第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省廈門一中高二（下）月考數學試卷（3月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.函數f(x)=x2+1，當自變量x由1增加到1+Δx時，函數的平均變化率為A.2 B.Δx+(Δx)2 C.Δx+2 2.下列求導運算正確的是(

)A.(cosπ3)′=?sinπ3 B.3.曲線y=xlnx在點(e,e)處的切線方程為(

)A.y=2x?e B.y=?2e?e C.y=2x+e D.y=?x?14.若f(x)=x2?2x?4lnx，則f(x)的單調遞增區間為A.(?1,0) B.(?1,0)∪(2,+∞)

C.(2,+∞) D.(0,+∞)5.設函數f(x)=exx+a，若f(x)的極小值為e，則A.?12 B.12 C.36.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，斜率為k的直線l經過點F，并且與拋物線C交于A、B兩點，與y軸交于點M，與拋物線的準線交于點N，若AF=2MN，則A.3 B.2 C.±7.已知正數a，b，c滿足lna=b=ec(e為自然對數的底數)，則下列不等式一定成立的是A.ac>b B.ac<b C.8.已知函數f(x)及其導函數f′(x)定義域均為R，滿足f(32+x)?f(32?x)=4x，且f(x+3)為奇函數，記g(x)=f′(x)，其導函數為A.?2 B.2 C.1 D.0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=x3?3x+1，則A.f(x)有兩個極值點 B.f(x)有三個零點

C.直線y=?3x是曲線f(x)的切線 D.若f(x)在區間[?1,3]上的最大值為310.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，AB⊥AC，點A.AE=12AB+12AC+AA1

B.AB1//平面A111.設計一個實用的門把手，其造型可以看作圖中的曲線C：y2=x3?2x+2A.點(1,1)在C上

B.將C在x軸上方的部分看作函數f(x)的圖象，則1是f(x)的極小值點

C.C在點(1,1)處的切線與C的另一個交點的橫、縱坐標均為有理數

D.x<0時，曲線C上任意一點到坐標原點O的距離均大于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在等差數列{an}中，已知a1=1，S313.若點P是曲線y=x2?lnx上任一點，則點P到直線x?y?2=014.已知函數f(x)=alnx?2x(a>0)，若不等式xae?2x≥3f(x)+1對x>0恒成立，則實數四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知數列{an}是公差不為零的等差數列，a1=1，且a1，a3，a9成等比數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設數列{16.(本小題12分)

已知函數f(x)=23x3+ax2+2(a?1)x+1(a∈R)．

(1)若a=0，求f(x)在[?3,17.(本小題12分)

已知函數f(x)=xln(x?1)．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程；

(Ⅱ)設g(x)=f′(x)，求函數g(x)的最小值；

(Ⅲ)若f(x)x?a>2，求實數a18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PD與底面所成的角為45°，E為PD的中點．

(1)求證：AE⊥平面PCD；

(2)若AB=2，G為△BCD的內心，求直線PG與平面PCD所成角的正弦值．19.(本小題12分)

意大利畫家達?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈下垂部分所形成的曲線是懸鏈線，通過建立適當坐標系，懸鏈線可為函數f(x)=ex+e?x2的圖象，我們稱這個函數為“雙曲余弦函數”，記為c?(x)=ex+e?x2，把g(x)=ex?e?x2稱為“雙曲正弦函數”，記s?(x)=ex?e?x2，易知參考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.B

6.D

7.C

8.B

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.?1

13.214.(0,2e]

15.解：(1)因為a1，a3，a9成等比數列，所以a32=a1a9，

設等差數列{an}的公差為d，所以(1+2d)2=1+8d，

解得d=1，

所以an16.解：(1)當a=0時，f(x)=23x3?2x，f′(x)=2x2?2=2(x+1)(x?1)，

當x∈[?3,x?3(?3,?1)?1(?1,1)1(1,3f′(x)+0?0+f(x)?12單調遞增4單調遞減?單調遞增?所以f(x)在區間[?3,32]的最大值為43，最小值為?12．

(2)f′(x)=2x2+2ax+2(a?1)=2(x+1)(x+a?1)，

令f′(x)=0，得x=?1或x=1?a，

當?1>1?a，即a>2時，f′(x)>0，得x<1?a或x>?1，f′(x)<0，得1?a<x<?1，

所以函數的單調遞增區間是(?∞,1?a)和(?1,+∞)，單調遞減區間是(1?a,?1)；

當?1=1?a，即a=2，此時f′(x)=2(x+1)2≥0恒成立，所以函數f(x)的單調遞增區間是(?∞,+∞)，無減區間；

當?1<1?a，即a<2時，f′(x)>0，得x<?1或x>1?a，f′(x)<0，得?1<x<1?a，

所以函數的單調遞增區間是(?∞,?1)和(1?a,+∞)，單調遞減區間是(?1,1?a)；

綜上可知，當a>2時，函數的單調遞增區間是(?∞,1?a)和(?1,+∞)，單調遞減區間是(1?a,?1)；

當a=2時，函數f(x)的單調遞增區間是(?∞,+∞)，無減區間；

17.解：(Ⅰ)f′(x)=ln(x?1)+xx?1=ln(x?1)+1x?1+1(x>1)，

曲線y=f(x)在x=2處的切線的斜率k=f′(2)=2．

又因為f(2)=0，所以切點為(2,0)．

曲線y=f(x)在x=2處的切線方程為y=2x?4．

(Ⅱ)設g(x)=f′(x)=ln(x?1)+x(1,2)2(2,+∞)g′(x)?0+g(x)單調遞減極小值單調遞增所以當x=2時，g(x)min=2．

(Ⅲ)若a≠2，則f(2)2?a=0，不合題意；

若a=2，設φ(x)=f(x)?2(x?2)，

由(Ⅱ)知，φ′(x)=f′(x)?2≥0，

所以φ(x)在(1,+∞)上單調遞增．

又φ(2)=0，所以當x∈(1,2)時，φ(x)<0，x?2<0，φ(x)x?2>0，f(x)x?2>2；

當x∈(2,+∞)時，φ(x)>0，x?2>0，φ(x)x?2>0，18.(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥PA，而CD⊥AD，AD∩PA=A，

所以CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，

所以CD⊥AE，

因為PA=AD，E為PD的中點，PD與底面所成的角為45°，

所以AE⊥PD，又因為PD∩CD，

所以AE⊥平面PCD；

(2)解：以A為坐標原點，以AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系，

因為正方形中，AB=2，由(1)可得AP=2，

則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，

E(0,1,1)，AC=(2,2,0)，AE=(0,1,1)，

由(1)可知平面PCD的法向量為AE=(0,1,1)，

因為G為△BCD的內心