ABC

的三條邊長的比為3cm，5cm，6cm，

與其相似的另一個

△A′B′C′

的最小邊長為12

cm，

那么

A′B′C′

的最大邊長是______.24cm當堂練習1.

如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1:2，若

BC=1，

則

EF

的長為

(

)A.

1B.

2C.

3D.

4BCAEFDB2.

如圖，在

△ABC

中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，

BC

=

4

cm，EF

長()AA.

1cmB.cmC.

3cmD.2cmABCEF3.

如圖，在

△ABC中，DE∥BC，則△____∽△____，

對應邊的比例式為

＝

＝ADEABC————．BCADE4.

已知

△ABC

∽

△A1B1C1，相似比是

1:4，△A1B1C1

∽△A2B2C2，相似比是1:5，則△ABC與△A2B2C2的

相似比為

.1:205.

如圖，在

□ABCD

中，EF∥AB，

DE

:EA

=

2:3，

EF

=

4，求

CD

的長．

解：∵EF∥AB，DE

:EA

=

2:3，DACBEF∴

即∴

△DEF∽△DAB，解得

AB=10.又∵四邊形

ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=10.6.

如圖，已知菱形

ABCD

內接于△AEF，AE=5cm，

AF

=

4

cm，求菱形的邊長.

解：∵四邊形

ABCD為菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴

設菱形的邊長為

xcm，則CD=AD=xcm，DF=(4－x)cm，∴

解得

x=∴菱形的邊長為cm.2.證明三角形全等有哪些方法？你能從中獲得證明三角形相似的啟發嗎？導入新課1.什么是相似三角形？在前面的課程中，我們學過哪

些判定三角形相似的方法？你認為這些方法是否有

其缺點和局限性？ABCDE復習引入3.類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過三邊來判定兩個三角形相似呢？講授新課三邊成比例的兩個三角形相似合作探究

畫

△ABC和

△A′B′C′，使，動手量一量這兩個三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個三角形是否相似？ABCC′B′A′ABCC′B′A′

通過測量不難發現∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因為兩個三角形的邊對應成比例，所以

△ABC

∽△A′B′C′.下面我們用前面所學得定理證明該結論.∴

C′B′A′證明:在線段

AB

(或延長線)

上截取

AD=A′B′，

過點

D

作

DE∥BC

交AC于點

E.∵

DE∥BC

，∴

△ADE

∽

△ABC.

∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，

△A′B′C′

∽△ABC.BCADE又

，AD=A′B′，

∴

，.由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個三角形相似．歸納：∵

，∴

△ABC

∽

△A′B′C.符號語言：例1

判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4典例精析解：在

△ABC

中，AB>BC>CA，在

△

DEF中，

DE>EF>FD.∴△ABC

∽

△DEF.ABC33.54DFE1.82.12.4∵，

，

，∴.方法總結：判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個三角形的三邊的長，分別算出三條對應邊的比值，看是否相等.注意：計算時最長邊與最長邊對應，最短邊與最短邊對應.

已知

△ABC和

△DEF，根據下列條件判斷它們是否相似.(3)AB=12，

BC=15，

AC＝24，DE＝16，EF＝20，

DF＝30.(2)AB=4，

BC=8，

AC＝10，DE＝20，EF＝16，

DF＝8；(1)AB=3，

BC=4，

AC＝6，DE＝6，

EF＝8，

DF＝9；是否否練一練例2

如圖，在

Rt△ABC

與

Rt△A′B′C′中，∠C

=∠C

′

=

90°，且

求證：△

A′B′C′∽△ABC.

證明：由已知條件得

AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△

A′B′C′∽△ABC.(三邊對應成比例的兩個三角形相似)∴BC=2B′C′，∴∠BAC=∠DAE，∠BAC

－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即

∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.

∴

△ABC∽△ADE(三邊成

比例的兩個三角形相似).例3

如圖，在

△ABC和

△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度數.ABCDE解：∵解：在

△ABC和

△ADE中，∵AB

:CD

=

BC

:DE

=

AC

:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故圖中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.

如圖，已知

AB

:AD

=

BC

:DE

=

AC

:AE，找出圖中相等的角(對頂角除外)，并說明你的理由.練一練ABCDE1.如圖，在大小為4×4的正方形網格中，是相似三

角形的是()①②③④A.

①和②

B.

②和③C.

①和③

D.

②和④C當堂練習2.如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列結論

正確的是()

A.

△PAB∽△PCA

B.

△PAB∽△PDA

C.

△ABC∽△DBA

D.

△ABC∽△DCA

ACBPDC∵AB

:BC=

BD:AB=

AD:AC，∴△ABC∽△DBA，故選C.解析：設AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=，AC=