第1頁(yè)/共1頁(yè)2025北京二中高三（下）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)2025.2第一部分（選擇題共40分）一?選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.2.已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)到軸的距離為A. B.1 C.2 D.43.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）．A. B. C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下“兩鼠穿墻”問(wèn)題：有兩只老鼠同時(shí)從墻的兩面相對(duì)著打洞穿墻.大老鼠第一天打進(jìn)尺，以后每天進(jìn)度是前一天的倍.小老鼠第一天也打進(jìn)尺，以后每天進(jìn)度是前一天的一半.如果墻的厚度為尺，則兩鼠穿透此墻至少在第（）A.天 B.天 C.天 D.天6.已知直線(xiàn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)到直線(xiàn)距離的最大值為，當(dāng)最大時(shí)，的值為（）A. B. C. D.7.已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.則“”是“對(duì)于任意且，”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.李明開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶(hù)，經(jīng)過(guò)天后，用戶(hù)人數(shù)，其中為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶(hù)，則用戶(hù)超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）（本題取）A.31 B.32 C.33 D.349.長(zhǎng)方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍A. B. C. D.二?填空題（每小題5分，共25分）11.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________．12.已知兩點(diǎn)．點(diǎn)滿(mǎn)足，則的面積是____；的一個(gè)取值為_(kāi)___．13.已知為等腰直角三角形，，圓M為的外接圓，，則__________；若P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________．14.若函數(shù)存在最小值，則的最大值為_(kāi)_________.15.在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列，分別表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：，描述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過(guò)程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿(mǎn)足，則在該模型中，關(guān)于兩組信息，給出如下結(jié)論：①；②；③，使得當(dāng)時(shí)，總有④，使得當(dāng)時(shí)，總有．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________三?解答題（共85分）16.中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，，．（1）求和的值；（2）求的值．17.某電視臺(tái)舉行文藝比賽，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)對(duì)比賽進(jìn)行直播．比賽現(xiàn)場(chǎng)有5名專(zhuān)家評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)外觀(guān)眾可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評(píng)分．每位選手的最終得分由專(zhuān)家評(píng)分和觀(guān)眾評(píng)分確定．某選手參與比賽后，現(xiàn)場(chǎng)專(zhuān)家評(píng)分情況如表；場(chǎng)外有數(shù)萬(wàn)名觀(guān)眾參與評(píng)分，將評(píng)分按照[7，8），[8，9），[9，10]分組，繪成頻率分布直方圖如圖：專(zhuān)家ABCDE評(píng)分9.69.59.68.99.7（1）求a的值，并用頻率估計(jì)概率，估計(jì)某場(chǎng)外觀(guān)眾評(píng)分不小于9的概率；（2）從5名專(zhuān)家中隨機(jī)選取3人，X表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)；從場(chǎng)外觀(guān)眾中隨機(jī)選取3人，用頻率估計(jì)概率，Y表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)；試求E（X）與E（Y）的值；（3）考慮以下兩種方案來(lái)確定該選手的最終得分：方案一：用所有專(zhuān)家與觀(guān)眾的評(píng)分的平均數(shù)作為該選手的最終得分，方案二：分別計(jì)算專(zhuān)家評(píng)分的平均數(shù)和觀(guān)眾評(píng)分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分．請(qǐng)直接寫(xiě)出與的大小關(guān)系．18.如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)G為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：CF∥平面；（2）若，直線(xiàn)與平面所成的角為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇幾個(gè)作為已知，使四棱錐唯一確定，求：（ⅰ）直線(xiàn)到平面的距離；（ⅱ）二面角的余弦值．條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面．19.已知橢圓.（Ⅰ）若橢圓的離心率為，求的值；（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)任作一條直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）試比較與的大小，并說(shuō)明理由．21.設(shè)n為不小于3的正整數(shù)，集合，對(duì)于集合中的任意元素，記（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足的所有元素（Ⅱ）設(shè)且，求的最大值和最小值；（Ⅲ）設(shè)S是的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于S中的任意兩個(gè)不同元素，有成立，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一?選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1.【答案】B【分析】直接由求解即可【詳解】因?yàn)榧希希裕蔬x：B2.【答案】C【詳解】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以點(diǎn)到軸的距離為，故選C.3.【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4.【答案】A【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的概念可得出，然后利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)榻且詾槭歼叄医K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，則.故選：A.【點(diǎn)睛】當(dāng)以為始邊，已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則，.5.【答案】B【分析】設(shè)兩只老鼠在第天相遇，利用等比數(shù)列的求和公式列方程可求得的范圍，即可得解.【詳解】設(shè)兩只老鼠在第天相遇，則大老鼠第天打洞的厚度成以為公比的等比數(shù)列，小老鼠第天打洞的厚度成以為公比的等比列，由等比數(shù)列的求和公式可得，整理得，可得（舍去）或，所以，兩鼠穿透此墻至少在第天.故選：B.6.【答案】A【分析】先得出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，再求出圓心坐標(biāo)，由圓的對(duì)稱(chēng)性以及斜率公式得出的值.【詳解】因?yàn)椋灾本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，圓可化為，則圓心，，由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)時(shí)，到直線(xiàn)距離的最大，則，.故選：A7.【答案】B【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷“對(duì)于任意且，”與“”推出關(guān)系，進(jìn)而確定它們的關(guān)系.【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式知：，∴要使對(duì)于任意且，，則，即是遞增等差數(shù)列，∴“對(duì)于任意且，”必有“”，而，可得，但不能保證“對(duì)于任意且，”成立，∴“”是“對(duì)于任意且，”的必要而不充分條件.故選：B.8.【答案】D【分析】經(jīng)過(guò)天后，用戶(hù)人數(shù)，根據(jù)題意可求得，由小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶(hù)，可得，當(dāng)用戶(hù)達(dá)到50000名時(shí)有，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】經(jīng)過(guò)天后，用戶(hù)人數(shù)又小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶(hù)又小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶(hù)即，可得……①當(dāng)用戶(hù)達(dá)到50000名時(shí)有即，可得……②聯(lián)立①和②可得，即故用戶(hù)超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為34天故選：D.9.【答案】A【分析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離垂線(xiàn)段最短解決.【詳解】如圖：根據(jù)題意，截面是邊長(zhǎng)為的正方形，為的中點(diǎn).點(diǎn)在上，在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使得.根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性，則，所以，表示點(diǎn)沿著折線(xiàn)到直線(xiàn)的距離.取的中點(diǎn)，則，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得：.所以的最小值為.故選：A10.【答案】D【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象如下圖所示．由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則原方程化為，∵方程有8個(gè)相異實(shí)根，∴關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．令，．則，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．選D．點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用此方法求解．本題中在結(jié)合函數(shù)圖象分析得基礎(chǔ)上還用到了方程根的分布的有關(guān)知識(shí)．二?填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得到的值，然后求解的系數(shù)即可.【詳解】結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.【點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中和的隱含條件，即、均為非負(fù)整數(shù)，且，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解．12.【答案】①.##②.（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件求出點(diǎn)的軌跡方程，聯(lián)立方程后求點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解面積和角的取值.【詳解】由點(diǎn)可知，，所以點(diǎn)在圓，且，則點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，其中，，，則雙曲線(xiàn)方程為，聯(lián)立，解得：或，則的面積；當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，則其中的一個(gè)取值是.故答案為：；（答案不唯一）13.【答案】①.0②.【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直的向量求解即可；再建立平面直角坐標(biāo)系，利利用向量的坐標(biāo)表示列出函數(shù)式，并求出函數(shù)值域作答.【詳解】在等腰直角中，，由得，點(diǎn)E是弦的中點(diǎn)，在圓M中，，因此；依題意，以圓M的圓心M為原點(diǎn)，直線(xiàn)CB為x軸，點(diǎn)A在y軸正半軸上，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則有，圓M的方程為，因?yàn)镻為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，于是得，而，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為.故答案為：0；14.【答案】4【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合絕對(duì)值、二次函數(shù)的性質(zhì)，討論范圍及存在最小值確定的范圍，進(jìn)而確定答案.【詳解】對(duì)于函數(shù)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在上的最小值為0；對(duì)于函數(shù)，開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在上的最小值為；綜上，對(duì)于：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，此時(shí)恒成立，所以不存在最小值；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，此時(shí)最小值為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，,上單調(diào)遞增，且，又，若時(shí)，，此時(shí)最小值為；若時(shí)，，此時(shí)最小值為；若時(shí)，，此時(shí)最小值為；若時(shí)，，此時(shí)最小值為；若時(shí)，，此時(shí)不存在最小值；綜上，，故的最大值為4.故答案為：415.【答案】①②③【分析】由得即可判斷①正確；由，即可判斷②正確；由，當(dāng)時(shí)，，即可判斷③正確；由，當(dāng)時(shí)，，即可判斷④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋瑑墒阶鞑畹茫蕿槌?shù)列，即，故，①正確；因?yàn)椋郑瑸檎龑?shí)數(shù)數(shù)列，故，故，②正確；由上知，，因?yàn)闉槌?shù)，為單增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，又，故，使得當(dāng)時(shí)，總有，③正確；，又，故，因?yàn)闉槌?shù)，為單增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，，，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三?解答題（共85分）16.【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）先利用平方關(guān)系求出，結(jié)合面積公式和已知可得，然后利用余弦定理可求，利用正弦定理可得的值；（2）先求解，利用倍角公式可得，，結(jié)合和角公式可求的值．【詳解】（1）在中，由，可得，的面積為，可得：，可得．又，解得：，或，（舍去），，，∴，∴，又，解得；所以；；（2）由（1）知：，所以，所以，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理求解三角形及三角求值問(wèn)題，倍角公式及和角公式的熟練應(yīng)用是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).17.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）由頻率和為1可得a的值，用某場(chǎng)外觀(guān)眾評(píng)分不小于9的頻率可估計(jì)概率；（2）計(jì)算概率可得分布列和期望．（3）由兩組數(shù)據(jù)的比重可直接作出判斷.．【詳解】（1）由圖知，某場(chǎng)外觀(guān)眾評(píng)分不小于9的概率是．（2）X的可能取值為2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．所以X的分布列為X23P所以E（X）=2×．由題意可知，，所以E（Y）=np=．（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望考查了超幾何分布和二項(xiàng)分布，屬中檔題．18.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接，，，，利用中位線(xiàn)證明平面，再利用平行四邊形對(duì)邊平行證明平面，然后利用面面平行的判定得到平面平面，最后由面面平行得到證明即可；(2)選擇條件①和③（ⅰ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法即可求解；（ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)而求解即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，，；因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)椋矫妫云矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫?【小問(wèn)2詳解】選擇條件①和③（ⅰ）因?yàn)槠矫妫约礊橹本€(xiàn)與平面所成的角，由題意可知：，又，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫妫裕云矫妫矫妫?則四邊形為矩形，因?yàn)椋裕O(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由平面可知：，在中，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫渣c(diǎn)到平面的距離也就是直線(xiàn)到平面的距離.因?yàn)椋矗布矗怨手本€(xiàn)到平面的距離為.（ⅱ）由（ⅰ）可知：，，兩兩垂直，分別以，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則有，也即，令，則；則有，也即，令，則，則，由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.19.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（1）由a2=2，b2=n，所以c2=2-n，又，得n（2）若存在點(diǎn)M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，則直線(xiàn)AM和BM的斜率存在，分別設(shè)為k1，k2．等價(jià)于k1+k2=0．依題意，直線(xiàn)l的斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+2）．與橢圓方程聯(lián)立，利用△＞0．求出．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理，通過(guò)令，求出m．【詳解】解：（1）因?yàn)椋裕郑杂校茫?/p>

（2）若存在點(diǎn)，使得，則直線(xiàn)和的斜率存在，分別設(shè)為，，且滿(mǎn)足．依題意，直線(xiàn)的斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)的方程為．由得．因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以．即，解得．設(shè)，，則，，，．令，即，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得，，所以．當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)也成立．所以存在點(diǎn)，使得．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，存在性問(wèn)題的處理方法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于難題20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)即可得解；（3）由（2）知，時(shí)，在區(qū)間上恒成立，取，可得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，又，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的方程為即.【小問(wèn)2詳解】在區(qū)間上恒成立，即，對(duì)，即，對(duì)，令，只需，，，當(dāng)時(shí)，有，則，在上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，令，其對(duì)應(yīng)方程的判別