物理總復習：帶電粒子在磁場中的運動

編稿：李傳安審稿：

【考綱要求】

L知道洛倫茲力的特點,會計算其大小并用左手定則確定其方向；

2、掌握帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動的半徑周期公式，知道常見的分析

方法；

3、知道帶電粒子在有界磁場中運動的多解情況、臨界值與極值問題的處

理方法，會熟練求解相關問題。

【考點梳理】

考點、帶電粒子在磁場中的運動

兩類典型的綜合問題

要點詮釋：

1、帶電粒子在有界磁場中運動的極值問題，注意下列結論，再借助數學方法分

析

(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在滋場中運動的軌跡與邊界相切。

(2)當速度v一定時，弧長(或弦長)越長，圓周角越大，則帶電粒子在

有界磁場中運動的時間越長。

(3)當速率v變化時，圓周角越大的,運動時間越長。

2、帶電粒子在磁場中的運動的多解問題

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由于多種因素的影響，使問題

形成多解，多解形成原因一般包含下述幾個方面.

(1)帶電粒子電性不確定形成多解

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負電荷，在相同的初

速度的條件下，正負粒子在磁場中運動軌跡不同，導致形成雙解。

(2)磁場方向不確定形成多解

有些題目只告訴了磁感應強度的大小，而未具體指出磁感應強度方向，比時

必須要考慮磁感應強度方向不確定而形成的多解c

(3)臨界狀態不唯一形成多解

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時,由于粒子運動軌跡是圓弧狀，

因此_____3可能轉過180。從入射界面這邊反向飛出，如圖所示,

XXXX

(4)運動的往復性形成多解

帶電粒子在部分是電場,部分是磁場空間運動時，往往運動具有往復性，因

而形成多解。

【典型例題】

類型一、帶電粒子在磁場中的運動的基礎知識

的WZDCR7上由A七占汽直于紙面的勻強磁場,有5

度

西

粒子電荷量(q>

質小

大

編號量0)、磁場，在紙面內做勻速圓周

1m2qV

22m2q2V荷量以及速度大小如卜表所

33m-3q3V

42m2q3y

52m-qV

由以上信息可知，從圖中a、b、c處進大的粒子對應表中的編號分別為()

A.3、5、4B.4、2、5

C.5、3、2D.2、4、5

【思路點撥】洛倫茲力的方向、帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡、半徑

的大小。

【答案】D

【解析】根據半徑公式廠=誓結合表格中數據可求得1—5各組粒子的半徑之比

Bq

依次為

0.5：2：3：3：2，說明第一組正粒子的半徑最小，該粒子從MQ邊界進入滋場

逆時針運動。由圖a、b粒子進入磁場也是逆時針運動，則都為正電荷，而且a、

b粒子的半徑比為2:3,則a一定是第2組粒子，b是第4組粒子。c順時針

運動，為負電荷，半徑與a相等是第5組粒子。正確答案D。

【總結升華】本題考察的是基礎知識，判斷洛倫茲力的方向、帶電粒子在磁場中

做勻速圓周運動的軌跡、半徑的大小都是基本要求，綜合在一起，體現了對能力

的最基本要求。

舉一反三

【高清課堂：磁場對運動電荷的作用例4】

【變式1】電子（?e,m）從A點沿AB方向進入磁場，它恰能從C點出射.

（Ae一~>............心？子在場中運動的時間。設磁感應強度為B,方向

?xxxx!

垂:;

IXXXX[

AE；XXXX!

D'............................c

【答案】（1…嘿⑵甘皿哼

【變式2】如圖所示，在勻強磁場中附加另一勻強磁場，附加磁場位于圖中陰影

區一一與SS'垂直。a、b、c三個質子先后從S點沿

附加磁場區域.0

垂的速度大小相等，b的速度方向與SS'垂直,

a、司的夾角分別為a、P，且三個質子經

過',則下列說法中正確的有（）

A.三個質子從S運動到S'的時間相等

B.三個質子在附加磁場以外區域運動時，運動軌跡的圓心均在00'軸上

C.若撤去附加磁場，a到達SS'連線上的位置距S點最近

D.附加磁場方向與原磁場方向相同

【答案】CD

【解析】A.三個質子從S運動到S，的時間不相等，A錯誤；

B.三個質子在附加磁場以外區域運動時，只有b運動軌跡的圓心在00'軸上,

因為半徑相等，而圓心在初速度方向的垂線上，所以B錯誤；

(2)粒子P在時刻開始運動,在匕孑到時間內，沿順時針方向運

IT

動;個圓周,到達C點，此時磁場方向反轉；繼而，在t=:到t=T時間內,沿

逆時針方向運動半個圓周，到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到七,

時間內，沿順時針方向運動!個圓周，到達A點，如圖(b)所示，由幾何關

4

系可知，A點在v軸上，即0A與x軸的夾角

號⑤

(3)若在任意時刻”『。(()</。<；)粒子P開始運動,在到t=，時間內，

沿順時針方向做圓周運動到達c點，圓心0'位于x軸上，圓弧。。對應的圓心

角為

"(/C哼(5)⑥

.T

此時磁場方向反轉；繼而，在t=；到t=T時間內，沿逆時針方向運動半個圓周,

到達B點，此時磁場方向再次反轉；在t=T到t=7+/。時間內，沿順時針方向做

圓周運動到達A點，設圓0”，圓弧B4對應的圓心角為N80〃A=72⑦

如圖?所示,由幾何關系可知，C、B均在。O”連線上,且OA〃O@〃⑧

若要0A與X軸成￡角，則有ZOOrC=當⑨，

4T4

聯立⑥⑨式可得力=￡⑩

O

【總結升華】根據交變磁場的變化規律，正確畫出軌跡圖是解題的關鍵。

舉一反三

【變式】如圖所示是某裝置的垂直截面圖，虛線A1A2是垂直截面與磁場區邊界

面的交線，勻強磁場分布在A1A2的右側區域，磁感應強度B=0.4T,方向垂直

紙面向外，A1A2與垂直截面上的水平線夾角為45。。在A1A2左側，固定的薄板

和等大的擋板均水平放置，它們與垂直截面交線分別為Si、S2,相距L=0.2m.o

在薄板上P處開一個小孔，P與A1A2線上點D的水平距離為L。在小孔處裝一

個電子快門。起初快門開啟，一旦有帶正電微粒剛通過小孔，快門立即關閉。此

3

后每隔T=3.0X10-5開啟一次并瞬間關閉。從SiS2之間的某一位置水平發射一

速度為之的帶電微粒，它經過磁場區域后入射到P處小孔。通過小孔的微粒與

擋板發生碰撞而反彈，反彈速度大小是碰前的0.5倍。

’.孔射出的微粒，其初速度+應為多少？

:忖入磁場到第二次離開磁場的時間。(忽略微粒所受

?移。已知微粒的荷質比幺E.OxUc/依。只考慮

?m

”2.8x10-2$

日微粒在S1S2之間任意點Q以水平速度vo進入

,在磁場中做圓周運動的半徑為r,有：f=qv0B

/=這②由①②得：廠=*

rqB

欲使微粒能進入小孔，半徑r的取值范圍為：L<rv2L③

代入數據得：8Om/s<vo<16Om/s

欲使進入小孔的微粒與擋板一次相碰返回后能通過小孔，還必須滿足條件：

工+春=”其中n=123，……④

%0.5v0

由①②③④可知，只有n=2滿足條件,即有：vo=100m/s⑤

(2)設微粒在磁場中做圓周運動的周期為To,從水平進入磁場到第二次離開

磁場的總時間為t,設tl、t4分別為帶電微粒第一次、第二次在磁場中運動的時

間，第一次離開磁場運動到擋板的時間為t2,碰撞后再返回磁場的時間為t3,運

動軌跡如圖所示,則有：

7；=—?r,=^?r2=—?

比41%

&=臺⑨、=;⑩(弦切角=45°,圓心角二90。)

().5%4

f=4+/+‘3+/=2.8x10-2(s)(n)

類型三、帶電粒子在磁場中運動的多解問題

0口可1吧題干藝間某平面內有一條折線是磁場的分界線，在折線的兩側

分：：8；：：：：：：3垂直的勻強磁場，磁感應強度大小都為B。折線的頂角

A

XXXXXzxXXXXX

z/xxxx/.\xxxx上的兩點，AP=AQ=L0現有一質量為m、電荷量為q

的、予7丁丁丁工了，）Q方向射出，不計微粒的重力。求：

**8.......................................

（1）若在P、Q間加一與磁場方向垂直的勻強電場,能使速度為vo射出的微

粒沿PQ直線運動到Q點,則場強為多大？

（2）撤去電場,為使微粒從P點射出后,途經折線的頂點A而到達Q點,

求初速度v應滿足什么條件？

（3）求第（2）問中微粒從P點到達Q點所用的時間。

【思路點撥】（2）根據運動的對稱性，分析出微粒能從P點到達Q點，應滿

足條件。畫出草圖，確定參數，圓心角、半徑等，最后求出速度。

【答案】見解析。

【解析】（1）由電場力與洛倫茲力平衡通=4%星得E=\\}B

（2）根據運動的對稱性“辭粒能從P點到達Q點，應滿足￡=心

、”而跣/的弦長，偏轉圓弧對應的圓心角為￡或巨。

XXx\x/xXXx\

xxx\阱7XX）可得氏二匕

XXX/?/?VxcX〃A-

潺V=。〃=123、-

?/,...........\敦時，微粒從P到Q過程中圓心角的總和為

*&*

八71371c

a1=〃?C一+〃—C=2〃)

2n兀2九7九Irrmn

,其中〃=1、3、5、…

X.Dx.D

當n取偶數時，微粒從P到Q過程中圓心角的總和為

儀八=n--萬--F〃一乃二〃4

H7T21〃？7tmn

"=-------=----,其中〃=2、4、6、…

21qBqB

【總結升華】解題的關鍵仍然是要畫出軌跡圖,要多練多想，熟能生巧，同時還

要考慮奇數次到達、偶數次到達，情況不一樣，就是多解問題了。

舉一反三

【變式1]如圖所示，平行金屬板M、N間距離為d.其上有一內壁光滑的半徑

為R的絕緣圓筒與N板相切，切點處有一小孔S.圓筒內有垂直圓筒截面方向

的勻強磁場,磁感應強度為B.電子與孔S及圓心0在同一直線上.M板內側

中點處有一質量為m,電荷量為e的靜止電子，經過M、N間電壓為U的電場

§,在圓筒壁上碰撞n次后，恰好沿原路返回到出發點.(不考慮

寸程中無動能損失)

求：⑴電子到達小孔S時的速度大小；

⑵電子第一次到達S所需要的時間；

⑶電子第一次返回出發點所需的時間.

【答案】(1)、一⑵八丁⑶”24匕+^~g—(n=l,2,3,...)

VtnVeUVeUeB----

【解析】⑴設加速后獲得的速度為V,根據,V呼

⑵設電子從M到N所需時間為ti,電子在MN間的加速度〃=「

I---ma

貝!=或彳，得「川冽

212md''\eU

⑶電子在磁場做圓周運動的周期為7；)=當

eB

目W')經過n次碰撞回到s,每段圓弧對應的圓心角

，如圖。

n次碰撞對應的總圓心角夕=(〃+1)a=(n+1)乃-2,T=(〃-1)]

在磁場內運動的時間為=9芹X筆=產

1—2乃24eBeB

楞+(n=l,2,3,…)

【變式2】一足夠長的矩形區域abed內充滿磁感應強度為B,方向垂直紙面向

里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad寬為L,現從ad中點0垂直于磁場射入

一帶電粒子,速度大小為V0,方向與ad夾角為30°,如圖所示。已知粒子的電

荷量為q，質量為m（重力不計）

M）若瞼彳第仔由日憐能從d點射出磁場，求vo的大??；

心艮據="23,則%==3^

(2)當V0最大時：/?-/?(cos60=4得Ri=L,

貝ijv="R\=q"

當Vo最小值：%+R2sm30=g得Rz=g

陛二理0

八」min…個…

所以V0的取值范圍為警＜%w繆

帶電粒子從ab邊射出磁場，當速度為Vmax時，運動時間最短,

_150_57nn

'min—八―4^.0

速度為%桁時運動時間最長：%

「?粒子運動時間t的范圍鳴父〈黑

6qB3qB

類型四、帶電粒子在有界磁場中運動的極值問題

例4、圖為可測定比荷的某裝置的簡化示意圖，在第一象限區域內有垂直

于紙面向里的勻強磁場,磁感應強度大小B=2.OxlO-3T,在y軸上距坐標原點

L=0.50m的P處為離子的入射口，在y上安放接收器，現將一帶正電荷的粒子

以v=3.5x104m/s的速率從P處射入磁場若粒子在y軸上距坐標原點L=0.50m

的M處被觀測到，且運動軌跡半徑恰好最小，設帶電粒子的質量為m,電量為q,

不計其重力。

（1）求上述粒子的比荷V；

m

(2)如果在上述粒子運動過程中的某個時刻，在第一象限內再加一個勻強電

場接收巧向做勻速直線運動，求該勻強電場的場強大小和方向，

xxxxx

并XXXXX才計時經過多長時間加這個勻強電場；

XXXXX

L乂乂XXXI按題設條件運動的上述粒子，在第一象限內的磁場可

1A/XAX/X

以XXX尸」求此矩形磁場區域的最小面積，并在圖中畫出該矩形。

o|?L—Y

入射

【思路點撥】理解"運動軌跡半徑恰好最小〃的意思是以兩點連線作為直徑,運

動軌跡半徑最小，畫出軌跡圖。理解"使其沿y軸正方向做勻速直線運動”的意

思。理解〃矩形磁場區域的最小面積〃的意思。

：/kg(5.0x1()7C/kg);(2)/=7.9xi()-6.v;(3)

中的運動半徑為ro如圖，依題意M、P連線即為該

勁的直徑，由幾何關系得〃=華①

2

由洛倫茲力提供粒子在磁場中作勻速圓周運動的向心力，可得

y

qvB-m—②

r

聯立①②并代入數據得幺=4.9xiO7C/kg(或5.0x107C/kg)③

m

(2)設所加電場的場強大小為E。如圖，當粒子經過Q點時，速度沿y軸正方

向，依題意，在此時加入沿X軸正方向的勻強電場，電場力與此時洛倫茲力平衡,

則有

qE=qvB④代入數據得E=70N/C@

所加電場的場強方向沿X軸正方向。由幾何關系可知，圓弧PQ所對應的圓心角

為45。，設帶點粒子做勻速圓周運動的周期為T,所求時間為t,則有

'=獲T⑥7=華⑦

聯立①⑥⑦并代入數據得=7.9x10-65⑧

(3)如圖，所求的最小矩形是MM/P,該區域面積S=2產⑨

聯立①⑨并代入數據得S=0.25w2矩形如圖丙中(虛線\

【總結升華】抓住關鍵詞語〃運動軌跡半徑恰好最小〃的意思是以兩點連線作為

直徑，運動軌跡半徑最小，畫出軌跡圖,這是解題的關鍵所在。“使其沿y