第1頁/共1頁2025北京九中高一（下）開學考數(shù)學（考試時間90分鐘滿分100分）一、選擇題（本大題共10題，每小題4分，共計40分.每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的）1.已知集合，則的子集個數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.182.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調遞減的是（）A. B. C. D.4.一個大箱子內放有5本科學雜志和7本文學雜志，小張先從箱內隨機抽取1本（不放回），小李再從箱內隨機抽取1本，已知小張抽取的是文學雜志，則小李抽取的是科學雜志的概率為（）A. B. C. D.5.設，，，則、、的大小關系是（）A. B. C. D.6.某地區(qū)老年藝術團由相聲隊、歌詠隊以及詩歌朗誦隊構成，其中相聲隊有30人，歌詠隊有45人，現(xiàn)按分層抽樣的方式從中抽取12人參加文藝匯演，其中詩歌朗誦隊被抽到6人，則該地區(qū)老年藝術團的總人數(shù)為（）A.90 B.120 C.140 D.1507.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.8.某海島核污水中含有多種放射性物質，其中放射性物質含量非常高，它可以進入生物體內，還可以在體內停留，并引起基因突變，但卻難以被清除．現(xiàn)已知的質量隨時間（年）的指數(shù)衰減規(guī)律是：（其中為的初始質量）．則當?shù)馁|量衰減為最初的時，所經(jīng)過的時間約為（參考數(shù)據(jù)：，）A.300年 B.255年 C.175年 D.125年9.已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且是上的嚴格減函數(shù)，若，則滿足不等式的x的取值范圍為（）A. B. C. D.10.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則常數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二.填空題（每小題4分，共計20分）11.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，則此冪函數(shù)的表達式為___________.12.設函數(shù)，則__________．13.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則時，____.14.已知，則的最小值為____，此時_________15.已知函數(shù)，給出下列四個結論：①在定義域上單調遞增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的圖象關于點對稱．其中所有正確結論的序號是________________.三.解答題16.已知關于x的不等式的解集為．（1）求實數(shù)m的值；（2）正實數(shù)a，b滿足，求的最小值．17.已知函數(shù).（1）根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調遞增（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值18.某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取了100件產(chǎn)品，并對所抽取產(chǎn)品的某一質量指數(shù)進行檢測，根據(jù)檢測結果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量指數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）若產(chǎn)品的質量指數(shù)在內，則該產(chǎn)品為優(yōu)等品．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣品中的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，再從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件產(chǎn)品進一步進行檢測，求抽取的這2件產(chǎn)品中恰有1件產(chǎn)品是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率．19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求和的值；（2）判斷在上的單調性，并用定義證明；（3）設，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共10題，每小題4分，共計40分.每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的）1.【答案】C【分析】根據(jù)求出中元素個數(shù)，然后由集合子集個數(shù)公式求解即可.【詳解】因為，所以有4個元素，故子集個數(shù)為.故選：C2.【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定寫出即可．【詳解】∵全稱命題的否定是特稱命題，∴命題“，”的否定是“，”．故選：C．3.【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調性與奇偶性逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，且在上單調遞增；對于B選項，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調遞增；對于C選項，函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調遞增；對于D選項，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調遞減.故選：D.4.【答案】C【分析】根據(jù)古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】小張抽取文學雜志后，剩下：本科學雜志和本文學雜志.則小李抽取的是科學雜志的概率為.故選：C5.【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性，借助中間值比較大小.【詳解】因為函數(shù)在單調遞增，且，所以，即，因為函數(shù)在單調遞減，且，所以，即，因為函數(shù)在單調遞增，且，所以，即，所以，故選：C6.【答案】D【分析】解法一，由分層抽樣列出方程，代入計算，即可得到結果；解法二：由抽取的12人中相聲隊、歌詠隊的人數(shù)之和與詩歌朗誦隊的人數(shù)相同，列出式子，代入計算，即可得到結果.【詳解】解法一：設該地區(qū)老年藝術團的總人數(shù)為x，由分層抽樣知識可知，，解得，故選：D．解法二：抽取的12人中相聲隊、歌詠隊的人數(shù)之和與詩歌朗誦隊的人數(shù)相同，故所求總人數(shù)為，故選：D．7.【答案】B【分析】求出對數(shù)復合函數(shù)的定義域，應用排除法，結合對數(shù)復合函數(shù)的性質即可得答案.【詳解】由解析式知，，即定義域為，排除A、C、D.由，又在上遞增，且時，所以在上遞減，在上遞增，故在上遞增，在上遞減，顯然B滿足.故選：B8.【答案】A【分析】根據(jù)題意列出方程，進而結合對數(shù)的運算法則即可求得答案．【詳解】依題意可得，即，所以．故選：A．9.【答案】B【分析】將等價于和，根據(jù)奇函數(shù)以及單調性即可求解.【詳解】由是R上的奇函數(shù)，且是上的嚴格減函數(shù)，若可知：且在也嚴格單調遞減，故當和時，，當和時，，故等價于和，解得，故選：B10.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)在上的單調性，判斷唯一零點，得到不等式組，求解參數(shù)范圍.【詳解】由，可知在上單調遞增，因為在上存在零點，所以在上存在唯一零點，所以，即，解得.故選：A二.填空題（每小題4分，共計20分）11.【答案】【分析】將點的坐標代入函數(shù)表達式算出參數(shù)即可得解.【詳解】由題意得，所以，解得，所以此冪函數(shù)的表達式為.故答案為：.12.【答案】【分析】由分段函數(shù)定義域分別求得即可得答案.【詳解】∵，∴.故答案為：13.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質，當自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值相等.【詳解】當時，.因為當時，，所以此時.又因為是偶函數(shù)，即，所以當時，.故答案為：.14.【答案】①.6②.4【分析】通過變形構造出能使用基本不等式的形式，利用基本不等式來求最小值以及取得最小值時對應的變量值.【詳解】已知，因為，那么.將變形為.

根據(jù)基本不等式，則有先計算的值，，所以.那么，即的最小值為.

當且僅當時，等號成立，此時取得最小值.解方程，可得.因為，所以，解得.

故答案為：；4.15.【答案】①③④【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，分析單調性判斷①；利用指數(shù)函數(shù)值域判斷②；解指數(shù)不等式判斷③；探討函數(shù)圖象的對稱性判斷④即得.【詳解】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)在R上單調遞減，因此在R上單調遞增，①正確；由于，則，，函數(shù)不存在最大值，②錯誤；不等式，即，整理得，解得，的解集是，③正確；由于，因此的圖象關于點對稱，④正確，所以所有正確結論的序號是①③④.故答案為：①③④【點睛】結論點睛：函數(shù)的定義域為D，，(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關于點對稱.(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關于直線對稱.三.解答題16.【答案】（1）（2）9【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系，即可求得答案；（2）由（1）可得，結合“1”的巧用，再利用基本不等式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意可得和2是方程的兩個根，由根與系數(shù)的關系可得，解得．【小問2詳解】正實數(shù)a，b滿足，由（1）可得，所以，當且僅當時，結合，即時等號成立，所以的最小值為9．17.【答案】（1）證明見解析（2），.【分析】（1）先取值再作差，結合定義域判斷的正負，從而證明出單調性；（2）根據(jù)（1）中的單調性，確定出和.【小問1詳解】任取，且，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以在上單調遞增；【小問2詳解】因為在上單調遞增，所以在上單調遞增，所以，.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數(shù)即可；（2）先計算出甲、乙兩條生產(chǎn)線的優(yōu)等品數(shù)，由分層抽樣計算出每層的人數(shù)，由古典概型概率公式計算即可.【小問1詳解】甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量指數(shù)的平均數(shù)為：【小問2詳解】由題意可知：甲生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件.乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件.則從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為.從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件的情況有：共15種，其中符合條件的情況有共8種.故所求概率.19.【答案】（1），（2）單調遞增，證明見解析（3）【分析】（1）由是定義在R上的奇函數(shù)，可得，再結合已知條件列方程組即可求解；（2）由（1）知，可求得函數(shù)的解析式，設任意，且，再根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明即可；（3）結合單調性可得在上的值域，再得出二次函數(shù)在上的值域，結合已知可得，列不等式組即可求解.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以滿足，又，可得，解得，可得，，是奇函數(shù)，滿足題意，所以，.【小問2詳解】，在上單調遞增，證明如下：設任