第11章?tīng)顟B(tài)變量反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)

基礎(chǔ)練習(xí)題

E11.1能夠用彈性單足支架跑、跳的裝置如圖E11.1所示，平衡能力是該裝置機(jī)動(dòng)性能的關(guān)

「一101

鍵要素。裝置的姿態(tài)由陀螺儀及其反饋控制，反饋控制信號(hào)為〃=其中K二八?

0-2k

系統(tǒng)的狀態(tài)變量模型為=+其中，A=：：,8=/試確定女的取值,

使校正后系統(tǒng)的跳躍響應(yīng)是臨界阻尼的。

Y=74*+Hu,0

【解析】給定系統(tǒng)如下一，其中A=

u-Kx-1

—k1

由于〃=依，則工=?x，特征方程為

-I-2k

s+k-1

det[siA]=det=s2i3ksI2k2=s2I2GqsI黨=0

s+2k

則d=2F+i,G=I,解得女=2。

■（）iir（）-

E1L2磁懸浮鋼球的線性化運(yùn)動(dòng)方程為x=90x+]〃其中，狀態(tài)變量再表示鋼球的

位置，當(dāng)表示鋼球的速度，而且它們都是可以測(cè)量的。該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制信號(hào)取為

〃二一〃百一區(qū)工2+廠其中，廠為參考輸入，&和心為待定增益系數(shù)。試選擇占和占合適的

取值，使校正后的系統(tǒng)響應(yīng)是臨界阻尼的，且調(diào)節(jié)時(shí)間為4s（按2%準(zhǔn)則）。

,,「011「0一

【解析】令〃=一火再一％田+一，貝ljx=八，x+r，

9一攵]-k2J\_\

del[sl—A]=/+&s+占-9=0,若使；=1,則期望的特征方程為乩（s）=（s+q））2,

其中「是為了滿(mǎn)足]=匕。

04,k2=2c0,=4+9

求解不?）對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)，有xQ）=i—e-3—//一當(dāng)/27；=4s時(shí)

（）。在/=[時(shí)解得

X/N0.984=1.459,=11.13,k2=2.920

010

X4-U

E11.3某系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為0-3Lu試判斷該系統(tǒng)是否能控和能觀。

y=[02]x

I0

【解析】能控性矩陣為P,=[rBAB]=],detP.0,因此系統(tǒng)是能控的。能觀性

Cl_ro2'

矩陣為P=CA_|-|_0-6,detP,=0,因此系統(tǒng)是不能觀的。

-1000

x=X+2_r試判斷該系統(tǒng)是否能控和能觀。

E11.4某系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為0-2

），=[10]x

00

【解析】能控性矩陣為P，=[BAB]=,detP=0,因此系統(tǒng)是不是完全能控的。

2-4

C10

能觀性矩陣為匕=detP=0,因比系統(tǒng)是不能觀的。

CA-100p

0

X+IJ

E11.5某系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為-1試判斷該系統(tǒng)是否能控和能雙。

），=[10]x

-2

【解析】能控性矩陣為P”[BAB]=,detP=-1^0,因此系統(tǒng)是能控的。

3

C10

能觀性矩陣為匕=1，detP'=1*0,因此系統(tǒng)是能觀的。

CA0

010

X+U武判斷該系統(tǒng)是否能控和能觀C

E11.6某系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為-1-2

y=[10]x

01

【解析】能控性矩陣為P,=[BAB]=,detP,w(),因此系統(tǒng)是能控的。能觀性

I-2

C10

矩陣為P〃=I,detP=1^0.因此系統(tǒng)是能觀的。

CA0

x=Ar+Bu010

印某系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為廣&+?'其中''二,B=

-3-512

C=[2-2],。=[0]試?yán)L制系統(tǒng)的框圖模型。

【解析】系統(tǒng)框圖如下：

2

丫⑸

0

x=0

E11.8某三階系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為試?yán)L制系統(tǒng)的框圖模型。

-9

y=[28

【解析】系統(tǒng)框圖如圖所示。

U3丫⑸

x=X+U

EU.9某二階系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為試確定K和h的取值范圍，使

y=[iO].v+[O]w

系統(tǒng)是完全能控的。

氏k「k?

【解析】能控性矩陣為吟=[BAB]=,delP,=—代+后，因此完全能控

k、+k、

的條件為6工代。

EU.10某系統(tǒng)的框圖模型如圖E11.10所示,試確定該系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。狀態(tài)空間模型

x=Ax+Bu

的一般形式如下所示“Cx3

C20

統(tǒng)是能控的。能觀性矩陣為P,=CA12,detP,=-290,因此系統(tǒng)是

CA20-13

能觀的。

%⑺=4⑺+3"⑺01

11.12某單輸入-單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為「、其中，4=

“35，）-6-5

B=:,C=[10]確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。如果系統(tǒng)的初始條件為零，即％（0）=爸（°）=6

當(dāng)”（f）為單位階躍信號(hào)時(shí)，試確定系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)（r>0）o

【解析】傳遞函數(shù)為G（s）=j:單位階躍響應(yīng)為丁（。=1-3"2，+2/\單位階

S+DS+O

躍響應(yīng)如下。

9

8

06.

7

6

36

8

0

0,

8。5

a

8

I6

S4

3

0.

33.544.55

一般習(xí)題

P11.1某一階系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程為戈=x+〃，反饋控制器為〃（，）=一依，預(yù)期的平衡條件

為：當(dāng)，-+8時(shí)，,《，）=。。若系統(tǒng)的綜合性能指標(biāo)定義為力狀態(tài)變量的初值取

為x（O）=J5,試求〃的取值，使，達(dá)到最小值，并分析〃的這個(gè)值是否能夠物理實(shí)現(xiàn)。如

果不能，則為女選擇一個(gè)可以實(shí)現(xiàn)的值，并計(jì)算此時(shí)的性能指標(biāo)。另外，如果不在系統(tǒng)中引

入反饋控制器〃（。=-"，那么系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

【解析】考慮系統(tǒng)"'+故工=柒一"=（1一=故攵〉1時(shí)系統(tǒng)

u=-kx

2（,A

穩(wěn)定。J=JJe-V（0）f/r=-^t因此，當(dāng)A-0C時(shí)J達(dá)到最小值。這在物理上是不

可能實(shí)現(xiàn)的。選擇&=35,則性能指標(biāo)J二'y,沒(méi)有反饋系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

P1L2考慮到能量和資源的消耗，綜合性能指標(biāo)中常常包含控制信號(hào)項(xiàng)。這樣一來(lái)，最優(yōu)系

統(tǒng)就不可能使用無(wú)限制的控制信號(hào)當(dāng)兼顧控制信號(hào)的影響時(shí)，合適的綜合性能指標(biāo)

應(yīng)該為/=「（/（/）+幾〃2（/））力

（a）采用這個(gè)性能指標(biāo)，重做習(xí)題Pll.lo

（b）當(dāng)；1=2時(shí)，試求火的取值，使性能指標(biāo)1達(dá)到最小值，并計(jì)算此時(shí)的最小值.

【解析】（a）性能指標(biāo)為/=「（/（/）+力/（/））力，系統(tǒng)為'='+故

川u=-kx

?/=［（/+衣2工2”/=［（1+/2卜2力=0+忽2）「/力，假設(shè)&＞1計(jì)算積分得

J=（I+^2）T^7O若想確定使J最小的攵值，對(duì)J取微分且使其為零

dJAk2-2Ak-\

一0即2公一2/U—1-0解得&=1+1+j,其中由于要求女＞1舍去

dk（Z；-l）z

（b）當(dāng)2=2時(shí)Z=2.2,Jmin=8.90

jrx."1「1。］「x"1「1

P11.3某開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定機(jī)器人系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程為＜'=.?+.〃

-12

所有的狀態(tài)變量都是可以測(cè)量的，于是可以將控制信號(hào)取為〃（，）=-4（玉+々）。系統(tǒng)的初

始條件為x（O）=］在上述條件下，試采用11.7節(jié)給出的方法，確定增益2的合適取值，

使綜合性能指標(biāo)ISE達(dá)到最小值，并計(jì)算性能指標(biāo)的最小值，然后確定性能指標(biāo)對(duì)參數(shù)%的

靈敏度。另外，如果沒(méi)有為系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋信號(hào)〃（/）,那么系統(tǒng)能夠保持穩(wěn)定嗎？

■101rr

X-X+U

【解析】系統(tǒng)給定為［T2」Ld，引入反饋系統(tǒng)為

N=—%（玉+.）=—女0l］x

一「k-k

X=.X,求解〃P+PH=T,可得2%（1一攵）一2月2（攵+1）=—1,

—IrI4-KI，一K

〃12（3_22）一〃1#一〃22（&+1）=°，_2s2+2〃22（2_2）=T,解得

（2F-6Z+7）_2k2-2k-l_一（2人6>+3）

P"-4（4A:2-8A:+3）'P'2"4（4^2-8^+3）'P~~~4（4/:2-8^+3）°

T\

當(dāng)x（O）=[l1]時(shí)綜合性能指標(biāo)為/=“氣。）尸工（（））=〃“+282+/%=：^二Y。所以

2―8時(shí)1-00沒(méi)有反饋時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

P11.4重新考慮例11.12中的系統(tǒng)，其中，初始狀態(tài)改為f（O）=[l-1],綜合性能指標(biāo)為

1=「x「x〃試確定反饋增益攵的合適取值，使性能指標(biāo)達(dá)到最小值，并繪制性能指標(biāo)J隨

增益A的變化曲線。

2k2+1

【解析】性能指標(biāo)為?/=，（（））&（0）=網(wǎng)—2/%+必2,J=二武，所以當(dāng)攵―8時(shí)

乙K

J-1。/與左的關(guān)系曲線如下。

P11.5重新考慮例11.3所示的系統(tǒng)，將初始狀態(tài)改為x/（O）=[l1],綜合性能指標(biāo)為

j=r力試瑜定反饋增益人的合適取值，使性能指標(biāo)達(dá)到最小值，并繪制性能

指標(biāo)./隨增益4的變化曲線。

_ro1]roo]

【解析】系統(tǒng)給定為0011,性能指標(biāo)為

u=-kx

J=￡(+UrII)dt=￡+求斛HTP+PH=-(l+k2)!,得

―+公+Z+12/+公+2攵+]

Pw=o則性能指標(biāo)為

2k

2A”+4公+3公+4八1dJ2k4+2k3-2k-]

J=Pn+2PY2+P22。令演二二0即

2k?

2k4+2ky-2k-]=0,解得&=0.90。

，與攵的關(guān)系曲線如圖所示，當(dāng)％=0.90時(shí)J=6.95。

P11.6針對(duì)習(xí)題P11.3至習(xí)題P11.5的設(shè)計(jì)結(jié)果，分別確定相應(yīng)的最優(yōu)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征

根。注意，閉環(huán)特征根與所采用的綜合性能指標(biāo)有關(guān)。

【解析】(a)對(duì)于n1.3有/=「一；,故當(dāng)〃―8時(shí)但A=g不是一個(gè)實(shí)際的

21

x

解決方案，所以選擇&=10。則=:Tx=Ax0

19—11-o

閉環(huán)特征方程為det["-閣=/+175-38=0解得根為距=-19,邑=2。系統(tǒng)不穩(wěn)定。

最初的系統(tǒng)不穩(wěn)定，加入反饋的情況下仍然不穩(wěn)定。一般來(lái)說(shuō)，

x=(、x=Ax,det["-A]=s2+S(2Z-3)+(2-4左)=0。對(duì)于所有的

—I1KJ2一?

Z系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。

■01]「[._

(b)對(duì)于P11.4有#=卜女x=Ax,del17-4|=/+抬+2=0,性能指標(biāo)為

4%+1

J=l+—^-o當(dāng)2―8時(shí)1—0。但攵=8不是一個(gè)實(shí)際的解決方案，所以選擇攵=10,

乙K

則det[s]-閡=S2+10S+10=(S+L13)(S+8.87),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(c)對(duì)于P11.5有當(dāng)攵=0.90時(shí)/最小。x=

-k-k

2

det[iZ—A\=s?ks?k=W+0.9S+0.9=(S+0/5+jO.835)(5+O.d5—j0.835)c

P1L7某系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程如式(11.42)所示。假定所有的狀態(tài)變量都可以作為反饋?zhàn)兞浚?/p>

因此，狀態(tài)反饋控制信號(hào)可以設(shè)計(jì)成〃(。=-4玉一心%，并假定初始條件為

7

x(O)=[l0]o經(jīng)過(guò)反饋校正之后，希望系統(tǒng)的固有頻率為助,=2,性能指標(biāo)J由式

(11.63)給出，試確定增益人和內(nèi)的合適取值，使系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)。

-01

【解析】閉環(huán)系統(tǒng)為*=,,x=Hr,

det[si-Z/]=52+殍+k、=s2+2G+^=0,當(dāng)0〃=2時(shí)勺=4。/（0）=[10]有

J=]5,求解尸+尸"二一/得

-（）-4],“外]卜）11r-ion

0

J"JIP-2〃22」[YMJLT」'

k,20公+20

Pll=—+——=-----O

1188k28k2

他=而時(shí)/取得最小值。detW—4]=s2+J而s+4=0,"=2,[=1.12,系統(tǒng)過(guò)

阻尼。

P11.8考慮例11.11中給出的系統(tǒng)，當(dāng)勺=1和/（0）=[10]時(shí)，試確定網(wǎng)的最優(yōu)值。

抬+2

2k、

【解析】對(duì)于例11.11有。二故當(dāng)/(0)=[10]時(shí),

1

r

J=xT(o)Px(0)=o令■二]一1j：2=0,解得區(qū)=血。

P11.9考慮圖P11.9(a)所示的機(jī)械系統(tǒng)，它由球和橫桿構(gòu)成，其中橫桿是完全剛性的，可

以在平面上繞中心轉(zhuǎn)軸自由旋轉(zhuǎn)，小球可以沿著橫桿上面的凹槽來(lái)回滾動(dòng)。該系統(tǒng)的控制是

一個(gè)比較具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。具體要解決的控制問(wèn)題是，將轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)矩作為橫桿的輸入控

制信號(hào)，使球停放在橫桿上的指定位置。該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)框圖模型如圖P11.9(b)所示。假定

角度。和角速度4。/，〃=①都是可以測(cè)量的狀態(tài)變量。試給出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量模型，并

設(shè)計(jì)一種反饋控制方案，使閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量為4乳調(diào)節(jié)時(shí)間為1s(按2皺準(zhǔn)則)。

電機(jī)和放大器

圖P11.9球與橫桿的框圖模型

【解析】令百=。，々=0，有口=零，狀態(tài)方程為":j,引入反饋〃=一%一K/2+r,

atx2-Ku

0ri，

r(r)為參考輸入。然后x=x+r,(1以卜/一/1]=/+、心+長(zhǎng)，期望

K

。二白，故超調(diào)量為4%,由于(=1=/一，貝IJGO“=4即4=4血。

$2+8S+32=S2+K1KS+A^[]K=32，K=：°

0o]「「

X-x+u

pii.io火箭的動(dòng)力學(xué)模型可以表示為L(zhǎng)1。」L°J若在系統(tǒng)中引入狀態(tài)變量反饋,

)，=[0l]x

且控制信號(hào)為〃=-10%-25々+，-，試確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。若系統(tǒng)的初始條件為

%(0)=1和$(0)=-1,參考輸入為r(/)=0,試求系統(tǒng)的響應(yīng)。

「一10-251/、/、

【解析】引入反饋的系統(tǒng)為x=4x=]0x,其中玉(())=1,毛(0)=-1。特征

rI「5+1()25~|/、、

方程為det[s/-A]=det=s(s+10)+25=s~+10s+25=0,根為與二=一5。

由于%(0)=1,^(0)=-1,則武。=?0：x(0)=一?。計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

血力」血一%」

的元素如下：％?)=(l+5f)e』,%(，)=〃,因此勺(，)=_(1+4，)"工

類(lèi)似地,禽⑺=(1一5/"/%(t)=95*因此玉⑺=(i+20/)e.。

-50.5

x=x+u

Pll.ll某受控對(duì)象的狀態(tài)空間模型為20若為受控對(duì)象引入狀態(tài)變量

y=[01]X+[0]M

反饋系統(tǒng)，反饋控制信號(hào)為〃=-依+。—，試確定合適的增益矩陣K和x,使系統(tǒng)具有較

快的響應(yīng)速度，超調(diào)量約為1%,調(diào)節(jié)時(shí)間(按2%準(zhǔn)則)小于1s,且系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)

態(tài)誤差為零。

【解析】令〃=-4%-%2々+。廠，其中廠(，)為輸入。狀態(tài)空間模型為

--5-2]「0.5

x=x+zy

_20J0閉環(huán)傳遞方程為r($)=,---o為了滿(mǎn)足性

')S2+(1/2+5)S+4+.

y=[0l]x+[0]w

能規(guī)范，需要口”=4.8,;=0.826。

因此，期望的特征多項(xiàng)式為q(s)=s2+2(0.826)4.8s+23=s2+&s+23,使系數(shù)相等可解

得心=19,勺=6。選擇。=23可以使單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

--3-2-0.7500-T

-300000

x=02000X+0U

P11.12某直流電機(jī)的狀態(tài)空間模型為試判斷該系

001000

000200

)'=[00002.75卜

統(tǒng)是否能控和能觀。

--3-2-0.7500-T

-300000

X—02000X+0U

【解析】直流電機(jī)的狀態(tài)空間模型為,能控性矩陣

001000

000200

)，=[00002.75卜

1-334.5-18-

03—9913.5

006-IXIXdetE，0,因應(yīng)系統(tǒng)是能控的。能觀性矩陣為

為Pe=

0006-18

000012

「00002.75-

005.500

Pt)=011000dctP“工0,因此系統(tǒng)是能觀的。

330000

000012

P11.13某受控對(duì)象的傳遞函數(shù)為型=G(s)=/長(zhǎng)為該受控對(duì)象引入狀態(tài)變量反

R(s)'7s(s+70)

饋，為此，需要選擇指定狀態(tài)變量且將反饋控制信號(hào)取為《，)=-2自一％2々，并選擇增益

匕和心的合適取值，使系統(tǒng)的速度誤差常數(shù)(=35,階躍響應(yīng)的超調(diào)量約為4%(即阻尼

比為？=調(diào)節(jié)時(shí)間為。11s(按2%準(zhǔn)則)。

【解析】為了滿(mǎn)足《=35,需要使K=2450。狀態(tài)變量模型為

010

0-702450

y=[10]x

令〃=一女內(nèi)—右乙，閉環(huán)特征方程為4(，)=$2+(2450&+70川+24504=0,期望的特

征多項(xiàng)式為S2+72.73S+2644.63=0,其中選擇[=0.707,4=51.42來(lái)滿(mǎn)足性能規(guī)范。

使系數(shù)相等可求解得K=1.08,&=().(X)11。

-100

P11.14某受控對(duì)象的狀態(tài)空間模型為L(zhǎng)10」L°J假定所有的狀態(tài)變量都可以作

y=[()1k+[()]〃

為反饋?zhàn)兞浚嚍槭芸貙?duì)象設(shè)計(jì)合適的反饋控制器，使校正后系統(tǒng)的調(diào)節(jié)M間為1s(按2%

準(zhǔn)則)，超調(diào)量約為10虬并繪制校正后系統(tǒng)的框圖模型。

【解析】令〃=一攵西一左2々一左/，其中r(/)為輸入。閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為

—鼠1

x="x+r

L?0」10」，為了滿(mǎn)足性能要求，期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

y=[0l]x

2

7(.v)=v+8,v+45.96=0,苴中,=0.59,(oH=6.78

實(shí)際特征多項(xiàng)式為dE[s[-A]=$2+(]o+4)s+&=o使系數(shù)相等解得e=45.96,

仁二一2。選擇《=&=45.96使階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。則7；=0.87s,P.Q=10%。

-1001

x=0-20x+1u

P1L15某遙控機(jī)器人的狀態(tài)空間模型為八n々八

UUU

y=[]02]x

(a)試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=y(s)/U(s)。

(b)繪制系統(tǒng)的框圖模型，并選擇指定相應(yīng)的狀態(tài)變量。

(c)判斷系統(tǒng)是否能控。

(d)判斷系統(tǒng)是否能觀。

【解析】傳遞函數(shù)為G(s)=C(”-A)“〃=擊，系統(tǒng)不是能控的，也不能觀。

P11.16電影《侏羅紀(jì)公園》中的恐龍模型是利用液壓執(zhí)行機(jī)構(gòu)來(lái)驅(qū)動(dòng)的。驅(qū)動(dòng)這種巨大的恐

龍模型，所需的功率高達(dá)1200Wo其中，一個(gè)肢體的運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型可以表示為

--4()]「「

x=x+U

.1-ijL°J假設(shè)肢體運(yùn)動(dòng)的位置和速度(即狀態(tài)變量)都是可以測(cè)量的變量，

y=[01]X+[0]H

試?yán)冒⒖寺剑O(shè)計(jì)所需要的狀態(tài)變量反饋控制器，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為5=-1±乃。

【解析】令〃=一心\阿克曼公式為K=[0,0,其中以s)為期望的特征多

項(xiàng)式，夕(s)=$2+25+10。

-401

x=X+U

肢體運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)模型為1-10，能控性矩陣為P「=[BAB]=

)，=[()1卜+[()]“

/、？180

q(A)=A2+2A+\0I=,運(yùn)用阿克曼公式有駁=[r-39]。

P11.17某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為~一~—公其中，。為實(shí)數(shù)。試確定

〃的合適取值，使系統(tǒng)或不能控或不能觀。

【解析】若。=5或a=8時(shí)系統(tǒng)是不能控的或不能觀的。這兩個(gè)值都是系統(tǒng)的實(shí)極點(diǎn)，因

此，〃取任何值在傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)會(huì)抵消。

y(s)1

P11.18某系統(tǒng)受控對(duì)象的傳遞函數(shù)為7；興=G(s)=--7

U⑹($+1)-

(a)繪制受控對(duì)象的框圖模型，在此基礎(chǔ)上，選擇合適的狀態(tài)變量,確定受控對(duì)象的狀

態(tài)微分方程并寫(xiě)成矩陣形式。

(b)當(dāng)狀態(tài)變量的初始值為％(0)=1和々(0)=0,并令y(1)=A時(shí)，試為受控對(duì)象設(shè)

計(jì)合適的狀態(tài)變量反饋控制器,使系統(tǒng)響應(yīng)是臨界阻尼的，此時(shí)特征方程的閉環(huán)重

根為$=。

0o

x=x+U

【解析】矩陣狀態(tài)模型為L(zhǎng)-11,令〃（，）=一匕玉一七毛，則閉環(huán)特征方程

y=[10]x

為4（S）=S2+（2+&）S+1+4=0,期望的特征方程為一+2JLT2=0,使系數(shù)相等解

得仁=1,自=2正—2=0.8280

P11.19某系統(tǒng)的框圖模型如圖P11.19所示，試判斷該系統(tǒng)是否能控和能觀。

R(s)

圖P1L19多回路反饋控制系統(tǒng)

010r

x=x+，廠01

【解析】狀態(tài)空間模型為13-2J

1」，能控性矩陣為p=1_2,detp=0,

y=[3i]x

「31'

系統(tǒng)是能控的。能觀性矩瘁為3],dctP=0,故系統(tǒng)是不能觀的。

P11.20習(xí)題P8.ll和習(xí)題P9.15都曾討論過(guò)輪船自動(dòng)駕駛系統(tǒng)，該系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程為

--0.05-600一--0.2-

一IO，-0.15000.03

犬(/)=皿)+3(f)其中，/■")=[y句。內(nèi)為

100130

01000

橫向速度L%為船體坐標(biāo)系相對(duì)于響應(yīng)坐標(biāo)系的角速度僅，為為與運(yùn)動(dòng)軌跡垂直的軸偏

差y,4為偏差角。。

（a）判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

（b）為系統(tǒng)增加狀態(tài)變量反饋環(huán)節(jié)，控制信號(hào)為5（。=-4大-%芻試分析能否選擇增

益K和勺的合適取值，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

【解析】特征方程為S212+O.2S+O.OO15）=。，有兩個(gè)根位于原點(diǎn)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)

b=一KN一43玉=20玉一10占時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

P11.21考慮圖P11.21所示的RL電路,

(a)選擇兩個(gè)合適的狀態(tài)變量，并令輸出為匕(/),建立該電路的狀態(tài)空間模型。

(b)當(dāng)凡/。=6/a時(shí)，系統(tǒng)是否能觀？

(c)建立各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，使系統(tǒng)有兩個(gè)相同的特征根。

ii(t)

圖P11.21RL電路

【解析】(a)令玉二，|,x2=i2,w=Vo狀態(tài)方程為

-(為+6)

k

X=X+4y=%,而丁=[6—6]%。

&

0

L,

C/

(b)能觀性矩陣為R圈11等+R；

CAR；

k

RR,R；,故當(dāng)華=^時(shí)€1門(mén)2=0.系統(tǒng)是不能觀的。

de叱=12力

,、人R.+/?,,兄+&,

(c)令〃=',b=:~則

s+a)T

=(5+r)2=s2+(4+/?)$+a：+&

del[5/-A]=det=(s+a)($+?+務(wù)

_&(s+A)

L,

當(dāng)(4+Z?『-4ab時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)相等的根，即

L\G)

缶+R凡+&丫4(RI+R3)(&+&)+R；

=0。

P11.22某操縱器系統(tǒng)為單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，其受控對(duì)象的傳遞函數(shù)為G(s)=小：04)

(a)試?yán)L制該系統(tǒng)的信號(hào)流圖或框圖，并選擇指定狀態(tài)變量；在此基礎(chǔ)上，建立系統(tǒng)的

狀態(tài)微分方程，并寫(xiě)成矩陣形式。

(b)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。為系統(tǒng)設(shè)計(jì)合適的狀態(tài)變量反饋控制器，使系

統(tǒng)的超調(diào)量為5%,調(diào)節(jié)時(shí)間為1.35s(按2%準(zhǔn)則)。

(c)繪制校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。

-0.4-11「「

x=x+u

【解析】(a)在沒(méi)有狀態(tài)反饋的情況下，狀態(tài)微分方程為L(zhǎng)10J⑼，階躍

y=[0\]x

響應(yīng)如下

(b)考慮狀態(tài)反饋，"=-K(”+Z?xJ+tr,其中r為參考輸入，K、。、b、c待確定。

[-0.4-Kb

狀態(tài)方程為“一[1T丹+趾

y=[0\]x

det(s/—4)=s2+(o.4+A7?)s+(l+K4)=O。要使尸0=5%,7；=1.35s.則G=0.69,

4

七二7”=4.3。由Ka=o；-1,Kb=2q①”一。4,選擇K=l,解得。=17.49,

11.35

6=5.53。選擇c=l+K”可使穩(wěn)態(tài)誤差為零。

(c)有反饋情況下系統(tǒng)階躍響應(yīng)如上圖所示。

P11.23重新考慮例11.7中給出的系統(tǒng)，試為該系統(tǒng)設(shè)計(jì)合適的狀態(tài)變量反饋控制器，使系

統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，預(yù)期的特征方程根為s=-2±〃和s=TO。

【解析】對(duì)于階躍輸入使用內(nèi)模設(shè)計(jì)法有,其中選擇

卬二一(6-爪遙。將極點(diǎn)設(shè)置為5=—10,s=-2±j,由阿科爾曼公式得叫=50,

K2=[4514〉

P1L24重新考慮例11.7中給出的系統(tǒng)，試為該系統(tǒng)設(shè)計(jì)合適的狀態(tài)變量反饋控制器，使系

統(tǒng)斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，預(yù)期的特征方程根為s=-2±/2和s=-20o

【解析】使用斜坡輸入的內(nèi)部模型設(shè)計(jì)方法，有。

w=-K}e-K2e-K3z。運(yùn)用阿科爾曼公式閉環(huán)特征根配置為s=-20,s=—2±2J。我們

需要一個(gè)額外的極點(diǎn)，選擇s=-20作為第四個(gè)極點(diǎn)，則(=320(),^=1920,

K.=[56844]0

x=Ax+Bu140

W5某系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為yy其中，A=_51()B=

C=[l-4],。=[0]首先驗(yàn)證該系統(tǒng)是能觀的，然后設(shè)計(jì)一個(gè)全狀態(tài)觀測(cè)器，觀測(cè)器的極

點(diǎn)為“2=-1。當(dāng)觀測(cè)器估計(jì)誤差的初始值為e(O)=[l『時(shí)，試?yán)L制估計(jì)誤差6=上一工

的響應(yīng)曲線。

【解析】能觀性矩陣為《=￡二L:t,det匕=4800,因此系統(tǒng)是完全能觀的。

CA21-36

期望極點(diǎn)為“2=-1，這意味著期望的特征多項(xiàng)式為〃”(S)=S2+2S+1,實(shí)際的特征多項(xiàng)

式為

2-1+L,-4-4L,

dct|/lZ-(A-LC)|det=^2+(^,-41.-11)2+10^+81,+30=0

5+L22-10-4L,

L.—0.25/.,

解得7=odet(2/-(A-LC))=52+25+l,觀測(cè)器估計(jì)誤差如圖所

L-3.3125

示，其中e(0)=[l1]\

ResponsetoInitialConditions

2.5

U2

5

0

E

o0.5

p

n

l0

&

E

a

5

-

n

o

6

1

1.5

0356

Time(sec)

0100

X—001x+0U

PU.26某三階系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為首先判斷系統(tǒng)是否能觀。

-8-5-34

y=[2-4()]_￥+[()]〃

如果是，則設(shè)計(jì)一個(gè)全狀杰觀測(cè)器，并將觀測(cè)器的極點(diǎn)配置為.2=1士/和0二一5。

C2-40

【解析】能觀性矩陣為5=CA02-4,detP,=7280,因此系統(tǒng)是能觀

CA2322014

0.14

的。增益矩陣為L(zhǎng)=-0.93,觀測(cè)器的極點(diǎn)為.2二T±八*=-5。

0.79

1010

x=X4-U

P1127某二階系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為-3-20設(shè)計(jì)一個(gè)全狀態(tài)觀測(cè)器.并

y=[l0]x+[0]w

將觀測(cè)器的極點(diǎn)配置為耳,2=-1±/。

C10

【解析】能觀性矩陣為《二,detP,=0因此系統(tǒng)不是完全能觀的。因此,

CA10

無(wú)法找到將觀測(cè)器極點(diǎn)置于所需位置的增益矩陣。

x(f)=Av(r)+Bw(r)01

PU.28單輸入-單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為其中,A=

)，(，)=&(，)

TV。】

(a)確定K的合適取值，使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差e(r)=〃(，)—)，(。為零

(1>0)。

(b)基于(a)得到的K,繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由線，并驗(yàn)證穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差是否的確

為零。

【解析】選擇K=16,使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。階躍響應(yīng)如圖所示

StepAosponso

P11.29某互聯(lián)系統(tǒng)的框圖如圖P11.29所示，試確定該系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。狀態(tài)空間模型

x(z)=Av(/)+B?(r)

的一般形式如下所示：

>'(/)=&(/)+￡)〃(1)

圖P11.29互聯(lián)反饋系統(tǒng)

/、2/、x=-3x+2M

【解析】系統(tǒng)傳遞函數(shù)為Ms）=-U（s）,狀態(tài)空間模型為，二

難題

AP11.1某直流電機(jī)控制系統(tǒng)如圖AP11.1所示，其中，系統(tǒng)的3個(gè)狀態(tài)變量都可測(cè)量的，其

輸出為位置變量為。）。當(dāng)所有的狀態(tài)變量都可以用于反饋時(shí)，試確定合適的反饋增益，使

系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為零，超調(diào)量小于3%。

XiG)

U(s)

位置

圖AP11.1磁場(chǎng)控制式直流電機(jī)

【解析】狀態(tài)空間的閉環(huán)系統(tǒng)如下

%

），=[100]々，閉環(huán)傳遞函數(shù)為

4K

T(s)=

/+(2K(+5)s?+(4KK?+2KK?+4)s+4KKt

將穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)置為零，則％=1-7（。）=1一3,解得%=0.5。

選擇K?=0.5,6=1.5,則系統(tǒng)超調(diào)量為P.Q=2.82%。