第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時二次根式的概念和性質

敦亨目標

1.二次根式的概念府應用.

2.二次根式的非負性.

重占難（5

教學重點

二次根式的概念.

教學難點

二次根’的非負性.

敦亨設計

一、情景導入

師：（多媒體展示）請同學們看屏幕，這是東方明珠電視塔.

電視節(jié)目信號的傳播半徑r/km與電視塔高h/km之間有近似關系r=y[2Rh（R為坨球半

徑）.如果兩個電視塔的高分別為//,km,h2km,那么它們的傳播半徑之比為多少？同學們能

化簡這個式子嗎？

由學生計算、討論后得出結果，并提問.

生：半徑之比為暫時我們還不會對它進行化簡.

師:那么怎么去化簡它辿？這要用到二次根式的運算和化簡.如何進行二次根式的運算？

如何進行二次根式的化簡？這將是本章所學的主要內容.

二、新課教授

活動1:知識遷移，歸納概念

（多媒體演示）用含根號的式子填空.

（1）17的算術平方根是；

（2）如圖，要做一個兩條直角邊長分別為7和4的三角形，斜邊長應為cm；

（3）一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130/,則它的寬為w；

（4）面積為3的正方形的邊長為,面積為a的正方形的邊長為；

（5）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間/（單位：s）與開始落下時的高度6（單

位：⑼滿足關系〃=5上如果用含有h的式子表示Z,則/=.

【答案】（1版（2>/65（3府（4/Va

活動2：二次根式的非負性

（多媒體展示）

（1）式子，表示的實際意義是什么？被開方數(shù)。滿足什么條件時，式子，才有意義？

⑵當a>0時，班0；當a=Q時，m0；二次根式是一個

【答案】（1）〃的算術平方根，被開方數(shù)〃必須是非負數(shù)（2）>=非負數(shù)

老師結合學生的回答，強調二次根式的非負性.

當a>0時，，表示Q的算術平方根，因此3>0；

當a=0時，，表示0的算術平方根，因此6=0.

也就是說，當心0時，Qo.

三、例題講解

【例】當x是怎樣的實數(shù)時，，心在實數(shù)范圍內有意義？

解：由x—220,得x22.

所以當x,2時，正工在實數(shù)范圍內有意義.

四、鞏固練習

1.已知[a—2+[6+[=0,求一Jb的值.

【答案】后衛(wèi)20,4+拉0,又???它們的和為0,-2=0且。+3=0,解得〃=

2，b=~2,

：.-a2b=-22X（-^）=2.

2.若x,y^\Jx~14-yj\~x—y=3有意義，求2x-￥y的值.

【答案】-1

五、課堂小結

1.木節(jié)課主要學習了二次根式的概念.形如gm2。）的式子叫做二次根式，“廠”稱

為二次根號.

2.二次根式的被開方數(shù)必須是什么數(shù)才有意義？又是什么數(shù)？

敦亨反思:?<

I.本節(jié)課的教學過程中，通過創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟

發(fā)，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者地位.

2.注重知識之間的銜接，在溫故知新的過程中引出新知，講練結合旨在鞏固學生對新知

的理解.

第2課時二次根式的化簡

敦與目標：?<

1.理解（^）2=〃（。2。），并能利用它進行計算和化簡.

2.通過具體數(shù)據的解答，探究聲=°（。20）,并利用這個結論解決具體問題.

重占難（5：?<

教學重點

理解并掌握（6）2=。（。20）,而=。僅20）以及它們的運用.

教學難點

探究結論.

敦亨設計：?<

一、復習導入

教師復習口述上節(jié)課的重要內容，并板書:

1.形如的式子叫做二次根式.

2.,320）是一個非發(fā)數(shù).

那么，當。2（）時，（3）2等于什么呢？下面我們一起來探究這個問題.

二、新課教授

活動1：

（多媒體演示）根據算術平方根的意義填空：

而2=________；（啦"________：

71斤---------；（情）2=---------:

（病亓尸=;（7（））2=.

由學生計算、討論得出結果，并提問部分過程，教師進行點評.

老師點評：

，是4的算術平方根根據算術平方根的意義退是一個平方等于4的非負數(shù)因此（5日

=4.

同理：（建）2=2；~；）2=；；（\^）2=|；（四所）2=00]；（的）2=0

所以歸納出：（版）2=〃（。20）.

【例1】教材第3頁例2

活動2：

（多媒體展示）填空：

V?=；Vo7P=：

y[W2=—；v^=—：

（g）2=；對=.

教師點評：

根據算術平方根的意義，我們可以得到：

#=2；VoT=o.i；yj（|）2=|；

yj（1）2=1；q嗎）2=當對=0.

所以歸納出：，￡=Q（Q20）.

【例2】教材第4頁例3

教師點評：

當a20時，病=〃：

當awo時?，q?=-a.

三、課堂小結

本節(jié)課應理解并掌握（3）2=q（a2O）和1=〃（aNO）及其運用，同時應理解迎=一

WO）.

敦亨反思

1.注意前后知識之間的聯(lián)系，在復習舊知的過程中導入本節(jié)課的教學內容.按照由特殊

到一般的規(guī)律，降低學生理解的難度.

2.在總結二次根式性質的過程中，由學生經過觀察、分析的過程，讓學生在交流活動中

體會成功.

16.2二次根式的乘除

第1課時二次根式的乘法

教與目標：?<

由等式的對稱性，反過來：

*7^=/述（。20,620）

活動3講練結合

教材第6?7頁例題

三、鞏固練習

完成課本第7頁的練習.

【答案】

課本練習第1題：（1標；（2）6；（3）2小；（4）2.

第2題：（1）77；（2）15；（3）25；（4）4余訴.

第3題：4y[5.

四、課堂小結

本節(jié)課應掌握：爪怖2（）"20）,黃6=6??。╝2（）,〃20）及其應用.

教與反思

1.創(chuàng)設情境，給出實例.學生積極主動探索，教師弓導啟發(fā)，按照由特殊到一般的規(guī)律,

降低學生理解的難度.

2.在二次根式乘法法則的形成過程中，由學生大膽猜測，經過思考、分析、討論的過程，

讓學生在交流中體會成功.第2課時二次根式的

除法

教與目標K?<

，（qo">。）和狀=*心0，心。），會利用它們進行計算和化簡.

重占難（5

教學重點

理解并掌握米=[|（。20,b>0）,

,b>0）,利川它們進行計算和化簡.

教學難點

歸納二次根式的除法法則.

教導設計：?<

一、復習導入

活動1：

1.由學生回答二次根式的乘法法則及逆向等式.

2.填空（多媒體展示）.

二、新課教授

活動2：

先由學生對上面的結果進行比較，觀察每組兩個算式結果的大小關系，并總結規(guī)律.

教師點評：

一個非負數(shù)的算術平方根除以一個正數(shù)的算術平方根，等于它們商的算術平方根.

般地，二次根式的除法法則是：

a

對20,b>0)

由等式的對稱性，反過來:

【例】教材第8?9頁例題

三、鞏固練習

課本第10頁練習第1題.

【答案】(1)3(2)2#(滯(4)2〃

四、課堂小結

本節(jié)課應掌握狀=宗(。20,b>0)和

(。20,b>0)及其應川.

敦亨反思：?<

1.創(chuàng)設情境，復習二次根式的乘法，旨在類比學習二次根式的除法，培養(yǎng)學生繼續(xù)探究

的興趣.

2.二次根式除法的學習過程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學生經歷思考、討論、分析

的過程，讓學生大膽猜測，使學生在交流中體會成功.

第3課時最簡二次根式

敦與目標

最簡二次根式的概念、利用最簡二次根式的概念和性質進行二次根式的化簡和運算.

重占難占

教學重點

最簡二京根式的運用.

教學難點

會判斷整個二次根式是否是最簡二次根式.

敦亨設計

一、復習導入

(學習活動)請同學們完成下列各題.(請四位同學上臺板書)

計算：⑴*(2禹(3需(4離

教師點評：

噂￥Q嘉學嗨邛(礁專

二、新課教授

教師點評：.L面這些式子的結果具有如下兩個特點：

1.被開方數(shù)不含分母.

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

師：我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.(教師板書)

教師強調：在二次根式的運算中，一般要把最后結吳化為最簡二次根式.

【例I】判斷下列式子是不是最簡二次根式，為什么？

(1)3XVA/|X;(2)250737；(3)A/1；(4)70^.

解：(1)被開方數(shù)中有因數(shù)3,因此它不是最簡二次根式；Q)被開方數(shù)中有開得盡方的因

式，因此它不是最簡二次根式；(3)被開方數(shù)中有分母，因此它不是最簡二次根式；(4)被開

方數(shù)中有因數(shù)0.2，它不是整數(shù)，所以它不是最簡二次根式.

【例2】化簡:

(2H12x'y'(x20)；(3)\/a2b4+a4b2(flZ)>0).

解:(i媚

232

(2)A/12xy=,\/4xy,3y=2xy\]3y；

(3h/a2b4+a4b2=A/a2b2(b2+a2)=^a2+b2.

【例3】教材第9頁例7

三、課堂小結

1.本節(jié)課應掌握最簡二次根式的特點及其運用.

2.二次根式的運算結果要化為最簡二次根式.

敦亨反思

1.注重知識的前后聯(lián)系，溫故而知新.讓學生積極主動地探索，教師引導和啟發(fā)，使學

生在經過思考、討論和分析的過程后，獲得新知，體會學習的樂趣.

2.前兩個例題旨在加強對最簡二次根式的理解，第三個例題讓學生靈活運用二次根式解

決實際問題.

16.3二次根式的加減

第1課時二次根式的加減

敦與目標＜:?<

理解并掌握二次根式加減的方法并能用二次根式加減法法則進行二次根式的加減運算.

重Q難Q:?<

教學重點

理解并后握二次根式加減計算的方法.

教學難點

二次根式的化簡、合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式.

敦亨設計:?<

一、復習導入

(學生活動)

1.計算：

(l)x+2r；(2)3a—2a+4a；(3)2x2—3x2+5x2；(4)2/一47+3a.

2.教師點評：上面的運算實際上就是以前所學習的合并同類項，合并同類項就是字母連

同指數(shù)不變，系數(shù)相加減.

二、新課教授

(學生活動)

1.類比計算，說明理由.

(lh/2+2V2；(2)32#+4#；

(3)3小+孤(4)273-373+V12.

2.教師點評：

("+26=(1+22=36；

(2)3乖一2m+4m=(3-2+4胞=5m=1舶

(3)雖然表面上也與乖的被開方數(shù)不同，不能當作被開方數(shù)相同，但乖可化為2啦，3夜

+,=36+2也=(3+2班=56；

(4)同樣小可化為2小,

2吸一3V5+6=2小一3小+2小=(2-3+2)75=小.

所以在用二次根式進行加減運算時，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并，因此可將二次

根式先化為最簡二次根式，比較被開方數(shù)是否相同.

因此可.得：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同

的二次根式進行合并.

【例1】教材第13頁例1

【例2】教材第13頁例2

三、鞏固練習

教材笫13頁練習第1,2題.

【答案】第1題：(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確.

第2題：(1)一4巾；(2)34；(3)1麗一3??；(4)39

四、課堂小結

本節(jié)課應掌握進行二次根式加減運算時，先把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，

再把相同被開方數(shù)的最簡二次根式進行合并.

教與反思:?<

1.創(chuàng)設情境，給出實例.由學生上動參與，經過思考、討論、分析的過程，老師加以啟

發(fā)和引導，類比得出二次根式的加減運算法則.

2.兩個例題，旨在幫助學生理解并掌握二次根式的加減運算法則.尤其是例2,要按照

兩個步驟進行計算，培養(yǎng)了學生利用概念、法則進行計算和化簡的嚴謹態(tài)度和科學精神.

第2課時二次根式的加減乘除混合運算

敦與目標

含有二次根式的式子進行加減乘除混合運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用.

重占難(5

教學重點

二次根’的加減乘除混合運算.

教學難點

由整式:算知識遷移到含二次根式的運算.

一、復習導入

(學生活動)：請同學們完成下列各題.

計算：

⑴(37+2t+2>4x；

(2)(4?-戶(一2孫)；

(3)(3Q+2協(xié)(3。-2力)；

(4)(2X+1)2+(ZV-1)2.

二、新課教授

由于整式運算中的xty,a,b是字母，它的意義卜分廣泛，可以代表一切，當然也可以

代表二次根式，因此整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式，下面我們就使用這些規(guī)律來進行

【例1】計算：

(1)部+小)X*；

(2)(4正一3&)+26.

分析：二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以可直接用整式的運算規(guī)律.

解：⑴邰+小)義#=小義水+小X#

=屈+標=4小+3也：

(2)(4娘一3班)+2/

【例2】計算:

(l)(V2+3)(V2-5)：

(2)(^5+木)部一小);

(3)(73-V2)2.

分析：第(1)題可類比多項式乘以多項式法則來計算，第(2)題把小當作。，仍當作6,就

可以類比(〃+力)(。一力)=/一川，第(3)題可類比3—〃)2=/一2"+力2來計算.

解：⑴(皿+3)(也一5)

=(的2+3娘一5小一15

=2+3^2-5^2-15

=-13-272；

(2)(小+小)(小一小)

=(^5)2-(<3)2=5-3=2；

⑶(小一6)2

=（?。?-2X小X班+（例2

=5-276.

三、鞏固練習

教材第14頁練習第1,2題.

【答案】第1題：（1>#+遮：（2）4+2皿：（3）11+5??；（4）4.第2題：（1）9；（2）°—6；

（3）7+4-73：（4）22-4^/10.

四、課堂小結

本節(jié)課應掌握利用整式運算的規(guī)律進行二次根式的其除、乘方等運算.

敦亨反思

1.情境引入，復習整式運算的知識，旨在遷移到利用乘法公式進行含二次根式算式的運

算，培養(yǎng)學生繼續(xù)探究的興趣.

2.例題的設計，旨在幫助學生理解乘法公式在二次根式運算中的應用.

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1課時勾股定理(1)

敦亨目標：?<

了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，理解并掌握勾股定理的內容，會用面枳法證明勾股定理，能

應用勾股定理進行簡單的計算.

重占難(5：?<

教學重點

勾股定理的內容和證明及簡單應用.

教學難點

勾股定理的證明.

敦亨設計：?<

一、創(chuàng)設情境，引入新課

讓學生畫?個直角邊分別為3cm和4所的直角△XBC，用刻度尺量出斜邊的長.

再畫一個兩直角邊分別為5和12的直角△/18C,用刻度尺量出斜邊的長.

你是否發(fā)現(xiàn)了32+42與5?的關系,52+12?與132的關系，即32+42=52,52+122=132,

那么就有勾2+股2=弦乙

對于任意的直角三角形也有這個性質嗎？

由一學生朗讀“畢達哥拉斯觀察地面圖案發(fā)現(xiàn)勾股定理”的傳說，引導學生觀察身邊的

地面圖形，猜想畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么？

拼圖實驗，探求新知

1.多媒體課件演示教材第22?23頁圖17.1—2和圖17.1-3,引導學生觀察思考.

2.組織學生小組合作學習.

問題：每組的三個正方形之間有什么關系？試說一說你的想法.

引導學生用拼圖法初步體驗結論.

生：這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個小正方形的面積和.

師：這只是猜想，?個數(shù)學命題的成立，還要經過我們的證明.

歸納驗證，得出定理

(1)猜想：命題1：如果直角三角形的兩直角邊長分別為。，/),斜邊長為C,那么。2+》2

=c2.

(2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點呢？這就需要對一個一般的直角三角形進

行證明.到目前為止，對這個命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國數(shù)學家趙

爽是怎樣證明這個定理的.

①用多媒體課件演示.

②小組合作探究：

a.以宜角三角形的兩條宜角邊。"為邊作兩個正方形，你能通過剪、拼把它拼成

弦圖的樣子嗎？

力.它們的面枳分別怎樣表示？它們有什么關系?

口■m.茵去~~

c.利用學生自己準備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗占人趙爽的證法.想一想還有什么方

法？

師：通過拼擺，我們證實了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關，我國把它

稱為勾股定理.

即在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做

弦.

二、例題講解

【例1】填空題.

⑴在R/A4BC中，ZC=90°,a=8,b=15,貝ijc=:

(2)在Rt/^ABC中，NB=90°,a=3"=4,則c=；

(3)在Rt/\ABC中，ZC=90°,c=1(),"：h=3：4,則a=,h=；

(4)一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為；

(5)已知等邊三角形的邊長為25?,則它的高為cm，面積為曲上

【答案】(1)17(2)77(3)68(4)6,8,10(5胞小

［例2］已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,求第三邊.

分析：已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應分兩種情況分別進

行計算.讓學生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想.

【答案】3■歷或13

三、鞏固練習

填空題.

在中?,ZC=900.

(1)如果。=7,c=25,則b=；

⑵如果N4=30°,a=4,貝ijb=：

⑶如果乙4=45°,Q=3,貝ijc=；

(4)如果c=10,a-b=2,則b=；

(5)如果a,htc是連續(xù)整數(shù)，則a+Z)+c=

(6)如果b=&,ae=3：5,則c=.

【答案】(1)24(2)4小(3)36(4)6(5)12

(6)10

四、課堂小結

1.本節(jié)課學到了什么數(shù)學知識？

2.你了解了勾股定理的發(fā)現(xiàn)和驗證方法了嗎？

3.你還有什么困惑？

敦亨反思：?<

本節(jié)課的設計關注學生是否積極參與探索勾股定理的活動，關注學生能否在活動中積極

思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進行枳極的聯(lián)想(數(shù)形結合)以及學生能否有條理地

表達活動過程和所獲得的結論等.關注學生的拼圖過程，鼓勵學生結合自己所拼得的正方形

驗證勾股定理.第2課時勾股定理⑵

教與目標：?<

能將實際問題轉化為直角三角形的數(shù)學模型，并能月勾股定理解決簡單的實際問題.

重占難占：?<

教學重點

將實際高題轉化為直角三角形模型.

教學難點

如何用解直角三角形的知識和勾股定理來解決實際問題.

教與設計：?<

一、復習導入

問題1：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多

長的梯子？

師生行為：

學生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學模型.

教師深入到小組活動中，傾聽學生的想法.

A

12m\

cl5m\—

生：根據題意，（如圖）4。是建筑物，則4c=12m,BC=5m,AB是梯子的長度，所以

^RtAABC^,J52=/1C:+BC2=122+52=132,則4〃=13〃九

所以至少需13加長的梯子.

師：很好！

由勾股定理可知，已知兩直角邊的長分別為。，〃，就可.以求出斜邊c的長.由勾股定理

可得/=°2一戶或川=。2一/,由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條

直角邊的長，也就是說，在直角三角形中，己知兩邊就可求出第三邊的長.

問題2：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m、寬2.2機的長方形薄木板能否從門框內

通過？為什么？

D~

2m

4_^1.

H>1

1m

學生分組討論、交流，教師深入到學生的數(shù)學活動中，引導他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問

題的途徑.

生1：從題意可以看出，木板橫著進，豎著進，都人能從門框內通過，只能試試斜著能

否通過.

生2：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC,再與木板的

寬比較，就能知道木板是否能通過.

師生共析：

解：在放△力4C中，根據勾股定理彳C2=4M+8C2=12+22=5.

因。匕4。=小心2.236.

因為力。木板的寬，所以木板可以從門框內通過.

二、例題講解

［例1］如圖，山坡二兩棵樹之間的坡面距離是4#米，則這兩棵樹之間的垂直距離是

米，水平距離是米.

分析：由/。6=30°易知垂直距離為2小米，水平距離是6米.

【答案】2小6

【例2］教材第25頁例2

三、鞏固練習

1.如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B,C兩點，在江對岸取一點力,使4C垂直

江岸，測得8c=50米，/8=60°,則江面的寬度為.

【答案】5(4米

200m

,520m

2.某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達地點8200米，

結果他在水中實際游了52。米，求該河流的寬度.

【答案】約480小

四、課堂小結

1.談談自己在這節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單的應用題；會構造直角三角

形.

2.本節(jié)是從實驗問題出發(fā)，轉化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答.

敦亨反思：?<

這是一節(jié)實際應用課，過程中要充分發(fā)揮學生的主導性，鼓勵學生動手、動腦，經歷將

實際問題轉化為直角三角形的數(shù)學模型的過程，激發(fā)了學生的學習興趣，鍛煉了學生獨立思

考的能力.第3課時勾股定理(3)

敦與目標：?<

1.利用勾股定理證明：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

2.利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點.

3.進?步學習將實際問題轉化為直角三角形的數(shù)學模型，并能用勾股定理解決簡單的實

際問題.

重占難(5：?<

教學重點

在數(shù)軸上尋找表示出，小，小，…這樣的表示無理數(shù)的點.

教學難點

利用勾就定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段.

敦亨設計

一、復習導入

復習勾股定理的內容.

本節(jié)課探究勾股定理的綜合應用.

師：在八年級上冊，我們曾經通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直

角三角形全等.你們能用勾股定理證明這i結論嗎？

學生思考并獨M完成，教師巡視指導，并總結.

先畫出圖形，再寫出已知、求證如下:

已知：如圖，在心和B'C中，NC=NC'=90°,AB=A'B',AC=AC.

求證：△/lACg/X/B'C.

證明：在&△4BC和B'C'中，NC=NC'=90°，根據勾股定理，得8C=

-AC?,B'C'=，A'B''-A'C々乂AB=AB,AC=A'C,：.BC=B,C,,

A'B'C'（SSS）.

師：我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出行所

對應的點嗎？

教師可指導學生尋找像長度為6，5,第，…這樣的包含在直角三角形中的線段.

師：由于要在數(shù)軸上表示點到原點的距離為血，蟲"，所以只需畫出長為g，小,

木，…的線段即可,我們不妨先來畫出長為小，小，小，…的線段.

生：長為血的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長為小的線段是直角邊為1

和2的直角三角形的斜邊.

師：長為，百的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？

生：設。=回，兩直角邊長分別為a,b,根據勾股定理/+/=/,即J+戶=13.若a,

，，為正整數(shù)，則13必須分解為兩個平方數(shù)的和，即13=4+9,“2=4,必=9,則“=2,b=3,

所以長為行的線段是直角邊長分別為2,3的直角三角形的斜邊.

師：卜而就請同學們在數(shù)軸上畫出表示回的點.

B

A\C

O\2343

生：步驟如下：

1.在數(shù)軸上找到點力，使04=3.

2.作直線/垂直于,在/上取一點B,使A8=2.

3.以原點O為圓心、以OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點C,則點C即為表示回的點.

二、例題講解

【例1】飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到,個男孩頭頂正上方4800米處，過了

10秒后，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米?

A

分析：根據題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點表示男孩頭頂?shù)奈恢?，C,8點是兩個

時刻飛機的位置，NC是直角，可以用勾股定理來解決這個問題.

解：根據題意，得在Rt^ABC中，ZC=90°,/15=5000米，力C=4800米.由勾股定

理，得/IB'dd+AC2,即50002=5C2+48002,所以4c=1400米.

飛機飛行1400米用了10秒,那么它1小時飛行的距離為1400X6X60=504000（米）=

504（千米），即飛機飛行的速度為504千米/時.

［例2］在平靜的湖面上，有一-棵水草，它高出水面3分米，一陣風吹來，水草被吹到

一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？

解：根據題意，得到上圖，其中D是無風時水草的最高點，BC為湖面，AB是一隴風吹

過水草的位置，8=3分米，CB=6分米，AD=AB,BC1AD,所以在Rt^ACB中，彳爐=

AC1-}Bd,ep（JC+3）2=^C2+62,3+6/0+9=3+36,：.6AC=27,AC=4.5,所以這

里的水深為4.5分米.

【例3】在數(shù)軸上作出表示4萬的點.

解：以我為長的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸

上畫出表示我的點，如下圖：

師生行為：

由學生獨立思考完成，教師巡視指導.

此活動中，教師應教學重點關注以卜兩個方面：

①學生能否積極主動地思考問題；

②能否找到斜邊為行，另外兩條直角邊為整數(shù)的直角三角形.

三、課堂小結

1.進一步鞏固、掌握并熟練運用勾股定理解決直角三角形問題.

2-.你對本節(jié)內容有哪些認識？會利用勾股定理得到?些無理數(shù)，并理解數(shù)軸上的點與實

數(shù)對應.

敦亨反思

本節(jié)課的教學中，在培養(yǎng)邏輯推理的能力方面，做了認真的考慮和精心的設計，把推理

證明作為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續(xù)，注重數(shù)學與生活的聯(lián)系，從學生的認

知規(guī)律和接受水平出發(fā)，這些理念貫徹到課堂教學當中，很好地激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，

培養(yǎng)了學生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力.

17.2勾股定理的逆定理

第1課時勾股定理的逆定理（1）

敦與目標：?<

1.掌握直角三角形的判別條件.

2.熟記一些勾股數(shù).

3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法.

重占難（5

教學重點

探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關概念及關系.

教學難點

歸納猜想出命題2的結論.

敦與設i+

一、復習導入

活動探究

（1）總結直角三角形有哪些性質；

（2）一個三角形滿足什么條件時才能是直角三角形？

生：直角三角形有如式性質：（1）有一個角是直角；（2）兩個銳角互余；（3）兩直角邊的平方

和等于斜邊的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半.

師：那么一個三角形滿足什么條件時，才能是直角三角形呢？

生1：如果三角形有一個內角是90。，那么這個三角形就為直角三角形.

±2；如果一個三角形，有兩個角的和是90°，那么這個三角形也是宜角三角形.

師：前面我們剛學習了勾股定理，知道一個直角三隹形的兩直角邊。"與斜邊c具有一

定的數(shù)量關系即/+//=/,我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關系來判定它是否為

直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？

問題：據說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3

個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.

這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長分別為3,4,5,有下面的關系：32+42

=52,那么圍成的三角形是直角三角形.

畫畫看,如果三角形的三邊長分別為2.5cm,6cm,6.5cm,有下面的關系:2.52+62=

6.52,畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為,7.5，8.5cm，再試一試.

生1：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第1個結到笫4個結是3個單位長度即4。=3；同理8C=

4,46—5.囚為32+42-52,所以我們圍成的三角形是直帝三角形.

生2：如果三角形的三邊長分別是2.5cm,6，6.5cm.我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角

形,經過測量后,發(fā)現(xiàn)6.5cm的邊所對的角是直角,并且2.52+62=6.52.

再換成三邊長分別為4cm,7.5cm,8.5cm的三角形,可以發(fā)現(xiàn)8.5cm的邊所對的角是

直角,且有42+7.52=8.52.

師：很好！我們通過實際操作，猜想結論.

命題2如果三角形的三邊長。，b，。滿足。2+戶=02，那么這個三角形是直角三半形.

再看下面的命題：

命題1如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

它們的題設和結論各有何關系？

師：我們可以看到命題2與命題1的題設、結論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫

做互逆命題.如果把其中的一個叫做原命題，那么另一人叫做它的逆命題.例如把命題1當

成原命題，那么命題2是命題1的逆命題.

二、例題講解

【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

(1)同旁內角互補，兩條直線平行；

(2)如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等；

(3)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；

(4)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

分析：(1)每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設和結論調換即可，但要分清題設

和結論，并注意語言的運用；

(2)理順它們之間的關系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真

一假，還可能都假.

解略.

三、鞏固練習

教材第33頁練習第2題.

四、課堂小結

師：通過這節(jié)課的學習，你對本節(jié)內容有哪些認識？

學生發(fā)言，教師點評.

敦亨反思:?<

本節(jié)課的教學設計中，將教學內容精簡化，實行分層教學.根據學生原有的認知結構，

讓學生更好地體會分割的思想.設計的題型前后呼應，使知識有序推進，有助于學生理解和

掌握；讓學生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學生探究新知的興趣，感受探索、

合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗，真正體現(xiàn)學生是學習的主人.將目標分層后，滿足不

同層次學生的做題要求，達到鞏固課堂知識的目的.

第2課時勾股定理的逆定理(2)

敦與目標:?<

1.理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法.

2.理解逆定理、互逆定理的概念.

事占難占:?<

教學重點

勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念.

教學難點

理解互逆定理的概念.

敦亨設計:?<

一、復習導入

師：我們學過的勾股定理的內容是什么？

生：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c，那么/+星=°2.

師：根據上節(jié)課學過的內容，我們得到了勾股定理逆命題的內容：如果三角形的三邊長

a,b,c滿足。2+/=。2,那么這個三角形是直角三角形.

師：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何

證明呢？

師生行為：

讓學生試著尋找解題思路，教師可引導學生理清證明的思路.

師：△48C的三邊長。,b，。滿足『+62=02如果△/BC是直角三角形，它應與直角邊

是。，6的直角三角形全等，實際情況是這樣嗎？

我們畫一個直角三角形4方（7,使*。=。,A'C=b,ZCZ=90°（如圖），把畫好的

△49。剪下，放在。上,它們重合嗎？

生：我們所畫的用△/'夕C,（49）2=/+//,又因為c2=a2+b2所以（4，8）2=。2,

即』'B'=c.

△48c和夕C三邊對應相等，所以兩個三角形全等，ZC=ZC,=90°，所以△力8c

為直角三角形.

即命題2是正確的.

師：很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個定理.由于命題1證明

正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的

逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理.

師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？

生：不一定，如命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是

對頂角”不成立.

師；你還能舉出類似的例子嗎？

生：例如原命題：如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值也相等.

逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等.

顯然原命題成立，而逆命題不一定成立.

二、新課教授

【例1】教材第32頁例1

【例2】教材第33頁例2

【例31一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個零件中NA和/O8C都應為直角.工人

師傅量出了這個零件各邊的尺寸，那么這個零件符合要求嗎？

分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子.

解：在4ABD中，AB2-\-AD2=9+\6=25=BD2,所以△48。是直角三角形，N4是直

角.

在△BCQ中用oN+AC^ZS+lMnlGguduCO?,所以△ACO是直角三角形，/DBC

是直角.

因此這個零件符合要求.

三、鞏固練習

1.小強在操場上向東走80m后,又走了60m,再走100m回到原地.小強在操場上向

東走了80m后，又走60m的方向是.

【答案】向正南或正二匕

2.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩觸巡邏艇立

即從相距13海里的A,B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C地將其攔截.已知甲巡邏

艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°,求甲巡邏艇的

航向.

【答案】解：由題意可知:^C=120X6X^=12,5C=50X6X^=5,122+52=132.

又48=13,：,AC1-^BC2=AB2,???△48C是直角三角形，且N/C8=90°,ZCAB=40°,

航向為北偏東50°.

四、課堂小結

1.同學們對本節(jié)的內容有哪些認識？

2.勾股定理的逆定理及其應用，熟記幾組勾股數(shù).

本節(jié)課我采用以學生為主體，叫導發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學設計，符合學生的認知規(guī)律和

認知水平，最大限度地調動了學生學習的積極性，有利于培養(yǎng)學生動手、觀察、分析、猜想、

驗證、推理的能力，切實使學生在獲取知識的過程中得到能力的培

第十八章平行四邊形

18.1平行四邊形

18.1.1平行四邊形的性質

第1課時平行四邊形的性質(1)

敦與目標

理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對邊、對角相等的性質.

重占難占

教學重點

平行四邊形的定義，平行四邊形對角、對邊相等的性質以及性質的應用.

教學難點

運用平行四邊形的性質進行有關的論證和計算.

一、復習導入

1.師：我們一起來觀察下圖中的竹籬笆格子和汽車的防護鏈，想一想它們是什么幾何圖

形的形象.

生：平行四邊形.

師：平行四邊形是我們常見的圖形，你還能舉出平行四邊形在生活中應用的例子嗎？

生：自動伸縮門、掛衣服的簡易衣鉤等.

師：你能總結出平行四邊形的定義嗎？(小組討論，教師總結)

(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)表示：平行四邊形用符號“口”來表示.

如圖，在四邊形48Q)中，力8〃。。，/。〃8。，那么四邊形48。。是平行四邊形.平行

四邊形48C。記作“。居8”，讀作“平行四邊形NBCZT.

①???,4"〃￡>C,/力〃2C,??.四邊形ABCD是平行四邊形(判定)；

②???四邊形/18C。是平行四邊形、："B//DC,力。"4。(性質).

2.探究.

師：平行四邊形是?種特殊的四邊形，它除了具有四邊形的性質和兩組對邊分別平行的

性質外，還有什么特殊的性質呢？我們一起來探究一下.

(1)由定義知道，平行四邊形的對邊平行.根據平行線的性質可知，在平行四邊形中，相

鄰的角互為補角.

(2)猜想平行四邊形的對邊相等、對角相等.

卜面證明這個結論的正確性.

如圖，已知:°ABCD.

求證：AB=CD,CB=AD,N8=N。，ZBAD=ZBCD.

分析：作四邊形ABCD的對角線AC,它將平行四邊形分成和△CD4,證明這兩

個三角形全等即可得到結論.

證明：連接4C,

?：AB//CD,AD//BC,.\Z1=Z3,Z2=Z4.

又AC=CA,：."BC"4CDA(ASA).

：.AB=CD,CB=AD,NB=ND.

由上面的證明可知：

Z1=Z3,N2=N4,

AZ1+Z4=Z2+Z3,