2015年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題答案

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合

題目要求的，請將所選項前的字母填在答題綱指定位置上.

1、設函數人幻在(P,+8)連續，其2階導函數尸“)的圖形如下圖所示，則曲線y="x)的拐點個數為

()

(A)o(B)l

(C)2(D)3

【答案】(C)

【考點】拐點的定義

【難易度】★★

【詳解】拐點出現在二階導數等于0,或二階導數不存在的點上，并且在這點的左右兩側二階導數異

號，因此，由了"⑺的圖形可知，曲線y="x)存在兩個拐點，故選(Q.

2、設.2I3J是二階常系數非齊次線性微分方程y+w+6y=ce'的一個特解，則()

(A)a=—3,Z?=—l,c=—1.(B)=3,Z?=2,c=-l

(C)a=-3,Z?=2,c=l.(D)〃=3,Z?=2,c=l.

【答案】(A)

【考點】常系數非齊次線性微分方程的解法

【難易度】★★

J_e2>——e'

【詳解】2，-3為齊次方程的解，所以2、1為特征方程分+必+人。的根，從而

a=-(l+2)=-3,b=lx2=2,

再將特解"代入方程產-3y，+2y=*得：c=-l.

之。”r

3、若級數占條件收斂，則x=8與1=3依次為幕級數占的：

(A)收斂點，收斂點(B)收斂點，發散點

(C)發散點，收斂點(D)發散點，發散點

【答案】(B)

【考點】級數的斂散性

【難易度】★★★

【詳解】因為占條件收斂，故》=2為幕級數幺的條件收斂點，進而得幺的收斂半

00

徑為1,收斂區間為似2）,又由于幕級數逐項求導不改變收斂區間，故宮"“'°F的收斂區間仍為他2）,

廠之〃。〃（工一1）"

因而X=K與x=3依次為幕級數,T的收斂點、發散點.

4、設D是第一象限中曲線2外=1，4肛=1與直線y=x，y=bx圍成的平面區域，函數/（X,），）在D上連續,

JJf(x,y)dxdy=

則D

(A)

JJd。J喂/(rcos60sinff)rdr

423n2。

(B)

JW卜甲*/(rcos0,rsin0)rdr

4及sin2。

(C)

7t__

fjj$喂f"cos仇rsin0)dr

42sin20

(D)

，如Jy(rcos0yrs\nO)dr

4缶n2i。

【答案】（D）

【考點】二重積分的極坐標變換

【難易度】★★★

e=-A0=-

【詳解】由尸X得，4；由y=，3x得，3

由2個句得，

2產cosOsin8=1,r=,

Vsin26>

由4孫=1得，

4/cosOsin，=1,r=----=

V2sin26>

所以

jj/(x,y)dxdy=/(rcos0,rsinO)rdr

D4asin2。

1I（1、

A=12ab=d

4a21/J,若集合Q={L2},則線性方程組Ax=6有無窮多個解的充分必要條

5、設矩陣V

件為

(A)〃/Q,d史。B)〃任C,dGQ

(C)aeQdeQD)aeQ,JeQ

【答案】（D）

【考點】非齊次線性方程組的解法

【難易度】★★

【詳解】

-11111Fl11i

[A,/?]=12ad--->01a-\d

14crd2\|_00（a-l）（a-2）（J-l）（J-2）

=〃有無窮多解=RA）=/?（A,。）<3

<=>tz=1或。=2且d=1或d=2

6、設二次型/（與心三）在正交變換x=4下的標準形為23+￡-員，其中

P=（WJ,若0=（4，/,e?）,則，（/與，鼻）在正交變換x=Q.V下的標準形為

（A）2〉；-4+￥（B）2y；+￡-y；

（C）2y”￡一%（D）2y；+￡+￥

【答案】（A）

【考點】二次型

【難易度】★★

【詳解】由x=4,故

f=XTAX=yT(PTAP)y=2yf+￡-y；

200

PrAP=010

00-1

且：

10()■~20o-

Q=P001=PC,Q'AQ=C'(P'AP)C=0-10

0-10001_

所以

,f=XTAx=yT(QTAA)y=2y；-y；+y；

，故選(A)

7、若A8為任意兩個隨機事件，則

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)

P(g”A)+f⑹

(C)2(D)2

【答案】(C)

【考點】

【難易度】★★

【詳解】

故選

8、設隨機變量x，Y不相關，且EX=2,Ey=l,0X=3』/[x（X+y_2）]=

（A）-3（B）3（C）-5（D）5

【答案】（D）

【考點】

【難易度】★★★

【詳解】

E[X（X+y-2）]=E[x2+Xy-2X]=E（X2）+E（Xr）-2E（X）

=D（X）+E2（X）+E（X）E（y）-2E（X）=5

二、填空題：9~14小題,每小題4分，共24分.請將答案寫在管理綱指定位置上.

..Incosx

lim--；-

9sox2

【答案】”

【考點】極限的計算

【難易度】★★

【詳解】

「Incosx「ln(l+cosx-l)..cosx-1「91

hm=hm------；=lim；——=lim——=——

x->0X/.v->0『x->0￡A->0￡2

10、

向產上-+國)小=

1+COSX---------------

71

【答案】彳

【考點】積分的計算

【難易度】★★

【詳解】

n(sinx+國心=2不皿=?

2l+cosx

11、若函數z=z（x，y）由方程爐+盯2+尤+8$苫=2確定，貝4必卜。/產------

【答案】

【考點】隱函數求導

【難易度】★★

【詳解】令

F(x,y,z)=e'+xyz+x+cosx-2

貝[]F：=yz+l-sinxF；=xz￡’=孫，又當x=O,y=l時，z=0,所以公砌F；

因而磯。.產_血

12、設。是由平面x+y+z=i與三個坐標平面所圍成的空間區域，則

（冗+2曠+3z）dxdydz

【答案】4

【考點】三重積分的計算

【難易度】★★★

【詳解】由輪換對稱性，得

JJJ(x+2y+3z)必:方dz=6JJJzdxdydz=6^'zdz^dxdy

cD.

其中2為平面二=z截空間區域。所得的截面，其面積為30一二）.所以

JJJ(x4-2j/+3z)cZx(/y6fe=6JJJzdxdydz=6—z)~dz=3—2z2+z^dz=—

oo°2°4

2002

-1202

0022

13、n階行列式°0-12

【答案】2"「2

【考點】行列式的計算

【難易度】★★★

【詳解】按第