2024-2025學(xué)年廣西南寧市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)?試室號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型和考生號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.2B.3C.D.2.若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.3.已知向量滿足，且，則（）A.1B.C.D.4.以下命題為假命題的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為8B.一組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是11.5C.一般來說，若一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰且不對(duì)稱，且直方圖在左邊“拖尾”，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于中位數(shù).D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，最終求得線性回歸方程為，則模型中的值對(duì)應(yīng)分別是0.4和2.5.已知曲線，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A.B.C.D.6.設(shè)函數(shù)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（）A.B.0C.D.7.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺(tái).已知正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，側(cè)棱與底面所成的角為，則該四棱臺(tái)的體積是（）A.B.C.D.8.已知，若恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.的最小正周期為B.關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.的一個(gè)零點(diǎn)為10.已知拋物線的焦點(diǎn)為上一點(diǎn)到和到軸的距離分別為12和10，且點(diǎn)位于第一象限，以線段為直徑的圓記為，則下列說法正確的是（）A.B.的準(zhǔn)線方程為C.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為D.若過點(diǎn)，且與直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線與圓相交于兩點(diǎn)，則11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖像是中心對(duì)稱圖形B.的圖像是軸對(duì)稱圖形C.是周期函數(shù)，且最小正周期為D.存在最大值與最小值三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.13.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，__________.14.某盒中有12個(gè)大小相同的球，分別標(biāo)號(hào)為，從盒中任取3個(gè)球，記為取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除的余數(shù)，則隨機(jī)變量的概率是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求；（2）若是邊上一點(diǎn)，，且，求的面積.16.（15分）在平行四邊形中，.將沿翻折到的位置，使得.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.17.（15分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，曲線在軸的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（17分）為防范火災(zāi)，對(duì)某倉(cāng)庫(kù)的滅火系統(tǒng)的3套噴淋裝置進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)各套裝置能正常工作的概率為，且每套噴淋裝置能否正常工作是相互獨(dú)立的若有超過一半的噴淋裝置正常工作，則該倉(cāng)庫(kù)的滅火系統(tǒng)能正常工作，否則就需要維修（1）求該倉(cāng)庫(kù)滅火裝置正常工作的個(gè)數(shù)的均值與方差；（2）系統(tǒng)需要維修的概率；（3）為提高滅火系統(tǒng)正常工作的概率，在倉(cāng)庫(kù)內(nèi)增加兩套功能完全一樣的其他品牌的噴淋裝置，每套新噴淋裝置正常工作的概率為，且新增噴淋裝置后有超過一半的系統(tǒng)能正常工作，則滅火系統(tǒng)可以正常工作.問：滿足什么條件時(shí)可以提高整個(gè)滅火系統(tǒng)的正常工作概率？19.（17分）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與的右支及漸近線的交點(diǎn)自上而下依次為，證明：；（3）求二元二次方程的正整數(shù)解，可先找到初始解，其中為所有解中的最小值，因?yàn)?，所以；因?yàn)椋裕恢貜?fù)上述過程，因?yàn)榕c的展開式中，不含的部分相等，含的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)，所以.若方程的正整數(shù)解為，且初始解，則的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，并說明理由.數(shù)學(xué)答案1.C【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C.2.B【詳解】若命題“”是真命題，則，又因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B3.D【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋裕瑥亩?4.D【詳解】對(duì)A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A正確；對(duì)B：，則其第80百分位數(shù)是，故B正確；對(duì)C，一般來說，對(duì)于單峰的頻率分布直方圖，右邊“拖尾”時(shí)平均數(shù)大于中位數(shù)，左邊“拖尾”時(shí)平均數(shù)小于中位數(shù)，故C正確；對(duì)D，以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和2，故D錯(cuò)誤.故選：D.5.B【詳解】設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，所以.所以點(diǎn)的軌跡方程為即.6.C【詳解】令關(guān)于直線對(duì)稱，.7.B【詳解】如下圖所示：分別為上下底面的中心，作于點(diǎn)，根據(jù)題意可知，側(cè)棱與底面所成的角即為，可知；因此可得，易知，由正四棱臺(tái)性質(zhì)可得；所以該正四棱臺(tái)的高為，因此該四棱臺(tái)的體積是.故選：B8.D，當(dāng)時(shí)，恒成立，則單調(diào)遞增，不恒成立，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，恒成立，，設(shè)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，故答案.9.BC【詳解】由周期公式知最小正周期為，A錯(cuò)；，可知直線是對(duì)稱軸，B正確；時(shí)，，正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；，可知不是零點(diǎn)，D錯(cuò).10.ACD【詳解】選項(xiàng)A：因C上一點(diǎn)到和到軸的距離分別為12和10，由拋物線定義可知，，故A正確；選項(xiàng)B：準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)，由到軸的距離分別為10，所以，則，即，又，所以圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線，所以，所以直線的方程為，又圓心到直線的距離為，所以，故D正確.11.BD【詳解】，對(duì)于A選項(xiàng)，不為常數(shù)，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.故B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，則函數(shù)周期為.故C錯(cuò).對(duì)于D選項(xiàng)，令，由于為偶函數(shù)，則只需要考慮部分即可.，則.故D正確.12.63【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.13.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以因此.14.【詳解】從12個(gè)球中任取3個(gè)球有種不同的方法，1到12中能被3整除的有，除3余1的有，除3余2的有，取出的3個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和被3除余2的情況有：①標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球2個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球1個(gè)有；②標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為1的球1個(gè)和標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球2個(gè)有；③標(biāo)號(hào)被3除余數(shù)為2的球1個(gè)和標(biāo)號(hào)被3整除的球2個(gè)有，則.15.解：（1）由，得，將代入得，，化簡(jiǎn)得，即，則；（2）由（1）可知?jiǎng)t在中，由，解得.故的面積.16.（1）證明見解析（2）存在，【詳解】（1）證明：翻折前，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危谌切沃?，由正弦定理可得，，又，故，所以，即，因?yàn)?，所以，則有，平面，所以平面.（2）由（1）平面，且平面，所以平面平面.平面平面，在平行四邊形中，，即，故平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，取則所以，，易知平面的一個(gè)法向量為，則，整理可得，因?yàn)?，解得，因此，線段上存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為，且.17.（1）；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由可得或（舍去），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，則，即曲線在軸的上方，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，由時(shí)，曲線在軸的上方，，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18.（1）（2）（3）【詳解】記X為系統(tǒng)中可以正常工作的噴淋裝置的個(gè)數(shù).（1）由題意知，所以該倉(cāng)庫(kù)滅火裝置正常工作的個(gè)數(shù)的均值為方差D；（2）記事件A為“該倉(cāng)庫(kù)滅火系統(tǒng)需要維修”則.所以系統(tǒng)需要維修的概率為.（2）記事件為“該倉(cāng)庫(kù)滅火系統(tǒng)能正常工作”，由題意可知?jiǎng)t由（2）可知滅火系統(tǒng)原來可以正常工作概率為，若新增兩個(gè)電子元件后整個(gè)系統(tǒng)的正常工作概率提高了，則有不等式成立，解得，而.綜上當(dāng)時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)的正常工作概率.19.（1）；（2）證明見解析；（3）1【詳解】（1）由題意，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意直線的斜率不為0，設(shè)直線，因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，所以，聯(lián)立得，所以，且，即，聯(lián)立得，所以，所以，即線段的中點(diǎn)重合，所以.（3）由題意得方程的初始解為，則根據(jù)循環(huán)構(gòu)造原理得，從而，記，則，設(shè)的夾角為，則的面積，令，則，于是的面積為定值2024-2025學(xué)年廣西南寧市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、單選題1．已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．無窮多個(gè)2．已知向量，若，則（）A． B．0 C．1 D．23．已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值等于（）A． B． C． D．4．將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個(gè)數(shù)不是“拐角數(shù)”．（）A．22 B．50 C．37 D．465．已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A．86 B．87 C．88 D．906．已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．在中，角的對(duì)邊分別是，且，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．8．已知的定義域?yàn)镽，，且，則（）A． B． C． D．二、多選題9．歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被舉為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復(fù)數(shù)為10．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線與軸的交點(diǎn)為和B．曲線關(guān)于軸、軸對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍是D．的取值范圍為11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，過作垂直于的平面，平面與正方體的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為，面積為，面關(guān)于函數(shù)和的描述正確的是（）A．最大值為；B．在時(shí)取得極大值；C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；D．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減三、填空題12．已知隨機(jī)變量，若，則的值為______．13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，過點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)．（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記點(diǎn)到直線的距離為，則______．14．已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的面積為______．四、解答題15．已知數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式：（2）求和：16．如圖，在四棱柱中，平面，底面為梯形，，為的中點(diǎn)．（1）在上是否存在點(diǎn)，使直線平面，若存在，請(qǐng)唃定點(diǎn)的位置并給出證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）若（1）中點(diǎn)存在，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．17．現(xiàn)有枚質(zhì)地不同的游戲幣，向上拋出游戲幣后，落下時(shí)正面朝上的概率為．甲、乙兩人用這枚游戲幣玩游戲．（1）甲將游戲幣向上拋出10次，用表示落下時(shí)正面朝上的次數(shù)，求的期望，并寫出當(dāng)為何值時(shí)，最大（直接寫出結(jié)果，不用寫過程）；（2）甲將游戲幣向上拋出，用表示落下時(shí)正面朝上游戲幣的個(gè)數(shù)，求的分布列；（3）將這枚游戲幣依次向上拋出，規(guī)定若落下時(shí)正面朝上的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝，請(qǐng)判斷這個(gè)游戲規(guī)則是否公平，并說明理由．18．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若時(shí)，求的取值范圍；（3）若，證明：當(dāng)時(shí)，．19．動(dòng)點(diǎn)到直線與直線的距離之積等于，且．記點(diǎn)的軌跡方程為．（1）求的方程；（2）過上的點(diǎn)作圓的切線為切點(diǎn)，求的最小值；（3）已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，上是否存在點(diǎn)滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．高三數(shù)學(xué)答案題號(hào)1234567891011答案BDBBBCBBABDACAD1．B【詳解】由圖知，陰影部分所示的集合為，由，得到，所以，又，所以，得到陰?部分所示的集合的元素共有2個(gè)．2．【詳解】．因?yàn)?，所以，則，解得．3．《詳解】解：，要的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，所以，故，又，故．4．B【詳解】由題意得第1個(gè)“拐角數(shù)”為，第2個(gè)“拐角數(shù)”為，第3個(gè)“拐角數(shù)”為，第4個(gè)“拐角數(shù)”為，則第個(gè)“拐角數(shù)”為．對(duì)于A：第6個(gè)“拐角數(shù)”是，故A不合題意；對(duì)于B、C：第7個(gè)“拐角數(shù)”是，第8個(gè)“拐角數(shù)”是，則30不是“拐角數(shù)”，故B適合題意，C不合題意；對(duì)于D：第9個(gè)“拐角數(shù)”是，故D不合題意．5．B【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，因?yàn)椋缘?5百分位數(shù)是．6．C【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，則，，即，又直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，故，則．7．B【詳解】由余弦定理得，代入得，，則，即，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即時(shí)符號(hào)成立，此時(shí)，，即為等腰直角三角形時(shí)，取到最小值．8．【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且，令，得，所以；令，得，所以，所以是偶函?shù)，令，得①，所以②，由①②知，所以，所以，所以的一個(gè)周期是6，由②得，所以，同理，所以，又由周期性和偶函數(shù)可得：，所以，所以．9．【詳解】對(duì)于A中，由，其虛部為，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，故的共軛復(fù)數(shù)為，所以D正確．10．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋傻?，整理得：，?duì)于A中，當(dāng)時(shí)，解得，即曲線與軸的交點(diǎn)為，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，用替換，方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱，用替換，方程不變，則曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同時(shí)用替換，用替換，方程不變，可得曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，因?yàn)?，即可得，即，即，解得，即，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)椋蒀項(xiàng)知，所以，故，所以D錯(cuò)誤．11．【詳解】當(dāng)時(shí)，截面為等邊三角形，如圖：因?yàn)椋?，所以：．此時(shí)在上單調(diào)遞增，且．當(dāng)時(shí)截面為六邊形，如圖：設(shè)，則所以六邊形的周長(zhǎng)為：為定值；做平面于平面于．設(shè)平面與平面所成的角為，則易求．所以，所以，在上遞增，在上遞減，所以截面面積的最大值為，此時(shí)，即．所以在上遞增，在上遞減．時(shí)，最大，為．當(dāng)時(shí)，易得：此時(shí)在上單調(diào)遞減，．綜上可知：AD是正確的，BC錯(cuò)誤．12．0.813．14．12．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?3．【詳解】令雙曲線的半焦距為，由離心率為2，得，取的中點(diǎn)，連接，由，得，則，連接，由為的中點(diǎn)，得，，因此，即，整理得，而，所以．14．的面積為，注意到，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，而點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，設(shè)，所以，因?yàn)椴还簿€，所以，解得，因?yàn)?，設(shè)的面積為，則．15．（1）因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以的通項(xiàng)公式為．（2）設(shè)，則，由（1）可得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，