山西省臨汾市霍州退沙街道辦事處聯合學校2021年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】兩角和與差的正切函數．【專題】計算題；函數思想；轉化思想；三角函數的求值．【分析】化簡表達式，利用兩角和的正切函數求解即可．【解答】解：（1+tan12°）（1﹣tan147°）=（1+tan12°）（1+tan33°）=1+tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1+tan45°（1﹣tan12°tan33°）+tan12°tan33°=2．故選：B．【點評】本題考查兩角和的正切函數的應用，考查計算能力．2.“成等差數列”是“”成立的（

）A．充分非必要條件

B．必要非充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：A3.在平面直角坐標系中，若不等式組所表示的平面區域上恰有兩個點在圓（）上，則A．，

B．，

C．，

D．，參考答案：D略4.已知集合，，則A∩B=（

）A.{1,2} B.{1,4} C.{2,4} D.{3,4}參考答案：B【分析】先化簡集合，再利用交集的定義求解即可.【詳解】因為，，所以,故選B.【點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，本題實質求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.5.如圖，拋物線的一條弦AB經過焦點F，取線段OB的中點D，延長OA至點C，使，過點C，D分別作y軸的垂線，垂足分別為E，G，則|EG|的最小值為(

)．A．

B．

C．

D.4參考答案：D6.已知命題，命題.下面結論正確的是（

）A．命題“”是真命題

B.命題“”是假命題C．命題“”是真命題

D．命題“”是假命題參考答案：D略7.如圖，已知線段，當點在以原點為圓心的單位圓上運動時，點在軸上滑動，設，記為點的橫坐標關于的函數，則在上的圖像大致是參考答案：B8.已知是函數的一個零點，若，則A．

B．C．

D．參考答案：D

9.在數列中，，若，則等于A．

B．

C．

D．

參考答案：C10.設x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A.1B.C.D.參考答案：D【分析】畫出可行域，利用的幾何意義，求得的最小.【詳解】由圖知的最小值為原點到直線的距離，則最小距離為.故選D.【點睛】本小題主要考查非線性目標函數的最值的求法，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設單位向量滿足，=則．參考答案：考點：向量的模．專題：計算題．分析：根據題意和數量積的運算法則先求出，再求出．解答：解：∵，=1，=1∴==1﹣2+4=3，∴=，故答案為：．點評：本題考查了利用向量數量積的運算求出向量模，屬于基礎題．12.15．先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數分別記為a,b．將a,b,5的值分別作為三條線段的長，這三條線段能圍成等腰三角形的概率

。參考答案：略13.若（a﹣2i）i=b+i（a，b∈R），則=．參考答案：2考點：復數代數形式的乘除運算．專題：數系的擴充和復數．分析：由復數的運算和復數相等可得a和b的方程組，解方程組可得答案．解答：解：∵（a﹣2i）i=b+i，∴2+ai=b+i，∴，∴=2故答案為：2點評：本題考查復數的代數形式的乘除運算，涉及復數相等，屬基礎題．14.若關于的三元一次方程組有唯一解，則的取值的集合是-------------------

．參考答案：15.在四面體ABCD中，，則四面體體積最大時，它的外接球半徑R=

．參考答案：如圖，取AB中點E，連接CE，DE，設AB=2x（0＜x＜1），則CE=DE=，∴當平面ABC⊥平面ABD時，四面體體積最大，為V===．V′=，當x∈（0，）時，V為增函數，當x∈（，1）時，V為減函數，則當x=時，V有最大值．設△ABD的外心為G，△ABC的外心為H，分別過G、H作平面ABD、平面ABC的垂線交于O，則O為四面體ABCD的外接球的球心．在△ABD中，有sin，則cos，∴sin=．設△ABD的外接圓的半徑為r，則，即DG=r=．又DE=，∴OG=HE=GE=．∴它的外接球半徑R=OD=．

16.π為圓周率，e=2.71828為自然對數的底數．則3π，πe，3e，π3，e3，eπ這6個數中的最大值是．參考答案：考點： 指數函數的單調性與特殊點．專題： 函數的性質及應用．分析： 構造函數f（x）=，由導數性質得函數f（x）的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為（e，+∞）．由e＜3＜π，得ln＜ln，ln＜ln．從而＜＜，＜＜，由函數f（x）=的單調性質，得f（π）＜f（3）＜f（e），由此能求出，，，，，這6個數中的最大值．解答： 解：函數f（x）=的定義域為（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，當f′（x）＞0，即0＜x＜e時，函數f（x）單調遞增；當f′（x）＜0，即x＞e時，函數f（x）單調遞減．故函數f（x）的單調遞增區間為（0，e），單調遞減區間為（e，+∞）．∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln＜ln，ln＜ln．于是根據函數y=lnx，y=ex，y=πx在定義域上單調遞增，可得＜＜，＜＜，故這六個數的最大數在π3與3π之中，由e＜3＜π及函數f（x）=的單調性質，得f（π）＜f（3）＜f（e），即＜＜，由＜，得ln＜ln，∴＞，，，，，，這6個數中的最大值是．故答案為：3π．點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及其應用、數值的大小比較，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，難度較大．17.已知為復數，為實數，，且,則=

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知圓C：，直線l1過定點A(1，0).（1）若l1與圓C相切，求l1的方程；

（2）若l1與圓C相交于P、Q兩點，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時直線l1的方程.參考答案：解：(Ⅰ)①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.

②若直線l1斜率存在，設直線l1的方程為，即．

由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得.

所求直線l1的方程是或.

（Ⅱ）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設直線方程為，

則圓心到直線l1的距離

又∵△CPQ的面積

＝

∴

當d＝時，S取得最大值2.

∴＝

∴k＝1或k＝7

所求直線l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.19.已知函數．

（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式對任意實數恒成立，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）當時，即，當時，得，即，所以；當時，得成立，所以；當時，得，即，所以.故不等式的解集為.（Ⅱ）因為，由題意得，則或，解得或,

故的取值范圍是.略20.對于數列A：a1，a2，…，an，若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數列A為“0﹣1數列”．若存在一個正整數k（2≤k≤n﹣1），若數列{an}中存在連續的k項和該數列中另一個連續的k項恰好按次序對應相等，則稱數列{an}是“k階可重復數列”，例如數列A：0，1，1，0，1，1，0．因為a1，a2，a3，a4與a4，a5，a6，a7按次序對應相等，所以數列{an}是“4階可重復數列”．（Ⅰ）分別判斷下列數列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5階可重復數列”？如果是，請寫出重復的這5項；（Ⅱ）若項數為m的數列A一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是多少？說明理由；（III）假設數列A不是“5階可重復數列”，若在其最后一項am后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，且a4=1，求數列{an}的最后一項am的值．參考答案：【考點】數列的應用．【分析】（Ⅰ）是“5階可重復數列”．（Ⅱ）因為數列{an}的每一項只可以是0或1，所以連續3項共有23=8種不同的情形．分類討論：若m=11，則數列{an}中有9組連續3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為11的數列{an}一定是“3階可重復數列”；則3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復數列”的數列{an}．（III）由于數列{an}在其最后一項am后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列{an}的末項am后再添加一項0或1，則存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，0按次序對應相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，1按次序對應相等，經過分析可得：am=a4．【解答】解：（Ⅰ）是“5階可重復數列”，10101．…．（Ⅱ）因為數列{an}的每一項只可以是0或1，所以連續3項共有23=8種不同的情形．若m=11，則數列{an}中有9組連續3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為11的數列{an}一定是“3階可重復數列”；若m=10，數列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復數列”；則3≤m＜10時，均存在不是“3階可重復數列”的數列{an}．所以，要使數列{an}一定是“3階可重復數列”，則m的最小值是11．…．（III）由于數列{an}在其最后一項am后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列{an}的末項am后再添加一項0或1，則存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，0按次序對應相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，1按次序對應相等，如果a1，a2，a3，a4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am不能按次序對應相等，那么必有2≤i，j≤m﹣4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序對應相等．此時考慮ai﹣1，aj﹣1和am﹣4，其中必有兩個相同，這就導致數列{an}中有兩個連續的五項恰按次序對應相等，從而數列{an}是“5階可重復數列”，這和題設中數列{an}不是“5階可重復數列”矛盾！所以a1，a2，a3，a4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am按次序對應相等，從而am=a4=1．…．21.已知函數f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的遞減區間．參考答案：考點：三角函數中的恒等變換應用．專題：三角函數的圖像與性質．分析：（1）首先利用三角關系式的恒等變換變形成正弦型函數，進一步求出函數的值．（2）根據（1）的結論，利用整體思想求單調區間．解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=所以：+2=（2）令：（k∈Z）（k∈Z）所以f（x）的單調減區間是點評：本題考查的知識要點：三角關系式的恒等變換變形成正弦型函數，進一步求出函數的值，利用整體思想求單調區間．22.

函數g(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)，在其圖象