1．（2022秋?射洪市期末）【問題背景】同學們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關系．（1）如圖1，，為，之間一點，連接，，得到．試探究與、之間的數(shù)量關系，并說明理由．（2）【類比探究】請你利用上述“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，已知，，點在上，，請你說明；（把下面的解答補充完整）解：因為所以因為又因為所以即所以由（1）知（3）【拓展延伸】如圖3，平分，平分，．若，請直接寫出的度數(shù)為．【解答】解：（1）．理由：過點作．，．，．，．（2）解：因為，所以（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．因為（平角的定義），又因為，所以（等角的補角相等），即．所以．由（1）知，．故答案為：，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；平角的定義；，；等角的補角相等；（3）平分，平分，，．，由（1）知，即．，，即．．，，即．．．故答案為：．2．（2023春?東西湖區(qū)期中）如圖，直線，點在直線上，點在直線上，點在直線，之間．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若平分，平分，的反向延長線與交于點，求證；（3）如圖3，在（2）的條件下，若平分，，當時，．（直接寫出結果）【解答】解：（1）如圖，過點作．，，，，，，．（2）由（1）可知，．，．又平分，平分，，，．設與交于點，，，．，，即．，，，，．（3）若，則有．平分，，．由（2）可知，，．故答案為：．3．（2023春?德城區(qū)期末）已知，平分交射線于點，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點是射線上一點，過點作交射線于點，點是上一點，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，點為延長線上一點，平分交于點，若平分，，，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：平分，，，，；（2）證明：過點作，，，，，，，，；（3）解：設，平分，，，，，，，，由（2）得：，，平分，，，，，，，解得：，，的度數(shù)為．4．（2022秋?敘州區(qū)期末）幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”．（1）導入：如圖①，已知，如果，，那么60；（2）發(fā)現(xiàn)：如圖②，已知，請判斷與，之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）運用：如圖③，已知，，點、分別在、上，，如果，那么；如圖④，已知，點、分別在、上，、分別平分和．如果，那么；如圖⑤，已知，點、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么．（用含的代數(shù)式表示）【解答】解：（1），，．．故答案為：60．（2）理由：過點作．，，．．（3），由（2）的結論可得．，，．，．，．故答案為：60．，由（2）的結論可得，．、分別平分和，，．．．，．．故答案為：128．、分別平分和，，．，由（1）知．，，即．，．，即．．，．故答案為：．5．（2023春?上杭縣期末）點在射線上，點、為射線上兩個動點，滿足，，平分．（1）如圖1，當點在右側時，求證：；（2）如圖2，當點在左側時，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為延長線上一點，平分，交于點，平分，交于點，連接，若與互余，，求的度數(shù)．【解答】證明：（1）平分，，又，，，，，．．（2）如圖，過點作，交于點，同（1）的證明方法可得：，，，．，．（3）平分，設，平分，，，平分，，，，，，，，，，與互余，，，，，．6．（2023春?新洲區(qū)期末）如圖，已知，，分別是直線，上的一點，點在直線，之間，，．（1）直接寫出的度數(shù)為或（用含、的式子表示）；（2）如圖，若平分，平分，直線與直線相交于點，當時，求的度數(shù)；（3）如圖，若，將繞點以秒的速度逆時針旋轉，繞點以秒的速度逆時針旋轉，當旋轉了時，兩者同時停止，則在整個轉動過程中，秒時，．【解答】解；（1）作，，，，①如圖一，，，；②如圖二，，，．故答案為：或．（2）平分，平分，，，，，，，．（3）當點和點旋轉到如圖三所示的位置時，，設與的交點為點，根據(jù)題意，，，，，，，，解得；當點和點旋轉到如圖四所示的位置時，，設與的交點為點，根據(jù)題意，，，，，，，，解得．綜上，或．7．（2023春?寶安區(qū)校級期中）已知，點在直線、之間，連接、．（1）探究發(fā)現(xiàn)：探究，，之間的關系．如圖1，過作，兩條直線平行，內(nèi)錯角相等（已知）；（2）解決問題：①如圖2，延長至點，作的角平分線和的角平分線的反向延長線交于點，試判斷與的數(shù)量關系并說明理由；②如圖3，若，分別作，，、分別平分，，則的度數(shù)為（直接寫出結果）．【解答】解：（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，過作，（兩條直線平行，內(nèi)錯角相等），（已知），（平行公理的推論），，；故答案為：兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；平行公理的推論；；；（2）問題解決①：．理由：如圖2，平分，平分，，，過作，，，，，由（1）得：，又，，；②、分別平分，，，，，，過點作，如圖3，，，，由（1）得，，．8．（2023春?雷州市校級期中）已知，直線分別與直線、相交于點、，并且．（1）如圖1，求證：．（2）如圖2，點在直線、之間，連接、，當，時，求的度數(shù)．（3）只保持（2）中所求的度數(shù)不變，如圖3，是的平分線，是的平分線，作，則的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生改變，請求出它的度數(shù)．若發(fā)生改變，請說明理由．（本題中的角均為大于且小于的角）【解答】（1）證明：，，，．（2）解：，，即，，，，，．（3）解：的度數(shù)不發(fā)生改變，理由如下，由（2）得，，，、分別平分和，，，，，，，．9．（2022秋?道里區(qū)校級月考）已知，點在上，的兩邊與相交于點，與相交于點，平分．如圖1，若，，的數(shù)量關系為．（2）如圖2，在（1）的條件下，若，，求證；（3）點、分別在點、的下方，若，，請在備用圖中畫出相應的圖形，并求出的度數(shù)．【解答】（1）解：．理由：如圖1，平分，，，，，故答案為：．（2）證明：如圖2，，，，平分，，，，，，，，，，與都相交于直線上的點，并且在同一平面內(nèi)，，（3）解：所畫圖形如圖3、圖4所示，設，在圖3中，，，平分，，，，，，，，，解得：，；在圖4中，，，，平分，，，，，，，，，，解得：，；綜上所述，的度數(shù)為或．10．（2022春?源城區(qū)校級期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關系（1）已知平行于，如圖，當點在、外部時，即，為什么？請說明理由．如圖，將點移動到、內(nèi)部，以上結論是否仍然成立？若不成立，則、、之間有何數(shù)量關系？請說明結論；（2）在圖中，將直線繞點逆時針方向旋轉一定角度交直線于點，如圖，則、、、之間有何數(shù)量關系？（不需證明）（3）根據(jù)（2）的結論求圖中的度數(shù)．【解答】解：（1）①，，，，即：，②不成立，結論：，理由：如圖，過點作，，，，，，；（2）結論：，理由：如圖，連接并延長，是的外角，，同理：，；（3）如圖，是的外角，，同理：，．11．（2023春?宜都市期中）已知，直線，點、分別在直線、上，點是直線與外一點，連接、．（1）如圖1，若，，求的度數(shù)；（2）如圖2，過點作的角平分線交的延長線于點，的角平分線交的反向延長線交于點，若與互補，試探索直線與直線的位置關系，并說明理由；（3）若點在直線的上方且不在直線上，作的角平分線交的角平分線所在直線于點，請直接寫出與的數(shù)量關系．【解答】解：（1）如圖，過作，，，，，．故；（2），如圖，理由：平分，平分，，，由（1）得，，，，由三角形外角的性質(zhì)可得，，與互補，，整理得，，；（3）①．如圖，，，，平分，平分，，，由外角的性質(zhì)得，，，，．②．如圖，，，由外角的性質(zhì)得，，由（1）得，，，．12．（2016春?門頭溝區(qū)期末）在一次空間與圖形的學習中，小明遇到了下面的問題：如圖1，若，點在、內(nèi)部，探究，，的關系．小明只完成了（1）的部分證明，請你根據(jù)學習《觀察猜想與證明》的學習經(jīng)驗繼續(xù)完成（1）的證明并在括號內(nèi)填入適當?shù)睦碚撘罁?jù)同時完成（2）（3）．（1）過點作．，又．（2）如圖2，若，點在、外部，，，的關系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化請寫出它們的關系，并證明；若沒有發(fā)生變化，請說明理由．（3）如圖3，將直線繞點逆時針方向旋轉一定角度交直線于點，則、、、之間有何數(shù)量關系？（直接寫出結果）【解答】解：（1）如圖1，過點作．，，（平行于同一條直線的兩條直線平行），又，，（兩直線平行內(nèi)錯角相等），．（2）發(fā)生變化，應是．證明：如圖2，，，；（3）如圖3，連接，并延長到，，，．13．（2019秋?陳倉區(qū)期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．（1）如圖1，若，點在、內(nèi)部，，，求．（2）如圖2，將點移到、外部，則、、之間有何數(shù)量關系？請證明你的結論．（3）如圖3，寫出、、、之間的數(shù)量關系？（不需證明）（4）如圖4，求出的度數(shù)．【解答】解：（1）過點作，，，，，；（2）．理由如下：設與相交于點，，，在中，，．（3）如圖，連接并延長，結論：．（4）如圖，由三角形的外角性質(zhì)，，，，．14．（2023春?大冶市月考）已知在四邊形中，，點在，之間，為上一點，為上一點，平分交于點，交于點．下列結論：①，②，③．其中正確的結論共有個．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①，，，，，，平分，，，故①選項是正確的；②由①知，，，，，，，，，故②選項是正確的；③由①知，，，，故③選項是錯誤的．故選：．15．（2023春?邵陽期末）如圖1，直線，是截線上的一點．（1）若，，求；（2）如圖1，當點在線段上運動時，與的平分線交于，問是否為定值，若是定值，請求出；若不是定值，請說明理由；（3）如圖2，若是直線上且位于點的上方的一點，如圖所示，當點在射線上運動時，與的平分線交于，問的值是否和（2）問中的情況一樣呢？請你寫出探究過程，說明理由．【解答】解：（1），，，，，的度數(shù)為；（2）是定值，理由：過點作，，，，，，，同理可得：，平分，平分，，，，；（3）是定值，理由：過點作，，，，，，，同理可得：，平分，平分，，，，．16．（2023春?孝南區(qū)期末）課題學習平行線的“等角轉化”功能．【閱讀理解如圖1，已知點是外一點，連接，，求的度數(shù)．（1）閱讀并補充下面推理過程．解：過點作，所以，，又因為，所以．解題反思從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將，，“湊”在一起，得到角的關系，使問題得到解決．方法運用（2）如圖2，已知，求的度數(shù)；深化拓展（3）已知，點在的右側，，平分，平分，，所在的直線交于點，點在與兩條平行線之間．①如圖3，若，則．②如圖4，點在點的右側，若，則（用含的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）解：過點作，所以，，又因為，所以，故答案為：；；（2）過點作，，，，，，的度數(shù)為；（3）①過點作，，，，，，平分，平分，，，，故答案為：65；②過點作，平分，平分，，，，，，，，，故答案為：．17．（2023春?荊門期末）如圖1，已知，連接和交于點．（1）求證：；（2）如圖2，點，分別在線段，上，且，，且．①若，求的度數(shù)；②當2時，為定值，此時定值為．【解答】（1）證明：過點作，，，，，，；（2）①解：設，，，，，，，，由（1）可得：，，，，是的一個外角，，是的一個外角，，，，，，即，解得：，，的度數(shù)為；②由①可得：，，由①可得：，，，，，為定值，，，，當時，為定值，此時定值為，故答案為：2；．18．（2023春?蓬萊區(qū)期末）已知，在，內(nèi)有一條折線．（1）如圖①，過點作，試說明；（2）如圖②，已知的平分線與的平分線相交于點，運用（1）中結論探究與的數(shù)量關系，并說明理由．【拓展應用】如圖②，若，，，則的度數(shù)為（用含，的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1），，，，，，；（2），理由：由（1）可得：，，平分，平分，，，，，即．【拓展應用】由（1）可得：，，，，，，，故答案為：．19．（2023春?江津區(qū)期末）如圖，，點是直線上一點，點是平行線、內(nèi)部一點，連接、．（1）如圖1，當，，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，與相交于點，求證：；（3）如圖3，平分，平分，過點作，請直接寫出與的數(shù)量關系．【解答】解：如圖（1）所示：過點作，，，，，，，；（2）如圖（2）所示：由（1）得：，同理：，平分，平分，，，；（3）如圖（3）所示：作的角平分線交于點，，平分，，，，