特訓03二次函數(浙江中考真題與模擬，解答壓軸題)

真題演練

一、解答題

1.(2023?浙江嘉興?統考中考真題)在二次函數)，=/—2a+3(?0)中，

⑴若它的圖象過點(2,1),則/的值為多少？

(2)當OWXW3時，y的最小值為一2,求出，的值：

(3)如果4w-2M),8(4,b),C(m,a)都在這個二次函數的圖象上,且求刑的取值范圍.

【答案】⑴/=：

(2)1=6

(3)3<，〃<4或，〃>6

【分析】(1)將坐標代入解析式，求解待定參數值：

(2)確定拋物線的對稱軸，對待定參數分類討論，分0<fW3,當工=，時，函數值最小，以及，>3,當x=3

時，函數值最小，求得相應的/值即可得；

(3)由AQ〃-2,a),C(〃?,a)關于對稱軸對稱得〃?—=/,且3在對稱軸左側,C在對稱軸右側；確定拋物線

與2軸交點(。，3),此交點關于對稱軸的對稱點為(2機-2,3),結合己知確定出〃?>3；再分類討論：A,8都

在對稱軸左邊時，48分別在對稱軸兩側時，分別列出不等式進行求解即可.

【解析】(1)將(2,1)代入)，=——2八十3中，

得1=4-4/+3,

3

解得，，=5；

(2)拋物線對稱軸為x=f.

若Ov/43,當x=f時，函數值最小，

.?/-2/+3=-2,

解得/=±-75.

z>0,

t—yjs

若。3,當x=3時，函數值最小，

.*.-2=9-6/+3,

7

解得/=§(不合題意，舍去)

綜上所述，=\f5.

(3)VA(m-2,a),C(m,a)關于對稱軸對稱

:.，n~^+fn=tjn-\=t,且4在對稱軸左側，C在對稱軸右側

拋物線與7軸交點為(。，3),拋物線對稱軸為直線"=/,

???此交點關于對稱軸的對稱點為(2，〃-2,3)

。<3,/?<3且/>0

/.4<2m-2,解得機>3.

當,4,8都在對稱軸左邊時，

'：a<b

：.4<ni-2,

解得〃?>6,

/.in>6

當,4,8分別在對稱軸兩側時

?；a<b1.8到對稱軸的距離大于4到對稱軸的距離

/.4-(/?-1)>tn-\-(tn-2),

解得〃7V4

/.3</77<4

綜上所述3<"?<4或心6.

【點睛】本題考查二次函數圖象的性質、極值問題：存在待定參數的情況下，對可能情況作出分類討論是

解題的關鍵.

2.(2023?浙江?統考中考真題)已知點(-機0)和(3根,0)在二次函數)，=加+法+3(4/是常數，"0)的圖像

上.

⑴當〃?=7時，求0和％的值;

⑵若二次函數的圖像經過點4(〃,3)且點力不在坐標軸上，當時，求〃的取值范圍；

(3)求證：b2+4?=0.

【答案］(1)"=7,力=一2

(2)-4<?<-2

（3）見解析

【分析】（1）由，"=-1可得圖像過點（1,0）和（-3,0）,然后代入解析式解方程組即可解答;

（2）先確定函數圖像的勸稱軸為直線x=則拋物線過點（〃,3）,（0,3）,即〃=2〃?，然后再結合-2<〃z<-1

即可解答；

（3）根據圖像的對稱性得-5=〃?，即力=-2,〃〃，頂點坐標為（〃?"/+加?+3）；將點（一九0）和（3肛0）分

別代入表達式并進行運算可得am"=-1;則anf+bin+3=am1-2am2+3=-anr+3=4>進而得到

擔二2=4,然后化簡變形即可證明結論.

4a

【解析】（1）解：當〃R-1時,圖像過點（1,0）和（一3,0）,

0=a+b+3,,a=-\

0=9。-3Z7+3'解得’

b=-2,

0y=-x2-2x+3,

@a=-l,Z?=-2.

（2）解：團函數圖像過點（一〃八0）和（3或0）,

回函數圖像的對稱軸為直線x=.

團圖像過點（〃，3）,（0,3）,

團根據圖像的對稱性得〃=2〃?.

0-2</??<-1,

0—4<w<—2.

（3）解：團圖像過點（-〃?,0）和（3肛0）,

團根據圖像的對稱性得-（=，〃.

^b=-2am,頂點坐標為（加+Z?帆+3）.

將點（飛。）和師。）分別代人表達式可得｛。二:荔曉

①x3+②得12加+12=(),

0=-1.

0anr+bm+3=anr-2am2+3=-am2+3=4.

012?-Z?2=16?.

0/?2+4a=0.

【點睛】本題主要考查了運用待定系數法求二次函數解析式、二次函數的對稱性、解不等式等知識點，掌

握二次函數的對稱性是解答本題的關鍵.

3.(2022?浙江麗水?統考中考真題)如圖，已知點用(5方),2(生)，2)在二次函數)，=。(工-2)2-1(〃>0)的圖

⑴若二次函數的圖像經過點(3,1).

①求這個二次函數的表達式；

②若X=為，求頂點到MN的距崗：

(2)當用工工工左時，二次函數的最大值與最小值的差為1,點N在對稱軸的異側，求〃的取值范圍.

【答案】⑴①，=2f_8-7；②羨

,、14

⑵

【分析】⑴①將點(3,1)代入)，=。*-2)2-1(">0)中即可求出二次函數表達式；

②當y="時，此時腦V為平行X軸的直線，將例(.r,,y),Ng為)代入二次函數解析式中求出工+玉=4,

7

再由占一玉=3求出直線MV為)，=Q,最后根據二次函數頂點坐標即可求解；

(2)分兩種情形：若M,N在對稱軸的異側，y,>y2；若M、N在對稱軸的異側，)；工乃，用<2,分別求

解即可.

【解析】(1)解：①將點(3,1)代入)，=〃*—2)2—1(〃>0)中，

01=a(3-2)2-1,解得。=2,

團二次函數的表達式為：y=2(x-2)2-l=2x2-8x+7；

②當=%時，此時MN為平行x軸的直線，

將M(N，y)代入二次函數中得到：y=2V-8A,+7,

將川天，必)代入二次函數中得到：必=2/2-8/+7,

團”=當，

2(2X

02x,-8x+7=2X2-82+7,

整理得到:(%+七)(司?9)-4($?%)=(),

又回々-N=3,代入上式得到：x:+A,=4,解出再二：,/=，

I177

團必=%=2?空8?-7=-,即直線MN為:y=-t

又,二次函數的頂點坐標為(2,-1),

79

團頂點(2,-1)到MN的距離為萬+l=y；

(2)解：若"，N在對稱軸的異側，y,>,

取7+3>2,

取/>-1,

□x2-x,=3

0x.<—,

2

0-1<x<-,

2

團函數的最大值為州=。(X/-2)2-1,最小值為-1,

取?(-1)=1?

Q)

同J一<。WJ—；

99

若M、N在對稱軸的異側，xt<2,

1

團％>5，

0-<X1<2,

同函數的最大值為片。（》2）2-1,最小值為-1,

映（-1）=1,

1

（M+1）

9、2

0-<（X（4-1）<9,

14

0-<a<-,

99

14

綜上所述，。的取值范圍為

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖像與性質及二次函數的最值等問題：當

開口向上（向下）時，自變量的取值離對稱軸越遠，其對應的函數值就越大（越小）.

4.（2022?浙江杭州?統考中考真題）設二次函數兇=2爐+加+。（4c是常數）的圖像與x軸交于48兩

點?

（1）若力，8兩點的坐標分別為（1,0）,（2,0）,求函數M的表達式及其圖像的對稱軸.

（2）若函數X的表達式可?以寫成）[=2（X-力）2-2（才是常數）的形式，求〃+c,的最小值.

⑶設一次函數（〃?是常數）.若函數月的表達式還可以寫成y=2（X—M（X—〃L2）的形式，當函

數y=x-為的圖像經過點（廝.0）時，求與-的值.

【答案】⑴y=2（x—l）（x—2）,久=]

⑵Y

閉.％_陽=0或/―/〃=|'

【分析】（1）利用待定系數法計算即可.

（2）根據等式的性質，構造以加c為函數的二次函數，求函數最值即可.

（3）先構造y的函數，把點（%0）代入解析式，轉化為?%的一元二次方程，解方程變形即可.

【解析】（1）由題意，二次函數3=2/+bx+c（b,。是常數）經過（1,0）,（2,0）,

2+b+c=0

職，

4+2/>+c=0

b=-6

解得

c=4

團拋物線的解析式>.=2X2-6X+4=2(X-1)(A:-2).

0圖像的對稱軸是直線工=一?=一普=]

2a2x22

(2)由題意,得y=2--4法+2*-2,

2

0y\=2x+bx+ct

0b=-4//,c=2h?-2

0b+c=2/r-4/z-2=2(/?-1)--4,

團當〃=1時，8+c的最小值是4

(3)由題意,得y=y=2(x-w)(x-w-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-/w)-5]

因為函數y的圖像經過點（不，0）,

所以(小一6)[2(與--5]=0,

所以占一加二°,或再一根二：

【點睛】本題考查了二次函數的待定系數法，二次函數的最值，對稱性，熟練掌握二次函數的最值，對稱

性是解題的關鍵.

5.（2023?浙江?九年級專題練習）已知拋物線。：…@+1）2—4（。/0）經過點41.0）.

⑴求拋物乙的函數表達式.

⑵將拋物線。向上平移〃？（〃?〉0）個單位得到拋物線右.若拋物線4的頂點關于坐標原點。的對稱點在

拋物線。上，求用的值.

⑶把拋物線。向右平移〃（〃>0）個單位得到拋物線人.已知點H8-f,s）,Q（f-4”）都在拋物線右上,

若當/>6時，都有$>廠，求〃的取值范圍.

【答案】⑴y=(.r+l)2—4

⑵加=4

⑶〃>3

【分析】（1）根據待定系數法即可求解.

（2）根據平移的性質即可求解.

（3）根據平移的性質對稱軸為直線x=?=1>0,開口向上，進而得到點尸在點。的左側，分兩種

情況討論：①當P，。同在對稱軸左側時，②當尸，。在對稱軸異側時，③當P，。同在對稱軸右側時即

可求解.

【解析】（1）解：將4析）代入得:0=（1+1）2?-4,

解得：?=1,

同拋物線乙的函數表達式：y=（x+l）2-4.

（2）（3將拋物線。向上平移個單位得到拋物線乙,

團拋物線右的函數表達式：），=*+1）2-4+〃].

團頂點（l,4lm）,

團它關于。的對稱點為（1，4-加），

將（1,4—〃代入拋物線。得：4一血=0,

團，〃=4.

（3）把。向右平移〃個單位，得

y=（x+l-〃）2-4,對稱軸為直線x=〃=開「向上，

0點P（8—,s）,C（/-4,r）,

由]>6得：8T<2<，-4,

團點?在點。的左側，

①當P,。同在對稱軸左側時，

w-1>Z-4,即〃>/一3,

團/>6,0w>3,

②當P,。在對稱軸異側時，

囹$>廠，

回〃一1—（8一/）>/—4—（〃一1）,

解得：〃>3,

③當P,Q同在對稱軸右側時，都有,（舍去），

綜上所述：〃>3.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象平移變換，熟練掌握待定系數法及平移

的性質結，巧妙運用分類討論思想是解題的關鍵.

6.（2023?浙江臺州?統考中考真題）【問題背景】

“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具.綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一

根帶節流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置.

【實驗操作】

綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm,開始放水后每隔lOmin觀

察一次甲容器中的水面高度，獲得的數據如下表：

流水時間〃min010203040

水面高度。/cm（觀察值）302928.12725.8

任務1分別計算表中每隔lOmin水面高度觀察值的變化量.

【建立模型】

小組討論發現：）=0,〃=30〃是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近

似地刻畫水面高度h與流水時間/的關系.

任務2利用f=0時，//=30；/=10時，力=29這兩組數據求水面高度〃與流水時間，的函數解析式.

【反思優化】

經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差.小組決定優化函數解析式，

減少偏差.通過查閱資料后知道：，為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對

應力的觀察值之差的平方和，記為卬；卬越小，偏差越小.

任務3（1）計算任務2得到的函數解析式的w值.

(2)請確定經過(0,30)的一次函數解析式，使得■的值最小.

【設計刻度】

得到優化的函數解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度宜接讀取時間.

任務4請你簡要寫出時間刻度的沒計方案.

【答案】任務1：見解析；任務2：A=-0.1/+30；任務3：(1)0.05?(2)〃=-0.102f+30；任務4：見解

析

【分析】任務1：根據表格每隔lOmin水面高度數據計算即可；

任務2：根據每隔lOmin水面高度觀察值的變化量大約相等，得出水面高度力與流水時間，的是一次函數關

系，由待定系數法求解；

任務3：(1)先求出對應時間的水面高度，再按要求求w值：

(2)設6=化+30,然后根據表格中數據求出此時w的值是關于％的二次函數解析式；由此求出Iv的值最

小時％值即可；

任務4：根據高度隨時間變化規律，以相同時間刻畫不同高度即可，類似如數軸三要素，有原點、正方向與

單位長度.最大量程約為294min可以代替單位長度要素.

【解析】解：任務1：變化量分別為，29-30=-l(cm)；28.1-29=-0.9(cm)；

27-28.1=-1.1(cm)；25.8-27=-1.2(cm)；

任務2：設，1=kt+b,

團，=0時，力=30,，=10時，〃=29；

b=30,

職

\\0k+b=29.

用水面高度h與流水時間/的函數解析式為h=-0.1/+30.

任務3：(1)當/=0時，〃=-0"+30=30,

當，=10時，/z=-0.1r+30=29,

當1=20時，/?=-0.k+30=28,

當/=30時，/?=-0.k+30=27,

當，=40時，/?=-0.k+30=26,

團卬=(30-30『+(29-291+(28-28.1)2+(27-27)2+(26-25.8『

=0.05.

(2)設/?=6+30,則

卬=(30-30)2+(10攵+30-29『+(20Z+30-28.1丫+(30%+30-27『+(402+30-25.81

=(10%+1f+(20%+1.9)2+(30%+3)2+(40左+4.2)2

=3000公+612^+12+1.92+32+4.22.

當”=-二、二一。.102時，w最小?

2x3000

回優化后的函數解析式為/?=-0.102/+3().

任務4：時間刻度方案要點：

①時間刻度的0刻度在水位最高處；

②刻度從上向下均勻變大；

③每0.102cm表示lmin(1cm表示時間約為9.8min).

【點睛】本題主要考查一次函數和二次函數的應用、方差的計算，熟練掌握待定系數法求解析式及一次函

數的函數值、二次函數的最值是解題的關鍵.

模擬演練

一、解答題

1.(2023?浙江杭州?校考三模)已知拋物線y=f-2a+l.

⑴當f=2時，求拋物線的對稱軸和頂點坐標；

⑵若該拋物線上任意兩點M(XQD，短都滿足:當$＜馬＜1時，(石一再)(%-%)＜。，當1＜王＜超時，

(x,-x2%)＞0,試判斷點(3,7)是否在拋物線上；

2

(3)P(t+1,乂),Q⑵-4,先)是拋物線y=x-2/x+1上的兩點,且總滿足y,ny2，求/的最值.

【答案】(1)拋物線的對稱軸為x=2,其頂點坐標為(2,-3)

⑵點(3,7)不在拋物線上

(3)］的最大值為5,最小值為3

【分析】(1)將f=2代入拋物線解析式，然后化成頂點式，即可獲得答案；

(2)結合二次函數圖像的性質可確定該拋物線的對稱軸為x=l,進而求得該拋物線解析式，然后判斷點

(3,7)是否在拋物線上即可；

(3)結合拋物線解析式可得該拋物線開口向上，其對稱軸為x=/,已知點P在拋物線對稱軸右側.分兩種

情況討論；①當點Q在對稱軸右側或在對稱軸上，且在點〃的左側或與點,重合時滿足條件；②當點Q在

對稱軸左側，且點Q到拋物線對稱軸的距離小于或等于點產到對稱軸的距離時滿足條件.然后列關于/的不

等式，求解即可.

【解析】（1）解:當f=2時，

該拋物線解析式為/-4x+1=（X-2）2-3,

國拋物線的對稱軸為直線4=2,其頂點坐標為Q,-3）；

（2）點（3,7）不在拋物線上，理由如下：

當看時,（內一天）（凹一外）<°，

13y「為>0,即片〉為，

當1<%<工2時，（不一與）（必一力）>（），

f3yt-y2<0,即為〈必，

回該拋物線的對稱軸為x=l,

此時可有工=-三=="1，

2x1

團該拋物線解析式為y=x2-2x+l.

令x=3,則y=32—2x3+l=4,7,

團點（3,7）不在拋物線上；

（3）對于寸也物線y=Y-2“+l,

團。=1>0,

團該拋物線開口向上，其對稱軸為直線1=八

0點P在拋物線對稱軸右側，

①當點。在對稱軸右側或在對稱軸上，且在點P的左側或與點P重合時滿足條件，

02/-4>/J.2z-4</+l,

解得4W5；

②當點。在對稱軸左側，且點。到拋物線對稱軸的距離小廣或等于點。到對稱軸的距離時滿足條件，

回2/-4</且+,

解得3W4.

綜上所述，當3WY5時，滿足乂之為，

酎的最大值為5,最小值為3.

【點睛】本題主要考查了二次函數圖像與性質、二次函數圖像上點的坐標特征等知識，理解題意，運用數

形結合和分類討論的思想分析問題是解題關鍵.

2.(2023?浙江杭州?杭州市豐潭中學校考三模)在平面直角坐標系中，設二次函數乂=寸-3妝+1(。是常

數)

⑴當。=2時，求函數,圖象的頂點坐標和對稱軸：

(2)若函數X圖象經過點(Lp),(-1,4)，求證：/^<4；

⑶若〃<0,y2=x-3a+i,凹,力的圖象交于點(不，加),(出，〃)，(3<々)，設(與，〃)為X圖象上一點*3工9)，

求與一X的值.

【答案】(1)拋物線的頂點坐標為(3,-8),對稱軸為直線x=3

⑵見詳解

⑶-1

【分析】(1)由配方法可求出頂點坐標；

(2)將已知兩點代入求出〃=2-3〃，q=2+3%再表示出〃夕=4-9a。由a<0,即可求解；

y=x2-3ax+1

(3)聯立，1y2=x-3a+l,解得：內=3%超=1，再根據(?%〃)與5M關于對稱軸對稱即可得出結果.

X=%

【解析】(1)解：當。=2時，y=x2-6.r+l=(x-3)2-8,

「?拋物線的頂點坐標為(3,-8),對稱軸為直線x=3；

(2)證明：??函數圖象經過點(Lp),(-1國)，

〃=1-3。+1=2-3。，<7=1+3。+1=2+3。，

pq=(2-3。)(2+3〃)=4-9",

?/9a120,

pq"；

3?)=x2-3ax+1

(3)解：聯立“>2=x—3a+l,解得：辦=3々,々=1,

Y=為

a<0,

:.3a<\,故％=3〃,占=1，

???>?必的圖象交于點(3。,M,("),

???(5)與(如〃)關于二次函數y,=x2-3ax+1的對稱軸x=y對稱，

/.1+x,=^-x2,/.x3=3a-l,

x?l-xi=3a-l-3a=-l.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系、二次函數圖象上的點的坐標特點、二次函數的增減性，

熟練掌握二次函數圖象上的點的坐標特點及二次函數的性質是解即的關鍵.

3.(2023?浙江杭州?杭州市公益中學校考三模)已知拋物線,1=〃*7〃)(1一/?)(〃，，"，〃是實數，。/0)與.1

軸交于A,3兩點.

⑴若4=1,同A,“兩點的坐標分別為(1,0),(-2,0),求函數X的表達式及其圖象的頂點坐標；

⑵函數,的圖象與％軸只有一個交點，經過點(〃?-2/)，(4-6,/),求用的值;

⑶若拋物線M過點(1，〃)，(6,4),。<0,P>q,求證zn+”7.

(19、

【答案】⑴X=(x—l)(x+2),

IZ4,

⑵m=1

⑶證明見解析

【分析】(1)由“交點式”關系式性質得，〃1、〃的值為1、-2,再代入。=1,即可求出關系式，再將對

稱軸代入即可求出頂點；

(2)判斷出兩點在同一條水平線上，故可求對稱軸為x=l,由函數X的圖象與x軸只有一個交點得，m與

〃值相等，即是對稱軸的值；

(3)由題意，分三種情況分類討激，從而得到兩點在對稱軸的兩側時，點(Lp)離軸更近，列出方程求解即

可得證.

【解析】(1)解：A,8兩點的坐標分別為。,0),(-2,0),

；?加、〃的值為1、-2,

。=1,

:.y\=(x-l)(x+2),

-2+111小、*力少用/1~1,r、9

由,工=m丁+一n二"==，4把1n彳=一；7代入關系式得'=（一；;-1）（一:+2）=一:,

2222224

（19、

?,?頂點坐標為一弓，-7；

（2）解:?（w-2j）,（4-見。縱坐標相同,

函數M的圖象與x軸只有?個交點，

m=〃=1；

（3）證明：由拋物線關系式得對稱軸工=等，

d<0,

???拋物線開口向下，

①當（l,p）,（6,g）兩點位于對稱軸左側時，

???）'隨x的值的增大而增大，

:p<q,不符題意;

②當（6國）兩點位于對稱軸右側時，

???）'隨x的值的增大而減小，

:p>q,不受加、〃影響；

③當（1.〃），（6國）兩點位于對稱軸兩側時，

由題意得，拋物線上的點離對稱軸越近，縱坐標越大，

p>q,

???點（1，P）離對稱軸更近，即亨-1<6-空，解得〃葉〃<7,

:.ni+n<l.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象及性質的應用，“交點式”關系式的對稱軸的計算及其應用是解題關

鍵.

4.（2023?浙江杭州?校聯考二模）已知二次函數y=&+（3A+l）x+3（k為常數，&工0）.

⑴求證：無論上取任何實數時，函數與*軸總有交點；

⑵若女為正整數，且函數圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數.

①已知A（ay）,8（1,乃）是該函數圖象上的兩點，且）'>%，求實數。的取值范圍；

②將拋物線向右平移機（24〃區4）個單位，與x釉的兩個交點分別為P（x，O）,。伍，0）,若士=上-I

IvlAjA,

請結合圖象直接寫出用的取值范圍.

【答案】（1）見解析

（2）①實數4的取值范圍為。<一5或〃>1；@0<M<|

【分析】（1）根據根的判別式即可得到結論；

（2）先根據左為正整數，且函數圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，求出k的值，即可得到二次函數

的解析式，①令x=0,x=〃，分別求出>'與丹的值，由“必得到不等式/+4.+3>8,解不等式即可得

到答案；②先求出平移后的拋物線的解析式，再求出平移之后的拋物線與x軸的交點，即

分別表示出占-X，%與，代入求出I的范圍,從而即可得到答案.

【解析】（1）證明：根據題意可得：

A=（3k+i）2-4kx3=9k2+6k+\-{2k=9k2-6k+\=（3k-\）2>0.

.??無論2取任何實數時，函數與x軸總有交點；

（2）解：當尸。時，去、（3攵+1）工+3=0,

i_-(3k+l)±J(3J)2,即廣-(3k+1)?(3k1)

2k~2k-

"=-1,X2=-3

1?函數圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數,

/.A:=±1,

4為正整數，

/.j=x2+4x+3,

2

①當x=l時，y2=l+4xl+3=l+4+3=8,

當工時，y=a2+4a+3,

y>y2f

：.a2+4a+3>8,

解得：4<一5或4>1,

實數。的取值范圍為：。<-5或。>1；

②拋物線的解析式為：y=Y+4x+3=(x+2)2-1,

?.?拋物線向右平移山(2?〃區4)個單位后的解析式為：y=(x+2r〃『-l,

令y=0,則(x+2—6『一1=0,

解得：X\=m-LXj=m-3,

2

=(m-3)(/n—l)=m-4m+3=(m-2)~-1,-x]=m—3-(m—l)=m—3—m+l=-2,

.?.-l<(/n-2)2-l<3,BP-1<X,X<3,

/.0<|xj^|<3,

-22

_L=_L__L=^ZA---=----

MXix2X}X2

.±>2

.M一§'

3

2

【點睛】本題主要考查了根據一元二次方程根的情況求參數,二次函數圖象的平移，二次函數與x軸的交點，

解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質，采用數形結合的思想解題.

5.(2023?浙江金華?統考一模)定義：在平面直角坐標系中，直線人=，〃與某函數圖象交點記為點P,作該困

數圖象中，點尸及點P右側部分關于直線、=切的軸對稱圖形，與原函數圖象上的點尸及點尸右側部分共同

構成一個新函數的圖象，稱這個新函數為原函數關于直線)=切的"迭代函數〃.例如：圖1是函數y=x+i的

圖象，則它關于直線x=0的"迭代函數”的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數〃的解析式為

x+l(x>0)

V=4

'H+l(x<0).

圖1圖2

⑴寫出函數，，=X+1關于直線x=l的〃迭代函數〃的解析式為.

(2)若函數y=-x2+4x+3關于直線工=，〃的"迭代函數”圖象經過(TO),則“=

⑶以如正方形48C。的頂點分別為：

A(“,a),B(a,-a),C(-a,-a\D(-a,a),其中〃>0.

①若函數戶目關于直線x=-2的"迭代函數〃的圖象與正方形ABC。的邊有3個公共點，則”：

②若。=6,函數)，=9關于直線K=〃的“迭代函數〃的圖象與正方形ABCD有4個公共點，則〃的取值范圍

x

為.

X+1(X>1)

【答案】(1)>'=1

-x+3(x<1)

(2)立里或也Ll.

22

⑶①a=3或"痛，②或一1V〃<0或0<〃<1.

【分析】(1)根據“迭代函數〃的定義可知"迭代函數”的圖象是關于*=，〃的對稱，故求出>=x+1圖象上任意

兩點坐標，再根據函數y=x+i關于直線X=1的“迭代函數”是關于X=1對稱，求出對稱點坐標，再由待定系

數法求出“迭代函數〃的解析式即可；

(2)先求出原拋物線當)，=0時兩點坐標，根據“迭代函數〃的對稱性可知(-1,0)與其中一點對稱，分兩種情

況求解即可；

(3)①先畫出函數)，=9關于直線x=-2的“迭代函數〃的圖象.根據三個公共點的不同情況分兩種情況求

x

解即可；

②根據正方形和“迭代函數”的圖象對稱性可知.四個公共點的分別是第一象限兩個、第三象限或第二象限

兩個，分別結合圖象進行求解.

【解析】(1)解：當x=l時，y=x+l=2,

當x=2時，y=x+l=3,

回則點(1,2)、(2,3)關于直線x=l的對稱點為(1,2),(0,3),

設直線y=x+1關于直線x=1的對稱直線為尸3+〃，

,k+b=2

則一，

b=3

,k=-l

解得’,，

b=3

回直線為1y=-x+3,

X+1(X>1)

回函數)，”關于直線AI的〃迭代函數〃的解析式為尸；

x+\(x>\)

故答案為：y=

-x+3(x<1)

(2)y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,

國)，=一/+叔+3的頂點坐標為(2,7)

當一3-2)2+7=()時，解得：4=-/+2,毛=夜+2,

即產t2+4x+3與4軸交點為(-x/7+2,0).(出+2,0)

若函數尸-1十4人十3關于直線"，”的“迭代函數”圖象經過(-1,0),

當(-V7+2,0)與(-1,0)是關于直線x=，〃對稱時，m=7'+ZT=,

2

當(幣+2,0)與(—1,0)是關于直線x=m對稱時，加=汨+；--="+1>

22

綜上所述：若函數丁=-/+?+3關于直線戶切的“迭代函數"圖象經過(TO),則加或小=

故答案為：立擔或巫

22

(3)①函數)=9關于直線x=-2的"迭代函數〃的圖象如圖所示：

有兩種情況:

當第一象限有兩個公共點時，第三個交點在第三象限，當一2圖象上的點，）弓/=-3,此時X,

當第三象限有兩個公共點時，第三個公共點在第?象限，函數圖象正好經過正方形的頂點，x=y=〃，a=',

此時a=瓜,

綜上所述：若函數y=￡關于直線X=-2的“迭代函數〃的圖象與正方形ABCQ的邊有3個公共點，則〃=3或

x

a=瓜.

②如圖:

若。=6,函數），=9關于直線工二〃的“迭代函數〃的圖象與正方形A5CD有4個公共點，則第一象限一點一

x

定有兩個交點它們是（1,6）、（6,1）：

根據正方形和“迭代函數〃的圖象對稱性，

/.當讓1時，”迭代函數〃的圖象與正方形A8CD最多有3個公共點，

11.當0<〃<1時，"迭代函數”的圖象與正方形ABCQ有4個公共點，如圖所示，

HI.當〃<0,若第三象限由兩個公共點，則第二象限無公共點，

此時點（1,6）關于工二〃對稱點在正方形外，即：1-6,解得：〃<.■!，

此時點（-卜6）在函數y=9關于直線工”的"迭代函數〃的圖象，即：〃<-1,

X

即：〃〈-g時，"迭代函數〃的圖象與正方形A8CO在第三象限有兩個公共點，第二象限無公共點，

0.當〃<0,若第二象限有兩個公共點，則第三象限無公共點，

此時點。,6）關于工二"對稱點在正方形內，即：1-2（1-〃）>-6,解得：〃

此時點（-1，-6）不在函數），=9關于直線工二〃的“迭代函數〃的圖象，即：〃>-1,

x

0.當TV〃VO,若第一象限有兩個公共點，則第三象限無公共點，

綜上所述：若。=6,函數1色關于直線工=〃的“迭代函數''的圖象與正方形A8CD有4個公共點，〃的取值

x

范圍為〃<一耳或一1<〃<0或0<”1.

【點懵】本題考查二次函數的綜合應用；理解并運用新定義''迭代函數''，能夠將圖象的對稱轉化為點的對稱，

借助圖象解題是關鍵.

6.（2023?浙江湖州?統考一模）如圖，已知拋物線>=/+“|_。為對稱軸為直線戶2,且與x地交于4B

兩點，與y軸交于C點，其中41,0),連結8c.

⑴求點。的坐標及此拋物線的表達式;

⑵點。為y釉上一點，若直線3。和直線8c的夾角為15。，求線段C。的長度；

⑶當〃4x45時，函數的最大值與最小值的差是一個定值，直接寫出〃的取值范圍.

【答案】⑴點C(0,3)；y=x2-4x+3

(2)3-百或3而3

(3)-1<?<2

【分析】(1)根據題意，用待定系數法求函數解析式即可；

⑵根據30c是等腰直角三角形，直線80和直線3c的夾角為15。，推出/。30=30。或ZZMO=60。,

進行分類討論即可解答；

(3)根據函數的性質和函數圖象以及函數的最大值與最小值的差是一個定值得出結論：

【解析】(1)回對稱軸為直線x=2,

啜=2,

/.Z?=-4,

何拋物線y=f—4x+c與y軸交于C點，4(1,0)代入得：

c—3,

團拋物線的解析式為y=J—4x+3,

由拋物線的表達式知，點C(0,3)；

(2)朋-3,0),C(0,3),

.?…BOC是等腰直角三角形，

則NC8O=45。，

團直線和直線的夾角為15。，

/.ZDBO=30°或NO8O=60。，

在Rf.BOD中,DO=BO-innZDBO,

50=3,

3

則DO=G

貝I」CO=OJOO=3-G

CD=DO-OC=36-3，

13CD的長度為3-6或3行-3;

(3)當工=〃和x=5在對稱軸兩惻時，

此時，拋物線在x=2時，取得最小值,

當工二〃和工=5關于工=2對稱時，最大值相等且為定值，即％=5時，），的值為最大值，

此時，函數的最大值與最小值的差是一個定值，

此時〃二一1,

BP-l<n<2,函數的最大值與最小值的差是一個定值.

【點睛】本題是二次函數綜合題目，考查了待定系數法求二次函數的解析式，方程組的解法、二次函數的

圖象與性質、勾股定理、三角函數以及分類討論；本題綜合性強，注意分類討論；解題的關鍵是數形結合

思想的應用.

7.（2023?浙江紹興?統考一模）在平面直角坐標系X。），中，已知拋物線），=/一2田+1.

⑴求該拋物線的對稱軸（用含，的式子表示）；

（2）若點M（f—2,m），N（f+3,〃）在拋物線），=/-2q+1上，試比較〃?，〃的大小；

⑶P（“y,）,Q（,q,%）是拋物線y=次+1上的任意兩點，若對于-1K%<3且9=3,都有yK乃，

求，的取值范圍；

（4）^（/+1,y）,Q（2-4,%）是拋物線），=/一2戊+1上的兩點，且均滿足,之為，求/的最大值.

【答案】⑴拋物線的對稱軸為直線4二，；

⑵〃>〃？；

⑶臼；

（4）/的最大值為5.

【分析】（1）把解析式化成頂點式即可求得；

（2）根據二次函數的性質以及二次函數圖象上點的坐標特征即可判斷；

（3）分3種情況求解即可；

（4）分兩種情況討論，根據題意列出關于，的不等式，解不等式即可解決問題.

【解析】（1）解：0y=x2-2rx+i=（x-r）2-r+1,

國拋物線的對稱軸為直線x=r；

（2）解：團點〃。一2,帆），N（/+3,〃）在拋物線>=/-2a+1上，

回拋物線的開口向上，對稱軸為直線4=，，

又削工一?-2）|=2,|r-（r+3）|=3,2<3,

團點N“+3,”)離拋物線y=,v2-2tx+\的對稱軸距離較大，

團〃>m；

(3)解：團拋物線的開口向上，

團離拋物線y=x2-2tx+\的對稱軸距離較大，函數值越大.

當/>3時，點尸離對稱軸遠，不符合題意；

當-1金工3時，由題意得，

解得"1,

0-l<r<lH,都有,工為；

當7<-1時，點。離對稱軸遠，都有到與必.

綜上，當Y1時，都有為”2.

(4)解：用拋物線的開口向上，對稱軸為直線x=F,

0點P在拋物線y=x2-2tx+1對稱軸的右側，

①當點。在對稱軸的右側或在對稱軸上，且在點P的左側或與點尸重合時滿足條件，

02/-4>rl.2/-4<r+l,

解得4MfM5：

②當點Q在對稱軸的左側，且點。到拋物線時稱軸的距離小于或等于點P到對稱軸的距離時滿足條件，

02Z-4<r,+,

解得3q<4,

綜上所述：當3W5時，滿足題意.

效的最大值為5.

【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，掌握

性質是解題的關鍵.

8.(2023?浙江杭州?杭州育才中學校考一模)已知函數y=3〃)x-4是常數，且〃工0).

⑴若點(卜1)在二次函數y的圖象上，

①求該函數的表達式和頂點坐標；

②若點尸（心〃。和Q（5,〃）在函數的圖象上，且機＜〃，求與的取值范圍；

⑵若函數y的圖象過（仆兄）和（演,打）兩點，且當為＜乙4時，始終都有弘＞為，求。的取值范圍.

【答案】⑴①二次函數的表達式為丁=-/+4》-4,頂點坐標（2,0）；②與＜-1或小＞5

（2）＜7＞3

【分析】（1）①把（卜1）代入解析式計算即可；

②先求出〃=-9,再求出），=-（1-2）2=-9的解，即可根據，〃＜〃得到小的取值范圍；

（2）根據二次函數的增減性計算即可，注意分類討論.

【解析】（1）①團點（11）在二次函數）=o?+（l-%卜一4的圖象上，

0-1=67+（1-367）-4,

解得：a=-l,

回二次函數的表達式為y=-x2+4.v-4

0y=-（x-2）2

團頂點坐標（2,0）；

②團Q（5,〃）在函數的圖象上，

0/?=-（5-2）2=-9,

當y=_（x_2/=_9時，x.=-LX2=5,

團產―/+4]-4開口向下，且點P（/M）和。（5,用在函數的圖象上,且，

國不＜T或%＞5

（2）二次函數丁=辦2+。-3a）x-4對稱軸為直線x

-2a22a

4

（3當王時，始終都有%＞為，

4

回當XK]時，y隨X的增大而減小，

431

當〃＞0時，在對稱軸左邊y隨X的增大而減小，即%

322a

3_J_>4

此時2a~3,解得aN3；

a>0

314

當。<0時，在對稱軸右邊）'隨”的增大而減小，即；-丁工王<9工；

22a3

3_J_4

此時一五此不等式組無解；

”0

4

綜上所述，當王時，始終都有X>刈，。的取值范圍為“23.

【點睛】本題考查了二次函數圖象與性質，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數的性質是解

題的關鍵.

9.（2023?浙江紹興?統考一模）如圖，二次函數丁=/+仆+〃的圖域與直線），=—+3的圖像交于人，8兩點，

點A的坐標為（T,7）,點、的坐標為（1,2）.

（1）求二次函數y=犬+奴+h的表達式.

⑵點M是線段A8上的動點，將點M向下平移h（h>0）個單位得到點N.

①若點N在二次函數的圖像上，求人的最大值.

②若〃=4,線段MV與二次函數的圖像有公共點，請求出點例的橫坐標，〃的取值范圍.

【答案】⑴>+2.1；

（2）①九必二亍，（2）-4</?/<-30</??<1

【分析】（1）待定系數法計算即可.

（2）①設點M的坐標為（利,一〃?-3）（-4<加<1）,則點N的坐標為（帆,一6+3-/?）,

把（利,-/〃+3-〃）代入），=9+21-1構造〃為函數的二次函數計算即可.

②當。=4,點N的坐標為（利-陽-1）代入解析式，確定機的值，結合圖像計算即可.

【解析】⑴把（T7）,（1,2）代入y=J+好+6得:

-4?+b=-9

a+b=\

解得。=2,b=-1,

^y=x2+2x-\.

（2）①設點例的坐標為（孫一〃?-3）（-4<〃?<1）,則點N的坐標為（利一〃?+3-力）.

把（以一加+3-/2）代入y=f+2］一］,得：

h=-in2-3〃?+4，

.（3丫25

【2）4

3

0?=-1<0,當〃?=一二時，且滿足

2

c,25

田%=1?

②設點M的坐標為（"?,一/〃+3）（-4<〃?<1）,則點N的坐標為（/幾一〃?+3-〃）.

當力=4,點N的坐標為（因一加一1）,

把（"?,T7L1）代入得：+3m=0?

回"z=0或m=-3.

0-4</7Z<-3?￡0<777<1.

【點睛】本題考查了拋物線的解析式，最值，點的平移，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵.

10.（2023?浙江金華?統考二模）定義：若〃為常數，當一個函數圖象上存在橫、縱坐標和為八的點，則稱

該點為這個函數圖象關于〃的“恒誼點〃，例如：點（1,2）是函數y=2X圖象關于3的“恒值點〃.

圖1圖2

⑴判斷點（1,3）,（2,8）,（3,7）是否為函數y=5.L2圖象關于10的〃恒值點〃.

（2）如圖L拋物線y=2f+版+2與x軸交于力，8兩點（力在8的左側），現將拋物線在x軸下方的部分沿

x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示.

①求翻折后44之間的拋物線解析式.（用含力的代數式表示，不必寫出x的取值范圍）

②當新圖象上恰好有3個關于c的“